（计算机应用技术专业论文）非线性微分差分方程守恒律的自动推导研究.pdf

摘要 在当代非线性科学中，非线性方程的可积性是广大学者的重要研究方向之一 本文将结合著名数学家吴文俊的数学机械化思想，并以计算机代数系统m a p l e 为 工作平台研究非线性微分差分方程( d d e ) 守恒律的代数构造算法及其机械化实 现本文主要内容包括如下三部分 第一部分综述了四种典型的构造( 1 + 1 ) 维离散化可积等谱发展方程族系统无 穷守恒律的方法，具体包括r i c a t t i 方程组构造法、特征函数形式解构造法、迹恒等 式构造法和b 自i c k l u n d 变换构造法 第二部分研究非线性d d e 守恒律的待定系数构造算法本文从微分方程的标 度变换出发，利用“分治”策略改进了构造非线性d d e 守恒律待定系数算法中的 关键步骤，有效解决了因冗余项急剧增加引起的中问计算过程膨胀问题，并将吴 消元法应用到非线性代数方程组的求解上，从而给出了一个更高效的代数算法另 外，初步研究了离散化的零阶欧拉算子和同伦算子 第三部分基于m a p l e 系统实现了改进后的代数构造算法，开发了非线 性d d e 多项式守恒律的自动推导软件包c l a w d d e s 只要输入多项式形式的 等秩d d e ，无论是单个方程还是耦合方程组，c l a w d d e s 都能自动确定变量的标 度变换特性和不同秩的多项式守恒律甚至对扩展类型的方程，只要经过适当的变 量替换同样可以调用c l a w d d e s 来构造守恒律对于参数化的非线性d d e ，软件 包还能自动过滤出方程可积的参数限制条件，从而可能获得一些新的可积系统 关键词：微分差分方程，守恒律，可积性，l a x 对，b 自i c k l u n d 变换，标度对称， 欧拉算子，同伦算子，符号计算 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fc o n t e m p o r a r yn o n l i n e a rs c i e n c e ，t h ei n t e g r a b i l i t yo fn o n l i n e a re q u a - t i o n sa t t r a c t sm u c ha t t e n t i o no fr e s e a r c h e r s w i t ht h ew e l l k n o w nw u se l i m i n a t i o nm e t h o d a n dt h ec o m p u t e ra l g e b r a i cs y s t e mm a p l e ，w es t u d yv a r i o u sa l g e b r a i ca l g o r i t h m so fc o n s e r v a t i o nl a w st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n ( d d e ) a n da u t o m a t e dd e r i v a t i o n o u rm a i nw o r ki n c l u d e st h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s i np a r ti ，w ef o c u so nf o u rt y p i c a la l g o r i t h m sf o rc o n s t r u c t i n gi n f i n i t ec o n s e r v a t i o n l a w st ot h ef a m i l yo fd i s c r e t ei s o s p e c t r a le v o l u t i o ne q u a t i o n si n ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n s t h e s e m e t h o d sc o n t a i nr i c a t t ie q u a t i o nm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nf o r m a ls o l u t i o nm e t h o d ， m u l t i s y s t e mt r a c ei d e n t i t ym e t h o da n db ；i c k l u n dt r a n s f o r mm e t h o d p a r ti ii sd e v o t e dt os t u d y i n gi n t e g r a b i l i t yo fn o n l i n e a rd d e sf r o mt h ev i e wo fc o n s e r v a t i o nl a ws t a r t i n gf r o ms c a l i n gs y m m e t r y t h e “d i v i d ea n