（电机与电器专业论文）电网谐波频谱校正精度研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 快速傅立叶变换法是电网谐波最基本和最常用的测量方法，目前已有的 频谱校正方法并不能满足谐波的快速和精确测量。单频率信号校正误差主 要来自相邻负频成分的干涉。求系数行列式法解决了超低单频信号的校正 精度问题，通过类似推导得出了奈奎斯特频率附近单频信号的精确校正公 式，使单频信号校正精度问题得到较好解决。电网谐波频谱的校正误差主 要来不同频率成分的相互干涉。针对谐波校正，提出了依据幅值大小逐次 校正的方法，提高了对谐波信号的识别能力和校正精度。通过讨论逐次校 正法噪声误差，提出了误差估计公式。经过仿真计算和实测数据检验，验 证了公式的准确性。 关键词：谐波测量，频谱校正，谱峰识别，逐次校正 a b s t r a c t f f ti sam o s t - u s e da n db a s i cm e t h o do fh a r m o n i cm e a s u r e m e n ti ne l e c t r i cp o w e r n e t 、) r o r k t h ee x i s t i n gm e t h o d so fs p e c t r u mc o l l r e c t i o nf a l ls h o r to ft h er e q u i r e m e n tf o r f a s t ，p r e c i s em e a s u r e m e n t c o r r e c t i o ne r r o r so fs i n 酉e 仃e q u e n c ys i g n a l sm a i n l yc o m e f i d mi n t e r l e r e n c e so fa d j a c e n tn e g a t i v ef k q u e n c yc o m p o n e n t s p r e c i s ec o r r e c t i o no f s i n 曾e u l t r a l o wf r e q u e n c yw o u i db er e a l i z e d b yc a l c u l a t i n gd e t e 肌i n a n to ft h e c o e f f j c i e n t f o rs i g i l a l so fs i n 酉ef r e q u e n c ya d j a c e n tt on y q u i s tf r e q u e n c y ，t h e i r p r e c i s e - c 0 1 1 r e c t i n gf o 咖u l am a yb ed e d u c t e ds i m i l a r l y c o r r e c t i o ne r r o r so fh a 姗0 n i c s p e c t l l l mm a i n l yr i s ef r o mi n t e r f e r e n c e sb e t w e e nd i f f e r e n t 仃e q u e n c yc o m p o n e n t s t h e p a p e rp u t sf b r t has u c c e s s i v ec o r r e c t i o nm e t h o db a s e do nt h em a g n i t u d eo fa m p l i t u d e v a l u e s ，a n dt h u si m p r o v i n gi d e n t i f i c a t i o nc a p a b i l i t i e so fh a n l l o n i cs i g n a l sa sw e l la s c o r r e c t i o n p r e c i s i o n b ya n a l y z i n g n o i s ee o r so ft h es u c c e s s i v ec o r r e c t i o n m e t h o d o l o g y ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r da ne r r o r e s t i m a t i n gf o m u l a ，w h i c hp r 0 v e st ob e v a l i dt h r o u g hs i m u l a t e dc a l c u l a t i o n sa n d a c t u a l l y - m e a s u r e dd a t a g u ob i n b i n ( m o t o ra n de l e c t r i c a la p p l i a n c e s ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o x ub o q i a n g k e y w o r d s ：h a r m o n i cm e a s u r e m e n t ， s p e c t r u m c o r r e c t i