（基础数学专业论文）无穷矩阵及相关问题.pdf

a b s t r c t a sw ek n o w n ，i n f i n i t em a t r i xt h e o r yi sab r a n c ho f a n a l y s i s ，i th a sl o n gh i s t o r ya n dr i c h c o n t e n t i np a r t i c u l a r , s i n c ea n t o s i k m i k u s i n s k yi n f i n i t em a t r i xu n i f o r mc o n v e r g e n tt h e o r e mw a s d i s c o v e r e di n1 9 8 0 ，i n f i n i t em a t r i xt h e o r ya r o u s ep e o p l en e wi n t e r e s t i n g ，i n f i n i t em a t r i xt h e o r y a n dm e t h o dh a v eo b t a i n e das e r i e so fi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si n s p a c et h e o r y ，m e a s u r et h e o r y ， o p e r a t o rt h e o r y , e c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d yo nt h ei n f i n i t em a t r i xt h e o r ya n dr e l a t i v ep r o b l e m s i ti n c l u d e s f i v ec h a p t e r sa n d m a i n l yd e a l sw i t hi n f i n i t em a t r i xs u m m a t i o n ，a u t o m a t i ca d j o i n tt h e o r e m ，i n f i n i t e m a t r i xa l g e b r a ，i n v a r i a n tt h e o r e ma n di n f i n i t em a t r i xu n i f o r m c o n v e r g e n tt h e o r e m ，e c t i nc h a p t e r1 ，w ee s t a b l i s ha g e n e r a ls u m m a t i o n t h e o r e m f r o mi tw ec a ni m p r o v et h ef a m o u s h a h n - s c h u rs u m m a t i o nt h e o r e ma n de s t a b l i s ha nu n i f o r i l lo r l i c z - p e t t i st h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w e p r o v e a l la u t o m a t i c a d j o i n tt h e o r e m ：f o ra n ys e q u e n c es p a c e se t a ) a n df ( 1 【) i fe h a st h es i g n e d - w e a kg l i d i n gh u m p p r o p e r t ya n d ai sa ni n f i n i em a t r i xw h i c ht r a n s f o r m s e i n t of 0 9 ，t h e nt h et r a n s p o s em a t r i x a o f at r a n s f o r m sf # i n t oe 6 a n df o ra n y x 嚣a n dr 荆， 月，t = 五且7t t h a ti s ，t h ea d j o i n t o p e r a t o r o fa a u t o m a t i c a l l ye x i s t sa n di sj u s tt h et r a n s p o s em a t r i xa e r a f r o mt h et h e o r e mw eo b t a i na c l a s so fi n f i n i t em a t r i xt o p o l o g i c a la l g e b r a ( x ，u ) ，a n dp r o v ea l s oa 一m u l t i p l i e r t y p e o r l i c z - p e t t i st h e o r e m t h et h e o r e m i m p r o v e ss u b s t a n t i a l l yt h ef a m o u s s t i l e s o r l i c z p e n i st h e o r e m i nc h a p t e r3 ，w e s t u d yac l a s so f i n f i n i t em a t r i xt o p o l o g i c a la l g e b r a sw h i c hw e r eo b t a i n e di n c h a p t e r2 a tf i r s t ，w es h o wt h a ti f ， ，a n d t ，h a v et h es i g n e d w e a kg l i d i n gh u m p p r o p e r t ya n dz ，ua r e 卢- s p a c e s ，t h e n f o r a n yp o l 盯t o p o l o g yf ，( ( - k ，1 1 ) ，f ) i sa l w a y s s e q u e n t i a l l yc o m p l e t el o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a la l g e b r a n e x t , t h ec o m p a c ts e t si ni n f i n i t e m a t r i xt o p o l o g i c a la l g e b r a s ( ，h ) a r ei n v e s t i g a t e d ，a n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h i sc l a s so f a l g e b r a si nd i f f e r e n tt o p o l o g i e sh a v et h es a m ec o m p a c ts e t sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z eaf u l l i n v a r i a n tp r o p e r t yo fc o m p a c t o p e r a t o rs p a c e k ( x ，y ) ，t h a ti s ，l e t ( j ，ti ) a n d ( y ，t2 ) b et w oh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e x s p a c e s w i t hc o n t i n u o u s d u a l sx a n d y r e s p e c t i v e l y l ( x 。y ) b et h es p a c eo fa 1 1 c o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r sf r o mxi n t o y k tx ? y ) b et h es p a c eo fa l lc o m p a c t o p e r a t o r so fl t x y ) l e t 女，nt a n db alb et h ew e a k l yo p e r a t o rt o p o l o g ya n d t l n i f o r mo p e r a t o rt o p o l o g yo nk x 。y ) 。r e s p e c t i v e l y 。i ft h es e q u e n c es p a c ex h a s t h es i g n e d w e a kg l i d i n gh u m pp r o p e r t y t h e ne a c h 一m u t t i p l i e r 艇以z c o n v e r g e n t s e r i e s t i i nk 仉m u s tb e 一m u l t i p l i e rc o n v e r g e n tw i t hr e s p e c tt oa 1 1 l t o p o l o g i e sb e t w e e n 艘岔za n d 口zi fa n do n l yi fe a c hc o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r 7 佻t ) 一( x ，o ( ， ) ) i sac o m p a c to p e r a t o r i tf o l l o w sf r o mt h i sr e s u i t t h a tt h ec o n v e r s eo fk a l t o n so r l i z e p e t t i st h e o r e misa l s ot r u e f u r t h e r m o r e ，w es h o wa s ot h a t f o ra n ys e r i e si nl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，t h e 一m u l t i p l i e rc o n v e r g e n to ft h es e r i e sd e p e n d sc o m p l e t e l yu p o nt h ea k p r o p e r t yo f t h es e q u e n c es p a c e f r o mt h i sc o n c l u s i o nw eo b t a i nal o to fn e w i m p o r t a n t t h e o r e m s i np a r t i c u l a r w es h o wt h a te a c h - m u l t i p l i e rc o n v e r g e n ts e r i e sh a st h e f u l l i n v a r i a n ti fa n do n l y i f ( 。( x ，x4 ) ) i sa na k s p a c e ， i nc h a p t e r5 ，w ep r o v eag e n e r a lu n i f o r mc o n v e r g e n c et h e o r e m t h et h e o r e mu n i f i e s t i m f a m o u sa n t o s i k - m i k u s i n s k im a t r i xu n i f o r mc o n v e r g e n c et h e o r e ma n dt h es w a n z st h r e eu n i f o r m c o n v e r g e n c ep r i n c i p l e s f u r t h e r m o r e ，w ea l s oi m p r o v et h ef a m o u st h o m a s o r l i c z - p e t t i s t h e o r e m k e y w o r d s i n f i n i t em a t r i x ，s u m m a t i o n ，a d j o i n t ，i n f i n i t em a t r i xa l g e b r a u n i f o r mc o n v e r g e n t 2 c h a p t e r 1 as u m m a t i o n t h e o r e ma n di t sa p p l i c a t i o n s s a n + t a r a t u n g aa n ds e m b e ri n 1 】c a l l e d af a m i l yo fs u b s e t sfo fn t ob eaf i n i t e l yq u a s j 。