dc o n q u e r s t r a t e g yi su s e d t oi m p r o v et h ek e ys t e p so ft h eu n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rc o n s t r u c t i n gp o l y n o m i a lc o n s e r v a t i o nl a w so fn o n l i n e a rd d e s ，s ot h ec a l c u l a t i o nc o m p l e x i t yp r o b l e m c a u s e db yt h ed r a m a t i ci n c r e a s eo fr e d u n d a n c yi ss o l v e d f u r t h e r m o r e ，w u se l i m i n a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt os o l v et h eo b t a i n e dn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n st h u st og e ta m o r ee f f i c i e n ta l g e b r a i ca l g o r i t h m i na d d i t i o n ，t h ed i s c r e t ee u l e ro p e r a t o ra n dh o m o t o p y o p e r a t o ro fo r d e r z e r oa l ep r e l i m i n a r i l ys t u d i e d p a r ti i ii sd e v o t e dt og i v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gi m p l e m e n t a t i o ns o f t w a r ep a c k a g e c l a w d d e sb a s e do nt h ei m p r o v e da l g e b r a i ca l g o r i t h mi nm a p l e a sl o n ga st h es y s t e mo ff i r s to r d e rp o l y n o m i a ld d e si n ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n si sg i v e n ，n om a t t e rw h e t h e ra s i n g l ee q u a t i o no rt h ec o u p l e de q u a t i o n ，c l a w d d e sc a na u t o m a t i c a l l yo u t p u tt h es e a l i n gs y m m e t r i e so ft h ev a r i a b l e sa n das e r i e so fp o s s i b l ep o l y n o m i a lc o n s e r v a t i o nl a w sf o r d i f f e r e n tr a n k f o re x p o n e n t i a lf u n c t i o ne q u a t i o n sa n dt r i a n g u l a rf u n c t i o ne q u a t i o n se t c ， c l a w d d e sc a na l s ob eu t i l i z e dt oc o n s t r u c tt h ec o n s e r v a t i o nl a w sa f t e rp r o p e rv a r i a b l e s u b s t i t u t i o n f o rp a r a m e t e r i z e dn o n l i n e a rd d e s ，t h es o f t w a r ei sa b l et oa u t o m a t i c a l l y f i l t e ro u tt h ep a r a m e t e rc o n s t r a i n t st og u a r a n t e ei n t e g r a b i l i t ys oa st og e ts o m en e wi n t e g r a b l es y s t e m s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，c o n s e r v a t i o nl a w , i n t e g r a b i l i t y , l a x p a i r , b l