o n ， p e a k i d e n t i f i c a t i o n s u c c e s s i v ec o r r e c t i o n 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文电网谐波频谱校正精度研究， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者虢聋趱一日期： 学位论文作者签名：副酸j 缎 日 期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名 日 肌中 华北电力大学硕士学位论文 第一章引言弟一早ji函 1 1 本课题研究的背景和意义 在自然界赋与人类的诸多资源中，电能作为一种清洁、高效、易于分配和使用 的能源，与人类的生活紧密相联，离丌电人类的生活和生产就会陷入困境。近年来 社会发展不但对电力的需求量同益增加，而且对电能质量的要求也越来越高。目前 电能质量中最突出的问题就是电网谐波问题，理想状态的电压波形应该是恒频正弦 波，没有谐波分量，但工程实际中的电压波形并非如此。 纵观电力生产的整个过程，就会发现谐波现象客观地存在于电能生产、输送和 分配以及消费的各个环节。首先是发电环节。由于制造的原因，三相绕组很难做到 绝对对称，铁芯也很难做到绝对均匀一致，在生产的源头，发电机多少会产生一些 谐波。其次是输送和分配环节。由于变压器铁芯的饱和，磁化曲线的非线性，加上 设计变压器时的经济性考虑，将工作磁密选择在近饱和段上，使得磁化电流呈尖顶 波形，因而含有奇次谐波。近年来，直流输电工程和大容量的电力电子装置也成为 输配电系统中新的重要谐波源。最后是电能消费环节。各种电能消费产品包括晶闸 管整流设备、变频装置、电弧炉、电石炉、电气化铁路、气体放电类电光源和家用 电器等。统计表明：由整流装置产生的谐波占所有谐波的4 0 ，这是最大的谐波源。 家用电器虽然功率小，但数量巨大，也是谐波的主要来源之一。随着社会发展和人 们生活水平的提高，消费环节产生的谐波污染将越来越严重。 目前谐波问题已被列入电网公害之一，具体表现在：1 ) 降低电网的供电质量 和电子行业产品质量。它使电网的电压与电流波形产生畸变，降低电网电压，产生 谐波损耗，降低电网频率，浪费电网容量。电子行业很多产品对频率要求很高，谐 波将降低产品质量。电网中局部并联谐振和串联谐振可能将谐波放大，使前述危害 大增加，甚至引起严重事故。2 ) 影响线路的稳定运行。影响继电器的工作，导致 误动或拒动，威胁系统的稳定和安全运行。3 ) 降低电力设备的效率和寿命。增加 电容器、变压器、线缆、用电设备等的功率损耗和发热，使电动机产生机械振动、 噪声和过电压，加速绝缘介质老化，降低线缆的输电能力，引起电动机、家用电器 等过热甚至烧毁。4 ) 降低电力测量的准确度。5 ) 如果高次谐波与人体的磁场频率 接近，可能危及人的脑磁场和心磁场。6 ) 对邻近的通信系统产生干扰，轻者产生 噪声，降低通信质量；重者导致信息丢失，使通信系统无法正常工作。 为改善和降低上述谐波危害的影响，必须对电网谐波进行有效的管理。然而电 网的谐波管理是一个系统工程，包括谐波管理标准和政策的制定、谐波影响的测度、 华北电力大学硕士学位论文 谐波的抑制和治理等内容。作为谐波管理的重要环节以及谐波治理工作的前提，测 量和评估谐波对电网和用户的危害，确定谐波源位置和产生原因，是制定对策以削 弱治理谐波的重要基础。 1 2 本课题的发展及现状 从1 9 6 5 年库利一图基提出快速傅立叶变换以来，快速傅叶变换作为数字信号分析 的基础已广泛应用于工程领域。但是应用f f t 算法分析周期信号的前提是对信号进行同 步采样，为了消除非同步采样误差，第一类方法是设法使采样频率与被观测信号频率同 步以实现同步采样。目前有锁相同步技术实现的硬件办法；还有通过信号频率估计调整 采样频率，软硬结合实现同步采样办法。这类方法的优点是实时性较好、计算量小、精 度较高，缺点是只限于测量整数次谐波。消除同步采样误差的第二类方法是先通过均匀 采样，然后由一定的算法进行频谱校正。这类方法对信号中的频率成分没有特殊要求， 具有一定的通用性，目前各种频谱校正理论正日趋完善。 目前流行的频谱校正方法大体分为四类。一类为能量重心校j 下法，利用离散窗谱函 数的能量重心是坐标原点的原理，根据功率谱重心法则求出频率校正量，进而得出校正 相位，再将主瓣内的离散功率谱幅值相加得到校正幅值。这种方法算法简单，计算速度 快，不依赖于窗函数。第二类为比值法，或称插值法，利用归一化后差值为1 的两点或 多点窗函数比值，建立以校正频率为变量的方程，解出频率，再进行幅值和相位的校正。 三为f 丌+ f t 谱连续细化分析法，即用f f t 作全景谱，针对要细化的局部再用d f t 进 行运算，以得到局部细化精度极高的频谱。这种方法的优点是可以在不增加采样长度的 前提下，大大提高频率分辨率，提高幅值和相位的计算精度。第四类为相位差法，通过 时移或加不同长度、不同种类对称窗函数进行两次f f t 分析，利用离散频谱对应峰值谱 线的相位差以求出频率和相位校正量。这种方法的优点是实现方便，精度较高，适合各 种对称窗函数，抗噪声能力强。 将上述方法应用于电力系统谐波测量时，受f f t 计算点数和采样频率限制，离散频 谱的频率分辨率不可能太小。