（应用数学专业论文）复杂动态系统的分岔及控制.pdf

复杂动态系统的分岔及控制 摘要 分岔普遍地存在于自然界中，意味着依赖于参数的系统当参数在一个特定值附近 作微小变动时，它的某些性质发生本质变化近十几年来，鉴于分岔理论在力学、物理 学、生物学、化学及一些工程领域中的重要应用，分岔动力学问题引起了学术界的广泛 关注，尤其是复杂动态系统的分岔及控制得到了深入的研究，也出现了一系列深刻的 结果本文基于分岔理论控制理论及动力系统理论，研究了包括神经网络，小世界网 络、l i i 系统、捕食一食饵系统、网络拥塞模型，网站竞争模型在内的几类复杂动态系 统的分岔及控制问题全文共分为七章，组织如下 第一章概述了时滞动力系统，分岔理论，非线性控制理论和分岔控制理论的研究动 态与国内外研究进展，并在此基础上阐明了本文的研究目的，主要研究内容和主要创新 点 第二章介绍了动力系统的一些基本概念，包括结构稳定性分岔等，全面总结了分 岔控制的主要方法和研究时滞系统时要用到的非线性分析方法，为本文的后续工作提 供了理论基础 第三章基于双向联想记忆神经网络和网站竞争模型，详细探讨了时滞参数摄动给 复杂系统动力学特征带来的影响，深入分析了系统关于时滞的h o p f 分岔，并给出了分 岔条件，确定了分岔方向以及分岔出周期解的稳定性 第四章将系统参数作为分岔参数，首先研究了离散单神经元t a b u 学习模型的多 分岔，给出了f l i p 分岔、p i t c h f o r k 分岔和n e i m a r k o s a c k e r 分岔发生的条件，并讨论了 n e h n a r k - s a c k e r 分岔的方向及分岔出不变轨道的稳定性与系统参数的关系然后提出了 个更加贴近实际的具有线性捕获的捕食一食饵模型，分析了捕获参数扰动时种群数 量的演化机理 第五章在对当前相关结果分析的基础上，提出了一种时滞反馈控制方案并用于分 岔控制研究，得到了一些全新的分岔控制结果时滞反馈控制结构简单，不仅可以改变 j 分岔点的位置，而且还可以有效地控制分岔方向和分岔出周期解的稳定性另外该时滞 反馈控制适用于平衡点随系统参数扰动而变动的系统，这在一定程度上克服了传统反 馈控制的缺陷，为研究分岔控制提供了一种新方法针对网络拥塞模型，小世界网络模 型和l 豇系统，深入分析了控制增益参数对分岔条件、分岔方向和分岔周期解稳定性的 影响，从而明确了时滞反馈控制对分岔的控制作用 第六章基于时滞神经网络给出了w a s h o u t - f i l t e r 分岔控制设计方案，其优点是t 不仅 可以使频率较低的轨道保留下来，而且可以仅使频率较高的轨道的性质得以改变，同时 保持原系统的平衡点不变理论和数值仿真结果表明w a s h o u t - f i l t e r 控制法可以有效地 延迟分岔点的位置，从而使复杂网络系统当参数大范围摄动时仍保持稳定，为非线性系 统的分岔控制提供了一种新的方法 第七章对全文进行了总结，并对未来研究工作进行了展望 关键词t 复杂动态系统，复杂网络，时滞，稳定性，平衡点，周期解，h o p f 分岔，f l i p 分岔，p i t c h f o r k 分岔，n e i m a r k - s a c k e r 分岔，分岔控制，时滞反馈控制，w a s h o u t - f i l t e r 控制 b i f u r c a t i o na n db i f u r c a t i o nc o n t r o li nc o m p l e x d y n a m i c a ls y s t e m s a b s t r a c t b i f u r c a t i o n ，au s u a l l yo c c u r r i n gp h e n o m e n o ni nn a t u r e ，m e a n sac h a n g eo ft h et o p o l o g - i c a lt y p eo ft h es y s t e m8 8i t sp a r a m e t e r sp a s st h r o u g hac r i t i c a lv a l u e d u et oi t si m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si nm e c h a n i c s ，p h y s i c s ，b i o l o g y , c h e m i s t r ymw e l l e n g i n e e r i n g ，r e s e a r c ho nb i f f s - c a t i o nh a sa t t r a c t e dw o r l d w i d ea t t e n t i o ni nr e c e n td e c a d e s r e c e n t l y , m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t s o nb i f u r c a t i o na n db i f u r c a t i o nc o n t r o lo fc o m p l e xd y n a m i c a ls y s t e m sh a