i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，s c a l i n gs y m m e t r y , e u l e ro p e r a t o r , h o m o t o p yo p e r a t o r , s y m b o l i cc o m p u t a t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名：盎丝丝 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用丁二非赢利目的的少景复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：基缝丝 导师签名：扭纽彳聋 日期： 第一章绪论 自2 0 世纪5 0 年代“孤立子”概念提出以来，孤立子理论目前已经发展成为非 线性科学的一个重要组成部分，其中孤子方程的可积性是孤子理论研究中的一 个重要方向然而，微分方程可积性至今尚未确切定义，提到可积往往是指不同 意义下的可积，如l i o u v i l l e 可积、i s t 可积、p a i n l e v 6 可积、守恒可积、对称可积 及l a x 可积等但是，非线性微分方程的完全可积性可由存在无穷守恒律、无穷对 称和多h a m i l t o n 结构这三大代数特征来定义另一方面，结合数学机械化思想，借 助计算机代数方法能自动完成复杂繁琐的数学演算、数学推理和数学证明，因而 在非线性系统的代数特征研究中，一些代数构造方法越来越受到人们的青睐实际 上，符号计算是精确计算，它处理的数据和处理后的结果都是具有含义的抽象符 号上世纪7 0 年代具有中国传统特色的吴消元法【1 ，2 】的提出，是中国当代数学发 展中乃至国际数学界的一个引人瞩目的新里程碑吴方法在数理科学、系统科学、 理论物理和计算机科学等基础科学领域的成功应用展示了数学机械化思想的巨大 魅力 1 1 非线性微分差分方程守恒律及其研究 客观世界中很多有趣的自然现象，比如，晶格粒子的振动，电网中电荷的流 动，竞争种群的相互作用等等，都可以借助非线性微分差分方程( d d e ) 模型准确 地描述【3 】近几年来，微分差分方程、差分方程以及格方程更是非线性离散系统中 的重要研究内容相对于全离散的差分方程而言，d d e 中只有空间变量是离散的而 时间变量仍保持连续，因此d d e 可看做是半离散化方程 守恒律是客观存在的自然规律之一，它反映了某物理量不随时间改变的一种 现象，最典型的有质量守恒、动量守恒和能量守恒在孤子理论中，守恒律对微分 方程系统性质的研究起着十分重要的作用，比如，递归算子、双或三h a m i l t o n 系统 的构造，方程的分类以及微分方程解的基本特性分析等如果一个非线性微分方程 拥有无穷多或许多守恒律，则称该方程守恒可积【4 ，5 】如果微分方程守恒可积，那 么它的解一定存在而且完全可积，这就意味着方程可以通过反散色( i s t ) 方法获 j i非线性微分差分方程守恒律及其研究 得精确解反之则不一定成立，也就是说，没有无穷守恒律的方程也可能可积，比 如b u r g e r s 方程和i b r a g i m o v s h a b a t 方程而p a i n l e v 6 可积仅仅是判定微分方程是否 可积的必要条件对于某些参数化的非线性演化方程，利用软件包w k p t e s t 无法直 接测试其p a i n l e v 6 性质只有预先给出参数之间的关系，p a i n l e v d 可积性才能进一 步得到确定而在守恒律构造的同时恰好就可以过滤出这些参数的限制条件研究 表明，无穷守恒律、无穷广义对称及多h a m i l t o n 结构是孤子系统完全可积的三个 重要特征，并通过守恒量、守恒协变量、梯度和递推算子、以及遗传强对称性质等 实现其内在的密切联系【6 ，7 】另外，在数学中守恒律也是很有意义的，比如，借助 运动常数可以对偏微分方程解的存在性、唯一性及稳定性进行先验估计 对非线性微分方程守恒律构造方法的研究一直都十分活跃自从k r u s k a l 、m i u r a 等人【8 ，9 】发现k d v 方程( 即u t + u p , x + u q u = 0 ，其中p ，q 是非负整数，且p 2 ) 的无穷守恒律以来，像m i u r a 变换、b i i c k l u n d 变换、i s t 方法、l a x 对以及 双h a m i l t o n 结构等一系列守恒律计算方法相继出现利用m i u r a 变换，楼森 岳等人【l o 】获得了变系数k d v 方程和m k d v 方程的无穷守恒律运用对称函 数方法，屠规彰和秦孟兆 11 】成功证明了k r u s k a l ，m i u r a 提出的关于一类高 阶k d v 方程守恒律个数的猜测问题，而且明确指出了该类方程守恒律的个 数7 0 年代中期，w a d a t i 和k o n n o 等人 1 2 ，1 3 】利用i s t 方法、b i i c k l u n d 变换，及 特征函数形式解方法从l a x 对出发构造出了非线性演化方程的无穷多守恒律 1 9 