o f a n l l i y ( f qo f a m i l y ki ff c o n t a i n st h ea l lf i n i t es u b s e t sfoo f na n df o re a c hp a i n v i 5 ed s j o m l s e q u e n c e e f ) o f f o t h e r ee x i s t s a s u b s e q u e n c e 佤，) o f e j s u c h t h a t u = l i - 芒f-=e i ti so b v i o u s l yt h a tt h ep o w e r s e tp ( n ) o f n i saf q o - f a m i l y b u t t h ec o n v e r s ed o e sn o th o l d , i e 9 t h e r ea r ef qo f a m i l i e sw h i c h a r ep r o p e r l yc o n t a i n e di np ( n ) ( 【1 】) a sw ek n o w n ，t h ec l a s s i c a lh a h n s c h u r s u m m a t i o nt h e o r e ma s s e r t st h a ti ff o re a c hi6 - n ，t h e s c a 协s e r e s 私t s a b s o l u t e l yc o n v e r g e n t a n df o f e a c h 膳，h 划 t 1 1 e n l i m 川1 i 盘o ( 【2 】 8 ) s 锄a 脚a n d s e m b e r s h o w e d t l l a t t l l e8 锄ec o n 。n h 。d 3 i ft h ep 。w e rs e t1 7 ( n ) o fn i s r e p l a c e db y af qo - f a m i l yf ( 1 】) t h u s ，s a m a r a t “”9 8a n d s e r e b er sr e s u l ti m p r o v e ds u b s t a n t i a l l yt h e f a m o u sh a h n 。s c h u rs u m m a t i o n t h e o r e m l e t ( g r ) b e a r ta b e l i a nt o p o l o g i c a lg r o u p ，舡j b e as e q u e n c ei nga n de p ( n ) 6 。8 “ i 而曲ese t ，w e w r h 萎_ f o f 也es e r e s 否i ，w h e r e 也e e l e m e n 协o f e 柳g e d 讯8 f e 日2 s u b s e q u e n c eh 舟户；i s a f i n i t es e t ，t h e m e a n i n 9 0 f o - s c l e a t i f f h e s e 胁x 。， ，e e ；l c 。n v e 曙e s f o re a c hs u b s e q u e n c e 疗) ，t h e n t h es e r i e s z x ，i s s a i dt ob es u b s e r i e s ( s ) c 。n v e r g e n t i f x ，c 。n v e r g e s f o re a c he g p , w es a yt h a t x i sf 嵋u m m a b l e 9 。r s e o u e n t i a f l yc o m p l e t e a b e l i a nt o p o l o g i c a lg r o u p ( g ，f xs w a r t zi n ( 3 】) p r o v e dt h ef o l l o w i n gf s u m m a t i o nt h e o r e m ： l e t bb ef - s u m m a b l e f o r e a c h i 研, 1 i f1 1 乏e x i s t s f o r e a c h f f a n “f x l = l i m x 口，t h e n ( i ) x ，i s s s c o n v e r g e n t j ( i i ) t i m e x 口e x i s t s f o r e a c h e t ( n ) a n d ，e b t i m z x = _ u n i f o r m l y f o r e e p ( n ) ，e e j e e f o rs c a l a rs e r i e s ，t h ec o n d i t j 。n t h a t 1 净乏嘞= 善_ ”i f o r m l y f o 旭e p ( n ) 证 ，e b，e b 3 e q u i v a l e n tt o k r e e 卢。l 勤一工j i = o ( 1 4 1 , 9 5 1 ) t “u s ，8 w 抛s u m m 椭t “e 。r e m 慨 i n d e e dg i v eav e c t o r g e n e r a l i z a t i o no fs a m a r a t u n g aa n ds e m b e r sr e s u l t i nt h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s hag e n e r a ls u m m a t i o nt h e o r e m f r o mi tw ec a ni m p r o v ef a r t h e rt h e s w a r t z sa b o v ec o n c l u s i o na n dt h ef a m o u s0 r l i c z p e t t i st h e o r e m 1 1as u m m a t i o nt h e o r e m l e t ( er ) b e a l la b e l i a n t o p o l o g i c a lg r o u p a n d g lb e a na b e l i a ng r o u p ，q g i t h e m a p p i n ge ：g l - g i i ss a i d t o b e a s i g n e d m a p p i n g ，i f f o r e a c hx g l ， c - x ) = x o r f ( ) = l e t f o7 q n = o q b e t h e f a m i l y o f a l lq - v a l u e ds e q u e n c e s w h i c ha l l 0e v e n t u a l l y