v eb e e nd e r i v e dv i a b i f u r c a t i o nt h e o r y b a s e do nc o n t r o lt h e o r y , d y n a m i c a l 鲫s t e n i st h e o r ya n db i f u r c a t i o nt h e o r y , t h i sd i s s e r t a t i o na d d r e s s e sb i f u r c a t i o na n db i f u r c a t i o nc o n t r o lf o rs e v e r a lc l a 船酋o fc o m p l e x d i ，i i a m i c a ls y s t e m si n c l u d i n gn e u r a ln e t w o r k s ，s m a l l - w o r dn e 伽o r k s ，l i is y s t e m ，p r e d a t o r - p r e y s y s t e m ，i n t e r n e tc o n g e s t i o nm o d e l ，c o m p e t i t i v ew e bs i t e sm o d e l t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e d i n t os e v e nc h a p t e r sa n dt h eo r g a n i z a t i o ni sa sf o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h es i g n i f i c a n c ea n dt h ed e v e l o p m e n tt e n d e n c yo fd e l a y e dd y n a m i - e a ls y s t e m st h e o r y , b i f u r c a t i o nt h e o r y , n o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r ya sw e l la sb i f u r c a t i o nc o n t r o l t h e o r yt o g e t h e rw i t hc t t r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o na r eb r i e f e d t h em a i nc o n t e n t sa n dt h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea l s oe x p o u n d e da c c o r d i n gt ot h ea b o v e - m e n t i o n e da n a l - y s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h eb a s i cc o n c e p t so fd 1 阅锄i c a ls y s t e m si n c l u d i n g8 t r t l c t 廿es t a - b i l l t ya n db i f u r c a t i o na r ei n t r o d u c e d v a r i e t i e so fm e t h o d sf o rb i f u r c a t i o nc o n t r o la n dd e l a y e d d y n a m i c a ls y s t e m sa r ec o m p r e h e n s i v e l ys m n m a r i z e d ，w h i c hp a v et h et h e o r e t i c a lw a yf o rt h e s u c c e s s i v ec h a p t e r s i nt h et h i r dc h a p t e r ，a i m i n ga tt h eb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r y ( b a m ) n e t w o r k s a n dc o m p e t i t i v ew e bs i t e sm o d e l ，t h ei n f l u e n c e su p o nc o m p l e xd y n 眦i c a ls y s t e m sc a u s e db y p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o na r ed i s c u s s e d t h eh o p fb i f u r c a t i o np r o b l e mi sa n a l y z e dd e e p l yb y c h o c e i n gd