9 8 年，t s u c h i d a 和w a d a t i 【1 4 】给出了一种用以获得多元系统无穷守恒律的迹恒 等式方法n o e t h e r 【1 5 1 8 】证明了一些来自差分原理系统的非凡结果，首次提出系 统的每个守恒律都来自相应的对称性质因此，守恒律可以利用方程的对称属性 来构造借助形式对称，y a m i l o v 及其合作者【1 9 ，2 0 】给出了半离散化方程无穷多 守恒律存在的充要条件及相应的构造算法2 0 世纪初，对于离散等谱发展方程族 系统，张大军【2 1 ，2 2 】直接从l a x 对出发，通过导出特征值问题的r i c c a t i 方程组成 功构造了方程族的无穷多个守恒律构造d d e 守恒律的方法不一而足，事实上， 考虑到d d e 与p d e 之间的相似性，很多计算p d e 守恒律的方法都可类似地推广 到d d e 情形 2 3 - 2 7 近几年来随着计算机技术的不断发展，人们开始结合符号计算系统，研究各 种构造守恒律的直接代数方法，将冗长的代数计算交由计算机去完成，从而大大 提高了守恒律计算的效率和准确性t h o m a sw o l f 在r e d u c e 系统上开发的软件 包c o n l a w 【2 8 】可用于计算常微分方程( o d e ) 的一次积分和偏微分方程( p d e ) 的 守恒律基于n o e t h e r 理论，c h e v i a k o v 编写的m a p l e 软件包g e n 【2 9 】利用广义对称 构造了o d e 与p d e 的守恒律由于该方法需借助传统的不变曲面条件来计算微分 方程的对称，因此需求解用以确定无穷小的决定方程组，然而决定方程组的完全 求解并非易事9 0 年代末期，根据齐次微分方程的等秩属性，g 6 k t a s 和h e r e m a n 等 2 1 2 本文的选题和主要i 作 人【3 0 】提出一种构造守恒律的较为简洁的算法该算法利用e u l e r - l a g r a n g e 方程变 分原理巧妙地给出了非线性p d e 的多项式形式守恒律，并在m a t h e m a t i c a 系统上 开发了c o n d e n s m 软件包更进一步，为了构造d d e 的守恒律，他们将欧拉算子推 广到了离散情形并引入了同伦算子【3 l ，3 2 1 但是利用离散化欧拉算子和同伦算 子来构造守恒律的方法在计算上显得较为复杂事实上，为了更高效地计算非线 性d d e 的多项式守恒律，他们在程序包d i f f d e n s m 【3 3 】中采用了单项式等价准则和 移位技术但是对于包含未知参数( 特别是带权参数) 的d d e ，随着守恒密度秩的 增大，使用该算法构造得到的守恒密度基本组成项中冗余项的个数将急剧增加，结 果导致庞大的非线性代数方程组而用s o l v e 命令直接求解时效率较低，甚至可能 会漏解事实上，提高非线性代数方程组的求解效率是优化自动推导软件包的关 键所在为此，e k l u n d 在d d e d e n s i t y f l u x 【3 】3 程序中提出一种对守恒密度基本项进 行“分治”的改进方案该方案先将待定守恒密度按秩表达式的同异拆成若干个子 守恒密度，然后对各子守恒密度单独进行计算但是经过分析验证我们发现该改进 方案存在错误，有关这点将在后续章节中给出示例说明 1 2本文的选题和主要工作 如前所述，可积性是微分方程研究中的重要课题之一，而微分方程是否拥有无 穷守恒律正是判断其是否可积的有效途径因此，对于微分方程守恒律，无论是提 出新的构造算法还是改进已有算法都是很有意义的研究工作若能借助计算机代数 系统，进一步开发出自动推导微分方程守恒律的高效软件包，这将会为相关领域的 理论和应用研究提供有效的工具和手段 本文在前人研究工作的基础上，结合数学机械化思想，深入研究非线 性d d e 守恒律的代数构造算法及自动推导主要工作概括如下： ( 1 ) 就( 1 + 1 ) 维具有l a x 可积性的离散化等谱发展方程族，分析比较了四种 有代表性的无穷守恒律构造方法这些方法的构造原理叙述如下：a 由l a x 对导 出r i c a t t i 方程组，并利用发展方程族的相容性条件来获得整个方程族的无穷守恒 律；b 通过特征函数形式解，再应用分析技巧来构造整个发展方程族的无穷守恒 律，该方法在计算上显得较为复杂；c 通过矩阵函数的迹恒等式可以得到多元系统 的无穷守恒律；d 通过b i i c k l u n d 变换的亡一部分来构造守恒律的一般形式，但是该 方法只适用于单个方程 ( 2 ) 对基于标度不变性构造非线性d d e 多项式守恒律的待定系数算法进行了 深入研究由于是构造性算法，因此随着守恒密度秩的增大，守恒密度所包含的项 数将迅速增加，结果导致守恒律计算时间过长我们在每一步算法设计时充分考虑 3 1 2 本文的选题和主要i 作 了这些问题基于“分治 方法，我们对得到的关于系数及参数的非线性代数方程 组按长度进行分组求解，这样既修正了e k l u n d 改进方案中对基本项拆分造成的错 误，又提高了原待定系数算法的计算效率其次，为了避免漏解，本文利用吴消元 法求解所得的代数方程组另外，考虑到高维d