i f u = ( 叶) q n ，t h es u p p o r t o fui sd e n o t e db y s u p p ( 甜) = ，占n ? q 0 i f 甜1 a n d 2 e o ”a n ds u p p ( 甜1 ) ) n s u p p ( 甜2 ) = a ，t h e n 甜( a n d 山( ”8 r es a i dt ob ei s j o i n t ， a f a m i l yo fs u b s e t f o fq “i ss a i dt ob eas i g n e d - f i n i t e l y - q u a s i o - f a m i t y ( s f q0 f a m i l y ) i ff 圣fo a n df o re a c hp a i r w i s ed i s j o i n ts e q u e n c e 嗡o f f0 t ，t h e r ee x i s t sa s u b s e q u e n c e t o o f 洄”) a n d a s e q u e n c e o f s i g n e dm a p p i n g s 瓴) s u c h t h a t 玉= ( 弼) f ，w h e r e 西= s k t o ；h j 。g t h s 。u 州p p 擎( t o 舻l 2 l e t f q g b eas e q u e n c eo ff u n c t i o n s ，w es a yt h a tt h e s e r i e s i s f7 一s u m m a b l ei f t h e s e r i e s s j ( t o pc o n v e r g e s i n g f o r e a c h ( ) f j = t o u rs u m m a t i o nt h e o r e mi sa sf o l l o w s ： t h e o r e m i l e t ( gf ) b e a na b e l i a nt o p o l o g i e a lg r o u pa n dg j b ea na b e l i a n g r o u p ， q g l ，矗：o g f o ri t _ ，na n da s s u m et h a te a c h f u n c t i o n 石s a t i s f i e st h a t 石( 0 ) _ 0a n d 五 ( “) 2 - 乃o ) f o re a c h x o ，f b ea s f q 。- f a m i l y o fq ”1 f t h es e r i e s 厶i s f 5 “a b l e f o r e a c h f na n d l i m a ( t 0 0 ) e x i s t s f o r e a c h j e n a n d 。o ，t b e n t h e f o l l o w i n g s t a t e sa f ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) f o re a c hp a i r w i s e d i 曼i o i ns e q u e n c e 扣仙 o f f o ，1 n 蕃 叫町e x l s t s f o r e a c h na n du n i f o r m l yw i t hr e s p e c tt oh e n 4 n ( 2 ) f o re a c h u = ( q ) f7 ，t h es e r i e s 厶国，c o n v e r g e su n i f o r m l y w i t hr e s p e c tt oi j = l ( 3 ) t h es e r i e s 厶，c o n v e r g e su n i f o r m l y w i t l lr e s p e c t t o i e na n d ( 叶) f ( 4 ) f o r e a c hu = ( 叶) f ， 厶蔗1i sac a u c h ys e q u e n c e j = l ( 5 ) f o re a c h u = ( j ) f ，d e n o t e 万= ( x j ) f ：畸= jo r x j = 一u jo r x 7 o , j = l ，2 ) ，t h e n t h es e q u e n c e s a x j 焉a r eu n i f o r m l y c a u c h ys e q u e n c e s w i t hr e s p e c t t o 1 = 1 x = ( x ) 面 1 2t h e i m p r o v e m e n t o fo r l i e z - p e t t i st h e o r e m s a sw ek n o w n ，s i n c et h ef i r s to r l i c z - p e t t i st h e o r e mw a sp r o v e db yo r l i c zi n1 9 2 9 ( 6 ) ，t h e t h e o r e mh a so b t a i n e das e r i e so fe v o l u t i o n sa n dh a se v o l v e da l m o s tb e y o n dr e c o g n i t i o n ，a n dt h e t e c h n i q u ed e v e l o p e df o ri t ss t u d yh a v et h e m s e l v e sh e l p e dt oi l l u m i n a t e an u m b e ro fi d e a si n f u n c t i o n a la n a l y s i s ( 5 ，7 1 ) i nt h i ss e c t i o n ，w eu s et h e o r e m1t oe s t a b l i s hag e n e r a lo r l i c z - p e t t i s t h e o r e m ，t h et h e o r e mi m p r o v es u b s t a n t i a l l yas e r i e so f k n o w n r e s u l t s l e t 0 b ea na b s t r a c ts e t ，( g ，r ) b ea l la b e l i a nt o p o l o g i c a lg r o u p ，a n dfaf a m i l yo fm a p p i n g s f r o mqi n t o ( g jr ) l e t of d e n o t et h ep o i n t w i s ec o n v e r g e n tt o p o l o g yo fow h i c hi s i n d u c e db yfa n d t ，i e ，x 。