e l a ya sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r o c c u r r e n c ec o n d i t i o no fb i f u r c a t i o ni sg i v e n ，t h e n m e x p l i c i ta l g o r i t h m sf o rd e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no ft h eh o p fb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo f t h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ed e r i v e d i n t h e f o r t h c h a p t e r ，b i f u r c a t i o n w i t hr e g a r d t o s y s t e m p a r a m e t e r i 8 s t u d i e d t h e a p p r o a c h f o r m u l a t e di sa p p l i e dt od e a lw i t hf l i pb i f u r c a t i o n ，p i t c h f o r kb i f u r c a t i o na n dn e i m a r k - s a c k e r f o rd i s c r s t e - t i m et a b ul e a r n i n gs i n 酉en e u r o nm o d e l t h ed i r e c t i o na n d s t a b i l i t ya r eo b t a i n e df o r t h en e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o nw i t he x p l i c i tf o r m u l a sf o rm o d e lc o e f f i c i a n t s ap r e d a t o r - p r e y m o d e lw i t hl i n e a rh a r v 蛐r a t e ，w h i c hc a nr e f l e c tt h er e a lw o r mm o r ec l e a r l y , i sp r o p o s e d ， a n dt h ee v o l u t i o no fs p e c i e si sd i s c u s s e d h a r v e s t i n gp a r a m e t e rv a r i e s i nt h ef i f t hc h a p t e r ，b a s e do nt h ea n a l y s i so nt h er e c e n tr e s u l t sr e p o r t e di nt h el i t e r - a t u r e ，ad e l a y e df e e d b a c ks c h e m ei sd e s i g n e dt oc o n t r o lb i f u r c a t i o n t h ed e l a y e df e e d b a c k c o n t r o l l e rh a sas i m p l es t r u c t u r e ，w h i c hn o to n l yc a nc h a n g et h eo n s e to fb i f u r c a t i o nb u ta l s o c a nm a n i p u l a t et h ed i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo fb i f u r c a t i o n m o r e o v e r t h ep r o p o s e dc o n t r o l l e ri s a p p l i c a b l et ot h eg e n e r a ls y s t e m ，w h o s en a t u r a le q u i l i b r i am a yc h a n g ea ss y s t e mp a r a m e t e r s f l u c t u a t e t h ed e l a y e df e e d b a c ks c h e m eo v e r c o m e st h ed e f i c i e n c yo ft h ec o n v e n t i o n a lf e e d b a c k c o n t r o l ，p r o v i d e san e wm e t h o df o rt h es t u d yo fb i f u r c a t i o nc o n t r 0 1 a p p l y i n gt h i sn e wc o n t r