d e 的守恒律构造问题，我们对离散 化欧拉算子和同伦算子做了初步研究 ( 3 ) 在计算机代数系统m a p l e1 1 上实现了基于吴消元法和“分治”策略改进 的代数构造算法其中的软件包c l a w d d e s 可自动推导出非线性d d e 的多项式形 式守恒律并以若干个不同类型的d d e 为例，验证了软件包的有效性和高效性无 论是单个方程还是耦合方程组，c l a w d d e s 都能自动给出方程的标度对称及不同 秩对应的守恒律甚至对扩展类型的方程，只需经过适当的变量替换，同样可以调 用c l a w d d e s 来计算方程的守恒律对于参数化的d d e ，软件包还能自动筛选出 无穷守恒律存在的相容性条件，从而得到新的可积系统因此，c l a w d d e s 可以作 为测试非线性d d e 是否可积的有效工具 4 第二章非线性微分差分方程族无穷守 恒律的几种构造算法 在非线性微分方程中，有一类描述随时间而演变的过程的非线性模型通常被 称作非线性演化方程或非线性发展方程本章主要针对( 1 + 1 ) 维离散化等谱发展方 程族系统，给出直接从l a x 对出发来构造无穷守恒律的几种算法事实上，这些方 法都是从连续情形推广而来的 2 1 非线性微分差分方程守恒律基本定义 考虑如下的( 1 + 1 ) 维非线性d d e s 虬= f ( ，u n 一1 ，u 卅1 ，) ，( 2 1 ) 其中向量函数u n = u ( n ，t ) 可以有任意多个因变量分量，如，v n ，w n 等离散空间 变量n 是一个任意整数，u 竹表示u n 关于时间变量t 的一阶导数，f 是u 。及其不同 移位的多项式对于方程( 2 1 ) 中包含关于t 的高阶导数或者f 是非多项式的情形， 则需通过变量替换，预先将d d e s 转换成只包含关于t 的一阶导数的多项式为简 便起见，以下叙述中仅以单个方程为例 对于d d e ( 2 1 ) 式的任意解u n ，如果存在一对关于u n 及其不同移位的标量函 数风和厶，使得 d p k + 厶= 0( 2 2 ) 成立，则方程( 2 2 ) 就称为d d e ( 2 1 ) 所满足的局部守恒律，而风和厶分别称为守 恒密度和连带流方程( 2 2 ) 中的称为向前微分算子，满足= d i ，其中向前 移位算子d 及其逆算子d _ 1 分别定义为d u 他= u n + 1 和d _ 1 u n = u n 一1 ，而i 为单位 算子移位算子作用于函数时相当于其作用于函数的参数，比如d f ( u n ) = ，( u n + 1 ) 在下面的叙述中，我们假设f 、砌及厶都是关于u n 及其不同移位的且不显式依赖 于自变量t 和n 的多项式自治函数 5 2 2 非线性微分差分隽程族无穷守恒律的构造 假设口a - - u n = ，( u n 呻，乱n 一舛1 ，u n + q 一1 ，u n + q ) ，则有 。( 丢乱n ) = d f ( u n - p ，u n 升，u 时q t ，+ 口) = f ( u n p + 1 ，一计2 ，扎n + 1 ，+ g ，u 计口+ 1 ) = - d d i u 竹+ 1 = - 五d ( 一d u n ) 2 u 竹+ 12j 。 而函数厶关于时问变量t 的全导数可表示为 。扣塞( 羔知) = ( 奎蔫。七净 = ( 奎毪萨卜 因此 叩删= ( 奎羔砂) f n + l = d t f n + l = d t ( d f n ， 也就是说，算子d 和d 。可交换类似可证d 和a 也可交换 对于某个守恒密度如，若记 口 q = d 七肪， k = p 取适当的边界条件，比如k _ + o o 时，钆七衰减为零，则可得 d q = l i mi y 厶一l i md q + l 厶= 0 p _ 一o o q o o 对于具有周期性的有界格方程系统，比如u 七= u k + n ，则可得 d t q = d o 厶一d 厶= 0 由此可知q 是一个守恒常量 2 2 非线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 ( 2 3 ) 构造非线性微分差分方程族系统无穷守恒律的常见方法有以下四种：r i c a t t i 方 程组构造法【2 1 】，特征函数形式解构造法【2 4 】，迹恒等式构造法【2 6 】和b i c k l u n d 变 换构造法【2 3 具体构造过程依次介绍如下 6 厶 h d 一矿 l l 厶 1 d d 口脚 = 厶 d一 叮脚 = n p dd g 脚 i | q 有 d 贝 2 2 非线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 2 2 1 通过r i c a t t i 方程组构造无穷守恒律 该方法首先从l a x 对的空问部分出发来导出r i c a t t i 方程组，然后通过发展方 程族的相容性条件构造出守恒律的一般表达式，再由r i c a t t i 方程组的解得到具体 的守恒律由该方法可以获得整个发展方程族的无穷守恒律下面我们以具体例子 来说明如何直接利用l a x 对来构造守恒律 考虑t o d a 链的离散谱问题 