wi n ofi f a n do n l yi f f o re a e h f e f 撒j 嘶砂i n t s i m i l a r , w ed e n o t et h ep o i n t w i s e c o n v e r g e n tt o p o l o g y 0qo f fw h i c hi si n d u c e db yqa n dt a s e q u e n c e 而) k qi ss a i d t o b es u b s e r i a saf c o n v e r g e n t i f f o re a c h = i 吼 ) 譬n ，t h e r ee x i s t sa x os u c ht h a tf o r e a c h f f f ( x ，) = f ( x 矗) = f ( x 。) 、 j e l s l e tf lb eaf a m i l yo f s u b s e t so f e 柚i ss a i dt ob es u b e r i e sc o n v e r g e n ti nt h et o p o l o g yo f u n i f o r mc o n v e r g e n to nt h es e t si nf i i ff o re a c h nt h e r ee x i s t sa 口s u c ht h a tt h e s e r i e s f ( x ) c o n v e r g e st o f ( x ) u n i f o r m l y w i t hr e s p e c tt o f e bf o re a c hb e f 1 e a as u b s e t 占互f i ss a i d t ob e c o n d i t i o n a l l y o q - s e q u e n t i a l l yc o m p a c t i f e a c hs e q u e n c e 研) i n bh a sa s u b s e q u e n c e f s u c h t h a t u p 矗( x ) e x i s t sf o re a c hx o ( 【5 】) w e p r o v e t h ef o l l o w i n gu n i f o r mo r l i e z p e n i st h e o r e m ： t h e o r e m3 l e t qb ea na b s t r a c ts e ta n d ( g | r ) b ea na b e l i a nt o p o l o g i c a lg r o u p ，fb ea f a m i l yo f m a p p i n g sf r o mq i n t o ( g jr ) i f x j ) q i ss u b s e r l e sof - c o n v e r g e n t ，t h e nf o r e a c hc o n d i t i o n a l l y o o - s e q u e n t i a l l yc o m p a c ts u b s e tb o ffo rf o re a c h oq - c o u n t a b l ec o m p a c t 5 s l l b s e tb 。ff , t h e s e r i e s f ( x ) c o n v e r g e s u n i f o r r e l yw i t hr e s p e c tt of ba n de pf n ) e e np a r t i c u l a r , x j ) m u s ta l s ob es u b s e r i e sc o n v e r g e n ti nt h et o p o l o g yo fu n i f o r mc o n v e r g e n to n c o n d i t i o n a l l y o 0 - s e q u e n t i a l l yc o m p a c t s u b s e t so ffo ro no0 c o u n t a b l ec o m p a c ts u b s e t so ff c h a p t e r 2 a u t o m a t i ca d j o i n tt h e o r e ma n d a p p l i c a t i o n s 2 1a na u t o m a t i c a d j o i n t t h e o r e m l e tx 。yb eh a u s d o r f f t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e sa n dl 僻dt h es p a c eo f a l lc o n t i n u o u s i l e a l - o p e r a t o r sf r o mx i n t oyl e te o o ( f f 蹦b eav e c t o rs p a c eo fx v a l u e dq - v a l u e d l s e q u e n c e s ，i f x e e t t o ，w ed e n o t et h ek t hc o o r d i n a t eo f xb yx 女，s ox 2 r 。i ) t h e 1 3 - d u a lo f e o o ( w i t hr e s p e c tt o ，d e n o t e db ye ，i st h es p a c eo f a l ls e q u e n c e s ( r ) = r ，t 自x 刁 s u c ht h a tt h es e r i e s t 。t c o n v e r g e sf o re a c hx e e ( x ) i fy i st h es c a l a rf i e l d ，w ew r i t e z o o ；e 0 0 4 i f x e e ( x ) a n d t e e ( x ) ，w e w r i t eb t = t k 。 