o l s c h e m et 0t h ei n t e r n e tc o n g e s t i o nm o d e l s m a l l - w o r l dn e t w o r km o d e la n dl i is y s t e my i e l d st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nf e e d b a c kg a i np a r a m e t e ra n dp r o p e r t i e so ft h eb i f u r c a t i o n i nt h es i x t hc h a p t e r ，w a s h o u t - f i l t e r - a i d e dc o n t r o l l e ri sd e v e l o p e dt ob i f u r c a t i o nc o n t r o l f o rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s t h ea d v a n t a g e so ft h i sc o n t r o lm e c h a n i s ml i ei nt h a ts y s t e m s c a np r e s e r v et h eo r b i t sw i t hl o wf r e q u e n c y , c h a n g et h ep r o p e r t i e so fo r b i t sw i t hh i g hf r e q u e n c y o n l y t h en a t u r a le q u i l i b r i u m sa r ea l s om a i n t a i n e d t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n si l l u s t r a t et h a tt h ec o n t r o l e rc a ne f f e c t i v e l yd e l a yt h el o c a t i o no fah o p fb i f u r c a t i o n ， t h e r e f o r e ，t h es t a b i l i t yo fc o m p l e xn e t w o r k si sg u a r a n t e e df o rl a r g es y s t e mp a r a m e t e r s i nt h es e v e n t hc h a p t e r ，t h er e s e a r c hw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e d f m t h e r m o r e ， t h ep o s s i b l ym e n d e dm e t h o d sa r ep r o p o s e da n dt h ep r o s p e c tf o rt h ef u t u r ew o r ki sm a d e a n e wa p p r o a c hf o rb i f u r c a t i o nc o n t r o li se s t a b f i s h e d k e yw o r d s ： c o m p l e xd y n a m i c a ls y s t e m s ，c o m p l e xn e t w o r k s ，d e l a y , s t a b i l i t y , e q l l i l i b r i u mp o i n t ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，h o p fb i f u r c a t i o n ，f h pb i f u r c a t i o n ，p i t c h f o r kb i f u r c a t i o n ， n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n ，b i f u r c a t i o nc o n t r o l ，d e l a y e df e e d b a c kc o n t r o l ，w a s h o u t - t i l t e rc o n - t r 0 1 v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名s 育波 日期 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 研究生签名。