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 咖= 汜) 一( 三入二) 一( 左龄 它可用于解释著名的f p u ( f e r m i ，p a s t a 和u l a m ) 问题将l a x 对的空问部分( 2 4 ) 展 开，则有 t 多l , n + l2 ( 2 6 ) 如，时1 = 一陬1 ，n + ( 入一) 也，n 引入以= 老等，则由( 2 6 ) 式可得关于“的r i c c a t i 方程 a o n = 1 + o n + p n 靠一1 0 n ( 2 7 ) 1 r o n ：曼警并代入( 2 7 ) ，比较a 的各同次幂系数，于是得到 p 9 ) = 1 ，口乎) = ， 0 n o + 1 ) ：妨，o + 钉n 略) + 鼽j - 1p 坦。眙一舢 2 8 由l a x 对的时间部分( 2 5 ) 可得 2 n ，t = c k 1 n + d n 2 n ( 2 9 ) 利用恒等式1 n 鱼舞字= a l nq 5 l ( n ) ，计算 ( - - i n 吣= ( n 杀) 。= ( 1 n ) 。 ：挲：( g 竽+ d n ) ( 2 l o ) 9 2 n9 2 竹 = ( g o n 一1 + d n ) ， 矽九 m = = 脚也 中其 2 2 菲线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 该式即为t o d a 链族的守恒律取g = 一p n ，d n = l 时，t o d a 链方程为 加，t = ( 一v n 1 ) ， t2p n + l 一 由( 2 1 0 ) 可知其守恒律形式为 ( 一l n o n ) t = ( 一靠一1 + 1 ) ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 将其进一步展开得 防，蟾譬卅卜薹譬+ 1 ) 亿聊 比较上式中去的同次幂系数，再利用( 2 8 ) 可得t o d a 链方程( 2 11 ) 的前三个守恒律 p i e , + 互1 9 一1 ) = a p n v n 一1 ， ( 2 1 4 ) ( 一1 ) + j 1 ) 亡= ( 一1 + 一1 ) 2 2 2 通过特征函数形式解构造无穷守恒律 根据特征函数所满足的谱问题给出用指数函数表示的特征函数形式解，再利 用分析技巧构造守恒律该方法也是从l a x 对出发来获得整个发展方程族的无穷守 恒律，但是计算过程较复杂，实际应用起来并不方便 考虑a b l o w i t z l a d i k 的谱问题，其空间部分为 1 ，l + l = z 4 , 1 n + 6 h 2 n ， 2 n + l = t n + 知 q j 5 相应的时间发展式为 1 n 。t = a n 1 n + t 3 也n ， 2 n t = ( 五1 n + d n 2 n 假设( 2 1 5 ) 式具有如下形式的解 1 n ：矿e 。三。 l m j ，当n _ 一0 0 时，九n _ 矿，1 n = 矿e m 兰一”“，当n _ 一时，九n _ 矿， 咖2 n ：名一n e 墨。 2 m j ，当n _ 时，2 n _ 2 ：- n 8 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 2 2 菲线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 将形式解( 2 1 7 ) 代入( 2 1 5 ) 可得 进而有 由( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 得到 再结合( 2 2 0 ) ，于是有 ( e l ( 叶1 ) 一1 ) ( e 一 2 ( n ) 一1 ) = z 2 e h l ( n )e h l ( n + 1 ) - - 1 q - a ：e 一 2 ( n 一1 ) e h l ( n ) 一1 q n 。 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 名2 e l ( n ) q n - - 1 ( e 1 ( n + 1 ) 一1 ) 一( e l n ) 一1 ) 2 g n 一1 r n 一1 ，( 2 2 2 ) 引入w n = e h l ( n ) 一1 ，则可将上式改写为 z 2 w n + l = g n r n 一1 + ! 生叫n z 2 w n w n + 1 矿 = g n r n 一+ 二叫n z nn + 1 取：量孝w o ) 并代入( 2 2 3 ) ，比较z 的各同次幂系数，于是得到 ( 1 )( 2 1 叫n 一+ l2 r n 一1 ，w n + l2q n r n - 2 一q n l q n r n 一2 r n - - 1 ， 叫料2 札- 跏+ 羔叫妒一蔷妒叫料以，歹= 1 2 ， 结合时间发展式( 2 1 6 ) 和恒等式l n 鱼舞字= ai n ( n ) ，计算 ( i n 等) t = ( 1 n m - ( a n + 玩急) ， 利用( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ，上式可转换成 面d 九1 ( n + 1 ) = ( a + 玩名磊1 + 1 ) 由t a y l o r 公式展开 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 川) _ 1 n ( 1 圳= 扣广1 彩1 旷驴0 0 广1 l | 。