l e t a f 三刁f o r i ，j n a n d a b e t h e o p e r a t o r - v a l u e d m a t r i x ( a 口) i f f o r e a c h x e c o a n d i e n ，t h es e r i e s e a f x c o n v e r g e s a n d t h es e q u e n c e a q 。) 函e f ( y ) ，t h e n a i s s a i dt ot r a n s f o r m 毋拗i n t ov 0 9 t h ep a i r 拶，y ) i ss a i dt oh a v et h eb a n a c h - s t e i n h a u sp r o p e r t yi f w h e n e v e rt i l ( x , oc o n v e r g e sp o i n t w i s e ，t h a ti sl j mt ix2 t o z f o re a c hx e x ，t h e nt h e m i to p e r a t o r t oi sc o n t i n u o u s i np a r t i c u l a r , i f xi st h es c a l a rf i e l d 丘t h e n 暖，y ) m u s t h a v et h eb a n a c h s t e i n h a u s p r o p e r t y w es a y t h a tas e q u e n c e ( z ) ，o f x v a l u e ds e q u e n c e s ，i s ab l o c ks e q u e n c ei f t h e r ee x i s t sa s t r i c t l yi n c r e a s i n gp o s i t i v ei n t e g e r ss e q u e n c ef “女) s u c ht h a t z 汁1 = ( o 0 ，0 ，z 昆+ l ，z 警 ) t b es e q u e n c es p a c e 目i ss a i dt oh a v et h es i g n e d w e a kg l i d i n gh u m pp r o p e r t y ( s i g n e d - w g h p ) i f f o re a c hx e e o oa n da n yb l o c ks e q u e n c e ( x ) w i t h x = x ( c o o r d i n a t e w i s e s u m ) ，t h e ne a c hs u b s e q u e n c e o ff x ( ) ) h a sa f u r t h e rs u b s e q u e n c e ( x 叮i ) a n dac h o i c eo f s i g n s 6 6 女 - 1 ，1 ) s u c ht h a t 2 x ( “) e e ( x ) t h e d e f i n i t i o no f t h es i g n e d w g h pi sd u et o c s t u a r t ( s e e 1 0 3 ) as e q u e n c es p a c e e i s s a i d t ob ea m o n o t o n e s p a c e ，i f mo e = e w h e r e ，”o i st h es p a c eo fs c a l a rs e q u e n c e sw i t hf i n i t er a n g ea n d “o e i st h ec o o r d i n a t e w i s e p r o d u c t ( 1 1 1 ) a n y m o n o t o n es p a c ee h a st h es i g n e d - w g h p , w h i l et h ec o n v e r s ei sn o th o l d i t i s w e l lk n o w n t h a t f o ra n y t w o d u a l p a i r s 爿p 置7 a n d y l ，y l7 a n da n y l i n e a r o p e r a t o rt o ：x i y l tt h ea d j o i n to p e r a t o rt o7 ：r l7 一并i d o e sn o tn e c e s s a r i l ye x i s t ( 1 3 ， l e m m a11 1 ，1 ) i nt h i s p a p e r , f o rs o m es e q u e n c es p a c e sa n dm a t r i xo p e r a t o r s ，w ep r o v ea n a u t o m a t i c a d j o i n tt h e o r e m f r o m i tw eo b t a i ns e v e r a ln e w i m p o r t a n tf a c t s o u ra u t o m a t i c a d j o i n tt h e o r e ma r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 l e te h a v et h es i g n e d w g h pa n dc o n t a i no ( a 3 ，i f “，y ，h a st h e b a n a c h s t e i n h a u s p r o p e r t ya n d t h em a t r i xa 2 ( 一f ) t r a n s f o r m se 翻0i n t of 0 9 ，t h e nt h e t r a n s p o s em a t r i xa 。m u s t t r a n s f o r m f 0 9 毋i n t oe 0 0 毋a n d f o re a c h x e p 0a n d t f ， 爿x ，t = h ，a 7 t 2 2t h e t o p o l o g i c a la l g e b r a s ( ，1 1 ) i nt h i ss e c t i o n ，w ep r e s e n tt h ef i r s ta p p l i c a t i o no f t h e o r e mi l e t a n d1 1b es c a l a r - 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