监导师名，蕴晓生日期，蚴 第一章绪论 分岔指的是系统的动力特性随着某些参数的变化而发生质的改变，特别是系统的平 衡状态发生稳定性改变或出现方程解的轨道分支分岔是一类常见的重要的非线性现 象，并与其它的非线性现象( 混沌，分形、突变等等) 有着密切的关系分岔现象不但在 数学领域如动力系统理论、微分方程、拓扑，几何、群论，而且在应用科学如生物、医 学、电子，物理、化学、材料学、计算机学、控制学等方面都受到高度重视许多科研 工作者在这方面作了大量研究，并取得了一定的成就，值得注意的是，近十多年来，分 岔的研究在系统控制理论中也十分活跃1 1 】，这些研究主要集中于控制论的一个新的分 支一一分岔控制的领域内，分岔控制在国际上正在形成个专门，全新的研究方向本 文针对几类复杂动态系统深入研究了分岔与分岔控制问题本章首先阐述了时滞动力 系统，分岔理论、非线性控制理论和分岔控制理论的研究概况，然后介绍了本文的主要 研究内容和主要创新点 1 1 时滞动力系统的研究现状及进展 在工程中，许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述，其中相当一 部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后现象，即系统的演化趋势不仅依赖于系统 当前的状态，也依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态，这类动力系统就被称作是 时滞动力系统【2 ，3 ，1 5 8 】近年来，时滞动力系统已经成为许多领域的重要研究对象 在电路【4 】，光学f 5 】，神经网络心】、机械【7 l ，建筑结构f 6 】等领域，人们对时滞系统 作了大量的研究，取得了许多重要成果，并巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为，仞 如，时滞反馈控制已成为控制分岔的主要方法之一【8 】 和常微分方程所描述的动力系统不同。时滞动力系统的解空间是无限维的，其理论 分析往往很困难目前对于非线性时滞动力系统尚没有针对性特别强的方法讨论非线 性常微分方程的方法大多可以经过改造用于非线性时滞微分方程的研究，例如讨论稳 定性的方法主要有特征值法和l y a p u n o v 方法f 2 ，3 】，研究分岔现象的常用方法有中心 流形( c e n t e rm m l i f o l d ) 法，正规形( n o r m a lf o r m ) 法【3 ，9 】，l y a p u n o v - s c h m i d t 法【l o 】， 摄动法【1 1 】、f r e d h o l m 择一法【1 6 2 】以及频域法【1 6 3 】，而时间历程、功率谱、p o i n c a r d 截面，l y a p u n o v 指数、分数维等仍然是刻画非线性时滞动力系统混沌的工具 】 第一章绪论 2 由于时滞动力系统的复杂性，人们对其了解的程度远不如普通动力系统目前对时 滞系统的研究主要集中在对时滞系统平衡态的稳定性、分岔和混沌等三个方面 时滞常导致系统的运动失稳，产生各种形式的分岔在非线性时滞动力系统的分 岔中，讨论最多的是h o p f 分岔，已有的工作大多是针对一维系统和单自由度系统来进 行的，对于含参数的非线性时滞系统，要给出分彷存在的条件非常困难，要得到系统 的分岔方程，则一般需借助于计算机代数，对于高维多时滞动力系统更是如此b 6 l a i r 和c a m p e l l 讨论了一维时滞动力系统定态解的稳定性和分岔f l2 】，唐风军等讨论了广 义l i 6 m a r d 方程的h o p f 分岔问题，以时滞为分岔参数，得到了分岔值分岔方向、稳定 性以及分岔周期解的近似表达式，还估计出时滞有多少种不同的取值使方程有周期解 【1 3 1 ，o l i e n 和b 6 l a i r 讨论了时滞神经网络的稳定，分岔和单调性【6 3 i ，x m o 和r t u m 在研究基于非单调反馈函数的时滞捕食一食饵网络系统时，发现该系统的时滞不影响 b o g d a n o v - t a k e n s 分岔的产生，同时存在h o p f 分岔 1 1 3 】，l u z y a j f i n a 和r o o s e 讨论了 时滞系统分岔参数值的预测、跟踪以及在参数空间中分岔曲线的计算问题【1 4 】，l i 和 c h e n 对时滞小世界网络给出了h o p f 分岔的发生条件，同时运用中心流形定理和规范形 理论得到了分岔周期解稳定性判别公式【1 4 1 】，s t e p a u 和h a l l e r 在研究时滞二自由度 机器人系统的动力学时发现，该系统有无穷多个参数值对应余维2 的h o p f 分岔 1 5 】 般来说，要得到非线性时滞动力系统的显式周期解是不可能的数学上有一些处理时 滞方程周期解的工具和方法，如不动点定理和l y a p u n o v 方法；另一种有意思的方法是 k a p l a n - y o r k 方法f 1 6 1 ，即对类具有一个或两个时滞的微分方程，利用具有某种对称 性的常微分方程的周期解来产生时滞微分方程周期解工程上一般采用平均法、多尺度 法、谐波平衡法等近似解析方法求得周期解的近似表达式，从而揭示运动幅值、周期 系统参数之间的关系m c d o n a l d 采用谐波平衡法讨论了时滞微分方程的一阶、二阶谐 波解【17 】，m o i o l a 和c h e n 【1 6 3 l 研究了一个具线性时滞前馈和非线性时滞反馈的控制 系统的h o p f 分岔，采用谐波平衡法分析了分岔后的自激周期振动，并给出了高阶谐波 