虽盟z 2 j l j = lr 七= l七= 1 j 则( 2 2 6 ) 可进一步表示成 旷+ 1 罐别七卜卜风z 去喜 该式即为a b l o w i t z l a d i k 方程族的守恒律 9 ( 2 2 7 ) 鼽一h h 一犰一一 = = 1 l 一 一 h 似 惋 扩 e 、l一、 盟 2 2 非线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 2 2 3 通过迹恒等式构造多元系统守恒律 首先介绍与矩阵函数相关的三条重要性质 性质1 ：如果j = l ( 1 ) j + 1 了a 3 收敛则有 l n ( 舻壹( _ 1 ) 孚 性质2 ：如果a 霉( z ) a ( z ) = a ( x ) a z ( z ) ，则有 一d l n a(x)：ax(z)a(z)一1：a(z)一14正(z)dx 性质3 ：对于矩阵函数a 、b ，恒有 t r ( a b ) = t r ( b a ) ( 2 3 0 ) 式称为矩阵函数a 和b 的迹恒等式 现在考虑如下的谱问题 ( i i l n + l = ( 乏0 n ) ( o l n ) ， 和时间发展式 ( 兰：) 。= ( 左爰) ( 耋：) ， c 2 3 2 ， 其中1 n ，皿2 n ，& ，q n ，如，死，a n ，风，c 么，队都是m m 方阵 引进矩阵函数n = 皿鼽皿嚣，则由谱问题( 2 3 1 ) 可得 f n + l = 2 n + 1 皿1 - - n 1 + 1 = ( 心皿1 n + 死皿2 n ) ( 1 竹+ q n 皿2 n ) 一1 ，( 2 3 3 ) 进而有 f n _ 1 ( s n l 重1 n + q n 皿2 n ) = ( 皿1 n + 瓦2 n ) 在方程( 2 3 4 ) 的两边同时乘以皿叠，则得关于l 的离散r i c c a t i 方程，即 r n + 1 ( - + q 竹r n ) = r + t r n 另一方面，利用( 2 3 1 ) 得到 【al n 皿1 n 】t = ( i n 、i 1 n + 1 皿- - 1 n 1 ) t = 1 n ( s + q n f n ) 】t 1 0 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 功 缈 d 鹚 柳 珊 但 q 但 q 2 2 非线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 又由于 ai n 皿1 n 】t = ( i n # 1 n + 1 霍1 - n 1 ) t = ( 1 n + 1 霍1 - - n 1 ) ( 田l n + 1 1 - - n 1 ) 一1 一t i l n + l , t t i 1 - - n 1 + 、i 1 州( 皿跏1 竹皿击1( 2 3 7 ) = ( 皿1 n + 1 ，t 嚣一皿1 n + l 、i t i n 。 1 n ，t 1 - n 1 ) 皿1 n 皿i 1 + 1 = a 竹+ 1 + 氏+ 1 r + 1 一t i l 竹+ 1 皿叠( a n + b r n ) 霍1 n 量1 - - 他1 + 1 则由( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 式，我们有 【l n ( s n + q n f n ) 】t = d ( a n + b f n ) 一皿1 n + 1 皿1 - 2 ( a 竹+ b n f n ) 皿1 n 皿1 - - n 1 + 1 ( 2 3 8 ) 根据矩阵迹恒等式性质即得半离散矩阵系统的守恒律 t r 1 n ( s n + q n f n ) 】= a t r ( a 。+ b n r n ) 下面以a b l o w i t z l a d i k 矩阵系统为例，即取 s 嘎：z i 。t n ：! i 。 z a n = z 2 一q 竹一1 ， g ：z r 一1 一三心， 名 则r i c c a t i 方程( 2 3 5 ) 式可写成 玩= z 虢一1 名q n 一1 ， 队：j 万1 + 心仉- 1 z r 竹+ 1 ( z i + q n r n ) = p h + l z r n ， 在( 2 4 1 ) 式两端同时左乘z q n + 1 得 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) z 2 q 他+ 1 f n + 1 + 名q n + 1 r n + 1 q n f n = z q n + 1 r + q n + 1 q ：1 q n f n ，( 2 4 2 ) - e i f g ：a - 并代入( 2 4 2 ) ，比较z 的各同次幂系数，于是得到 e 罂1 _ v 肘1 如，e 黑1 = q 竹+ 1 心一l q 1 r 骗r “ e 翁譬：q n + 1 风如，。