逼近的一些计算公式，s a t o 等人 1 9 】分别讨论了非线性时滞振动系统的自由振动和简 谐受迫振动，运用中心流形定理和平均法讨论了该时滞系统的周期解及其稳定性这种 方法对参数的限制较少，并具有较高精度和常微分方程系统不同，一阶非线性时滞动 力系统即可产生混沌现象，文献【2 0 】从数学上严格证明了一个一维时滞非线性系统可产 生混沌关于混沌研究可以参阅 1 5 6 ，1 5 7 】 第一章绪论 1 2 分岔理论研究现状及进展 分岔问题的研究起源于1 8 世纪以来对天体力学、流体力学和非线性振动中一些失 稳现象的探讨，它具有深刻的工程应用背景1 8 3 4 年，j a c o b i 在研究自引力介质的椭球 形旋转液体星的平衡图形时，首先引入分岔这个术语1 8 8 3 年，r e y n o l d s 发现在临界 r e y n o l d s 数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性( s t a b i l i t yo ff l u i dm o t i o n ) 的研究1 8 8 5 年，p o i n c a r d 提出了旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论固体 力学的屈曲( b u c k l i n g ) 问题一直是推动分岔研究的重要动力2 0 世纪3 0 年代，v a nd e r p o l 、a m i r o n o v 等在非线性振动研究中已经发现大量的分岔现象然而，在相当长的一 段时间里，分岔研究主要是在应用领域中进行的，直到上世纪6 0 年代，微分动力系统， 突变奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论，电子计算机和有效计算手 段的相继出现，不同领域中混沌现象的发现，进一步推动了分岔理论迅速发展经过一 百多年来微分方程理论的发展，特别是近二三十年来，在微分动力系统和数值计算技术 的推动下，分岔理论的研究与应用已超越原来的数学学科的界限，广泛应用于力学物 理学化学，生物学，医学等学科和自动控制、系统工程、机械振动等工程技术部门， 以及经济学和社会科学等领域分岔动力学的研究大致分为如下几个方面【2 7 】。 ( 1 ) 分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件与充分条件，这是分岔问题研 究的基本内容 ( 2 ) 分岔定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的情况，这 是分岔研究的重要内容 ( 3 ) 分岔解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算由于非线性系统分岔的直接 求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的近似求解方法 ( 4 ) 研究各种不同分岔的相互作用，以及分岔与动力系统中其它现象( 混沌等) 的联 系 近年来，分岔理论提出了多种研究方法，这些方法大致可分为定性方法、定量方法 和数值方法三大类【1 5 8 ，1 6 0 ，1 6 2 】定性方法主要有奇异性理论p o i n c a r d 正规形法、 后继函数法l y a p u n o v 方法、次谐m e l n i k o v 函数法等定量方法主要有基于摄动法的 平均法、多尺度法、w k b ( w e n t z e l - k r a m e r s - b r i l l o u i n ) 近似法、幂级数方法内谐波平 衡法等由于非线性动力学问题的复杂性，使得定性方法和定量方法均十分困难，因而 3 第一章绪论 4 数值计算方法在分岔问题研究中具有十分重要的地位，且已取得了卓有成效的进展 1 3 非线性控制理论研究概述 自从1 9 3 2 年奈奎斯特( n y q u i s t ) 发表关于反馈放大器稳定性的经典论文开始，到现 在为止已经经历了经典控制理论阶段和现代控制理论阶段经典控制理论阶段所涉及的 对象是线性单回路系统，现代控制理论的研究重点是多变量线性系统，这些理论及方法 在工程上得到广泛的应用，并获得了巨大的成就但严格地讲，几乎所有的控制系统都 是非线性的，线性是在一定的范围内和一定程度上对系统的近似描述而在当时，由于 对控制系统的精确和性能要求较低，当系统的非线性因素被忽略，或者局部线性化后， 在一定的范围内可以满足对控制的要求因此，非线性系统没有形成像线性系统那样完 整，系统的理论体系 控制理论发展到今天，面临着一系列的挑战最明显的挑战是对象的本质非线性， 而目近代控制对象的运动是大范围的，例如卫星的定位和姿态控制、机器人控制、精密数 控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型，对于这类非线性系统的控制问题， 不能通过泰勒展开，用线性化的方法化为一般的线性系统问题，必须要采用非线性控制 方法同时，现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例如分岔、混沌、奇异吸引 子( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 等，均远远超过人们熟知的非线性现象一一自振( s e l f - o s c i l l a t i o n ) ， 无法甩线性系统理论来解释，所以有待科研工作者在非线性控制理论和应用方面取得 突破非线性控制系统早期的研究几乎是与线性系统平行的，并只针对一些特殊的、基 本的系统，虽然提出了许多具体方法 1 6 4 ，1 6 5 】，如相平面法、描述函数法和l y a p u n o v 法，但总的来说，由于非线性控制系统本身所包含的现象十分复杂，这些方法都有其局 限性，不能成为分析和设计非线性控制系统的通用方法自2 0 世纪8 0 年代以来，非线 性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线性分析，非线性泛函，物理学中的非线性 动力学发展都很迅速，与此同时。非线性控制系统理论也取得了一定的进展，主要表现 在以下几个方面：微分几何方法【2 8 】、微分代数方法1 2 l 】变结构控制理论【2 6 】、非线 性控制系统的镇定设计【2 2 】、逆系统方法【2 5 】，神经网络方法【2 3 】，非线性频域控制理 论【1 】1 和混沌动力学方法f 2 4 1 非线性控制系统理论的研究目前还处于发展阶段，还有 许多问题有待于进一步探讨，如智能化控制，复杂系统控制，稳健控制、随机与自适应 第一章绪论 控制、分布参数系统控制和系统辨识等问题，详情可参阅【1 6 6 】 1 4 分岔控制理论的现状、进展及工程应用背景 尽管分岔现象一般来说十分复杂，但它并不像混沌现象那样难以预测，因此，对于 分岔能否拉制的问题，人们一开始就没有怀疑然而，它又不像镇定混沌那样直接对 于微分动力系统，大部分的常规控制方法都可以用来镇定混沌分岔控制开始就遇到 如何运用常规技术的困难，因为这些控制方法通常都简单的把整个分岔现象清除掉，从 而达不到镇定或改变其动力学性态的目的常规技术需要改造，同时一些新技术需要发 展现在，据我们所知，分岔只可以用不多的方法来控制，这些方法都有其理论分析和 实验或模拟验证，并且在工程，生物，物理，化学，军事等领域都有一些应用 随着对非线性科学研究的深入。分岔控制的研究引起了越来越多学者的兴趣，也正 成为非线性科学研究的一个新热点在一些工程同题中，由于d l l 伍n g 振子的存在，会 产生鞍结分岔，导致跳跃、滞后等一系列破坏性的动力学行为出现在系统中加入适当 的非线性参数控制器，完全可以消除鞍结分岔，使跳跃滞后现象消失，并可大大减小 系统的振幅因此，对非线性系统的分岔控制进行全面地研究是非常必要的，具有重要 的理论意义和工程应用价值 非线性系统的分岔控制在国际上正在形成一个专门的全新的研究方向。分岔控制 的主要手段有线性和非线性反馈方法 1 2 2 ，1 4 2 】、应用w a s h o u t - f i l t e r 方法【2 9 ，1 5 5 】、频 域分析和逼近方法 3 0 】、正规形方法【3 1 】等等一般而言，线性特别是非线性状态反馈 方法是行之有效的分岔控制方法，应用w a 8 h o 雌矗1 t e r 的状态反馈分岔控制可以应用到 高维系统和多种分岔现象的控制如果分岔控制涉及到极限环，则频域分析和逼近方法 十分有效，因为极限环通常没有解析解，只能借助于逼近方法正规形理论是分岔分析 中非常自然和精确的工具分岔控制的主要任务是研究分岔控制的理论，提出分岔控制 的方法，对具体的工程系统就是设计一个控制器来改变分岔特征，从而产生所需要的动 力学行为典型的分岔控制包括：将原系统固有的分岔行为延迟【3 2 】；设计参数值，使 之产生新的分岔 1 2 5 】；设计参数值，改变平衡点的位置【1 2 0 】；改变原非线性系统的拓 扑结构，改变分岔类型【2 9 】；改变原系统极限环的类型、幅值、频率【1 2 4 等等对于自 治系统，现在已设计了一些线性的和非线性的控制器来规范系统的动力学行为，而对 5 第一章绪论 非自治系统的分岔控制研究的进展则要缓慢的多许多科学工作者还用时滞反馈控制 器【3 3 】，自适应控制器【1 3 1 】、鲁棒控制阻 对自治系统的分岔进行了研究，而这些研 究对于非线性分岔控制方面来说还是初步的，处于起步阶段另外，分岔控制的实验研 究在国内外基本上还是空白详细情况还可以参阅文献【1 2 1 ，1 2 3 ，1 5 4 】 到目前为止，分岔控制的研究成果已在许多领域得到了广泛的应用【1 2 0 ，如化学 工程、机械工程、电子工程、航空航天工程、生物医学，物理和化学、电力工程以及气 象等领域，显示出巨大的潜力 1 5 复杂网络系统的发展及现状 复杂网络充满了整个自然界和社会，从互联网和万维网，到生命体的新陈代谢和社 会网，我们就生活在一个充满着各种各样的复杂网络的世界中简单地说，如果把一个 个体看成是地球上的一点的话，那么网络就像是把这些点穿起来的连线和点构成的系 统，比如，计算机网络由路由器连成，而万维网由网页组成，电力网由电站，通信网由 通信线路等抽象为由一个个网络上结点的连线，通过不同连接方式组成的规模庞大的 复杂网络系统实际网络的各个结点各式各样，可以是社会的、经济的技术的，物理 的、军事的交通的、生命的等等大脑就是由轴突相连结的神经细胞网络，而细胞又 是由生化反应相连结的分子网络社会人际网络是由友情、家庭和职业关系彼此连结而 