+ q 竹+ 。q 二e g ) 一壹e 辫1 e g + 1 一扪，歹：2 ，3 ，2 4 3 k = l 将( 2 4 0 ) 代入( 2 3 9 ) 即得a b l o w i t z l a d i k 矩阵方程的守恒律 打【1 n ( z i + q n r 竹) 】。= t 7 ( z 2 一q n 一1 + z q 7 l r n 一三q n 一1 r n ) ， ( 2 4 4 ) 11 芦 = n r nq 开展 2 2 非线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 也即 打 1 n ( j + 三q ) t - - - - a t r ( 一“一t + 如r 竹1 z q “， ( 2 4 5 ) 再将展开式代入，则守恒律可进一步表示成 鲤罂州时驴o o g 、( j ) 亿岣 卸* 仉心1 + 壹嘉一乳。时i ) 其中前两个守恒律具体形式如下： t r ( q n r n 一1 ) t = ( q n r n 一2 一q n r n a q n 一1 r n 一2 一q n 一1 r 竹一1 ) ， 1 t r ( q n 一2 一q n 一1 q 竹一1 r 一2 一云( 仉一1 如一1 ) 2 ) t = a ( q n q ：i _ i ( q n 一1 一3 一骗一1 一2 q n 一2 一3 ) ( 2 4 7 ) - q n r n 一1 ( q n 一1 r n 一3 一q n 一1 r n 一2 q 竹一2 r n 一3 ) 一( q n 一1 f k 一2 一q n r n 一1 q n 一1 j 一2 ) q n 一1 _ f k 一2 - q n 一1 q n - 1 ( 骗r 一2 一q n r 一1 q n 一1 一2 ) ) 2 2 4 通过b i i c k l u n d 变换构造守恒律 b l i c k l u n d 变换对研究非线性微分方程的可积性有十分重要的意义一般方程 的b a c k l u n d 变换都包含z 一部分和亡一部分利用t 一部分可直接构造出守恒律的一 般表达式，而通过z 一部分导出的r i c c a t i 方程则可以得到守恒密度的具体表达式 该方法是从具体方程出发的，并不受l a x 对的限制，因此只是得到单个方程的无穷 守恒律 考虑如下的t o d a 链方程 其b i i c k l u n d 变换 3 4 】为 警= e - c 旷- ，一c 嘞， c 2 邯， 以一1 t = g n ，t p ( e 一一e q n - 1 - - 一1 ) ， ， ， 蠢t = 嘶+ 丢( e 五一一e “一叶 1 2 ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 2 2 菲线性微分差分方程族无穷守恒律的构造 通过( 2 5 0 ) 一( 2 4 9 ) 得到 磊一，。= 一蠢一 五一t ) + 否1 f l ( e q n e q n _ l - - ( e q ：l 一鼽+ l e 五一- 一铀) 五一1 ，t = 一一 一1 ) + 石( e 一鼽+ 1 一e 一l 一铀) =(p(e一-一c)+丢(e五-l-qrt_-1-qn三) ) ， = ( p ( e _ - 一c ) + 云( e q n 三) ) ， 将算子d 作用于( 2 4 9 ) 并减去( 2 5 0 ) ，于是得到 ( 2 5 1 ) 三蒜芝翟- l - - ( e q 知一叭亿5 2 ，= ( p ( e 口竹一蠢一c ) + 丢( e 五丢) ) ， 峥j 纠 其中常数c ：l i me 鲰一五观察( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 可f f 4 n _ + o o 磊一1 ，。= f l ( e q n - l - 五- 1 _ c ) + 万1 ( e 五一- 一鼽一云1 ) ， 蛳= 阢妒五一c ) + 否1 ( e 磊- l - - q - - 丢) 令：勘z ：p c ，a n ：e 鼽一“，如：c e 蠢一一鼽，则( 2 5 4 ) 可写成 = 名厶味一z + 三以一三， 对( 2 5 5 ) 式两端同乘以锯1 得到 靠1 = 巩盯噼。一娠1 + 三一三吼 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) 展开簖1 = 鲫) 夕并代入上式，比较z 的各同次幂系数，于是得到 j = o 卵) = 1 ，孵) = 一弧， 略) ：如，。一略一1 ) 一略一1 ) + a j - 2 嘴) o 一( j - - 。2 一m ，歹：2 ，3 ， 2 5 7 另一方面，由( 2 4 9 ) 可以直接得到t o d a 链的守恒律 ( q n 一1 一) 。：一p ( e q n 一- 一一- 一c ) 将上式中的五一1 一q n 展开成 “一刊n 譬一n 簖1 _ _ i