成的科技领域弥漫了各种复杂网，如各种交通运输网、电视通信网、科学家合作网， 各种语言文字网等等可谓复杂网络无处不在，不胜枚举值得注意的是，近年来国内 外发生的一系列重大网络事件，使人更加感到复杂网络在社会经济生活中发挥着不可 估量的作用令人难忘的是，2 0 0 0 年5 月4 日，嗳虫”病毒在互联网上大肆传播，一 天之内造成全球经济损失十多亿美元，更震惊的是2 0 0 3 年8 月1 8 日北美突然大停电， 就是复杂电力网络的一系列级联反应，导致整个电力系统土崩瓦解，美国和加拿大北部 部分地区一夜间陷入一片黑暗之中，经济损失和社会影响十分严重因此，深入研究复 杂网络系统已迫在眉睫 复杂网络的研究可以追溯到1 8 世纪数学家e u l e r 对著名的七桥问题的研究2 0 世 纪6 0 年代，e r d i j 8 和p 咯n y i 【3 5 】建立了随机图理论，开刨了复杂网络的研究复杂网络 的重要发现之一是小世界效应，最早发现这个现象源于1 9 6 7 年美国社会学家m i l g r a m 6 第一章绪论 提出个大胆的假设：所谓六度分离概念” 3 6 】，其基本思想是指在美国大多数人中， 任意两个人平均最多通过6 个人就能够彼此认识，迄今这个理论尚未被严格证明近几 年来，复杂网络的研究正渗透到从物理学到生物学的众多不同的学科，对复杂网络的定 性特征与定量规律的深入探索、科学理解以及可能的应用，已成为网络时代复杂性科学 研究中个极其重要的挑战性课题，特别是，国际上有两项开创性工作掀起了股研究 复杂网络的热潮一是1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 在n a t u r e 杂志上发表文章，引入了小 世界( s m a l l - w o r l d ) 网络模型【1 3 3 】，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变二 是1 9 9 9 年b a r a b i 和a l b e r t 在s c i e n c e 上发表文章指出f 3 7 】，许多实际的复杂网络的 连接度分布具有幂律形式由于幂律分布没有明显的特征长度，该类网络被称为无尺度 ( s c 如丘) 网络 研究复杂网络的过程中，些重要的特征量被引入刻画复杂网络特征，包括平均距 离( a v e r a g ed i s t a n c e ) 聚类系数( c l u s t e r i n gc o e 伍c i e n t ) 、度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 等 平均距离是指所有节点对距离的平均值，它描述了网络有多小；对于某个节点，它的聚 类系数为它所有相邻节点之间连边的数目占可能的最大连边数目的比例，网络的聚类系 数则是所有节点簇系数的平均值；节点的度值指与该节点相连接的边数，度分布是度值 恰好为的概率 具有不同拓扑结构的复杂网络可以分为正规网格、随机网络、小世界网络，无尺度 网络等等正规网格是具有规则拓扑结构的网络，如完全连接图、星状网络等正规网 格具有大的平均距离和大的聚类系数随机网络是节点之间按概率连接的复杂网络， 它具有小的平均距离和小的聚类系数作为从正规网格到随机网络的过度，w a t t s 和 s t r o g a t z 【1 3 3 】于1 9 9 8 年引入小世界网络模型，称为w s 小世界网络模型，它是从邻近 节点连接图开始，按一定概率随机重新连接网络中的边得到的；1 9 9 9 年，n e w m a n 和 w a t t s 1 3 4 1 提出了一个新的小世界网络模型，称为n w 小世界网络模型，它是从邻近节 点连接图开始，按一定概率随机选取一对节点，并在这对节点之间加上一条边而得到 小世界网络具有大的聚类系数和小的平均距离无尺度网络是节点和节点之间的连结分 布遵循幂次定律的网络，如美国的航空网无尺度网络的大部分节点只有少数连接，而 少数节点则拥有大量连接，该网络也具有小世界特征 近几年来，大量关于复杂网络的文章发表在s c i e n c e ，n a t u r e ，s i a mp e v l e w ，r h y s 7 第一章绪论 r e v l e t t ，i e e et a n s c i r c u i ts y s t i ，c h a o s 等国际一流的刊物上，从个侧面反映 了复杂网络已经成为学术界的个新兴的研究热点可以预见，网络化是今后若干年许 多领域研究发展的一个主流方向，因此复杂网络系统的研究显得愈来愈重要 1 6 本文研究目的，主要内容和创新点 1 6 1 研究目的 混沌和分岔的发现是非线性科学具有里程碑意义的成果，混沌控制已取得了一些 研究成果，但分岔及其控制的研究起步稍晚，正在形成非线性科学新的研究热点 分岔及其控制的研究虽然已取得了一定的研究成果，并在许多领域有了成功的应 用，但从整体上来说，分岔及其控制的研究相对其它非线性科学领域还未形成完整体 系然而在很多复杂动态系统中普遍存在分岔现象，如网络拥塞模型和小世界网络模型 中，由于参数的扰动，产生了h o p f 分岔，导致了失稳等一系列破坏性的动力学行为的出 现，而目前还没有对这一现象进行有效控制又如，大型电网临近严重超负荷导致灾变 时，非线性动力分岔现象非常明显通过分