这时，主要谐波信号成分均落在离散频谱的最左端，信号 负频成分对正频率谱线的干涉以及相邻谱线之间的干涉对校正结果的影响已十分严重， 得出的数据有时无法使用，寻求一种新的频谱校正方法以提高谐波信号校正精度和速度 显得十分必要。 2 华北电力大学硕士学位论文 1 3 本文的主要工作 为寻求一种新的适用谐波信号的校正方法，本文主要进行了以下工作： 1 、通过对目前典型的校正方法仿真，了解各种方法的优缺点以及相应的误差分布， 最终确定负频干涉是制约单频率信号校正精度的主要因素；多频信号校正时，相邻频率 成分干涉是制约校正精度的主要因素。要提高谐波信号的校正精度，在建立数学模型时 必须计及负频率成分以及相邻频率成分的干涉影响。 2 、为提高单频率信号频谱校j 下精度，本文在数学模型的选定时计及了信号负频干 涉的影响。在考虑奈奎斯特频率附近频率成分的负频干涉时，将已有的求行列式系数法 进一步推广完善，使奈奎斯特频率附近的信号频率成分校正结果达到与超低频段相同的 精度。 3 、根据电网谐波信号特点，本文提出了多频逐次校正方法。该方法降低了大幅值 频率成分对较小幅值频率成分的干涉影响，使一些采用传统方法得不到的频率成分得以 识别和精确校正。 4 、考虑到实测信号含有测量噪声，本文推导得出了求行列式系数法的方差估计公 式，对于多频逐次校正方法的误差进行了定性讨论。在m a t l a b 条件下进行了大量的仿 真试验，验证了误差估计公式的正确性。 5 、本文采用多频逐次校j 下方法对某实测电流数据进行校正，并进行了误差估计， 结果证明了校正方法和误差估计公式的正确性。 3 华北电力人学硕士学位论文 第二章电网谐波信号频谱校正涉及的基本概念 为研究信号频谱，我们需要截断时域信号并进行傅立叶变换。由数字信号相关 理论可知，时域信号的连续性和周期性与信号频谱的连续性和周期性密切相关。在 进行电网谐波信号频谱校正工作时，应注意时域信号截断并周期延拓对信号频谱的 影响。 2 。1 频谱能量泄漏 在谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和a d 转换得到的数字信号。处 理数字信号的主要数学工具是傅立叶变换。在处理具体测试信号时，不可能对无限 长的信号进行测量和运算，而是截取其有限的时间片段，然后将得到的信号片段进 行周期延拓，得到虚拟的无限长信号，最后对信号进行傅立叶分析等数学处理。在 我们研究的采样时间内，总是假定被测信号的频率是恒定不变。对于频率随时间波 动的信号，采样时间片段的长短直接影响测量结果与真实信号参数的接近程度。 周期延拓后的信号与原真实信号是不同的。设有余弦信号x o ) 在时域分布为无 限长( 一，+ ) ，当用矩形窗函数w ( f ) 与其相乘时，得到截断信号x r ( f ) = x ( f ) w ( f ) 。根 据傅罩叶变换关系，余弦信号的频谱x ( 厂) 是位于厂0 处的6 函数，而矩形窗函数w o ) 的频谱为形( 厂) = s i n c ( 厂) 函数，按照频域卷积定理，截断信号x r o ) 的频谱x 丁( 厂) 胜力：x ，( ，) = x ( ，) 宰形( ，) 。 将截断信号的谱x r ( 厂) 与原始信号的谱x ( 厂) 相比较可知，它已不是原来的两条 谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变， 原来集中在厂0 处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量 泄漏。 信号截断以后产生的能量泄漏是必然的，因为窗函数w ( f ) 是一个频带无限的函 数h 1 ，即使原信号x o ) 是有限带宽信号，在截断以后也必然成为无限带宽的函数， 即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只 要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是 信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度t ，即矩形窗口加宽，则窗谱( 厂) 将被压缩变窄( 1 丁减小) 。 虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较 快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度t 趋于无穷大时，则谱窗( 厂) 将变为6 ( 厂) 函 数，而6 ( ，) 与x ( ，) 的卷积仍为x ( 厂) ，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不 存在泄漏误差。 4 华北电力大学硕士学位论文 这罩需要强调一点，图2 1 所示的信号截断与能量泄漏现象反映了截断后的连 续周期信号的频谱，频谱是非周期和连续变化的。与此不同，参与计算机快速傅立 变换的时域信号数据是离散和周期性变化的，经傅立叶变换得到的频谱仍为离散和 周期性变化的。我们利用快速傅立叶变换算法得到的计算结果只是其中的一个变化 周期。 。x “v 竹 叠 雌蠢：a 飞曩an 一 各vv 哲￥lv00 警； 2 2 栅栏效应 图2 1 信号截断与能量泄漏现象 通常实测的谐波信号为实信号，可写成如下表达式： x 似正) ；等”c 。s ( 研，坦地) ；等口j 竺竺：生竺型 ( 2 一1 ) x ) = 口，c o s ( 壤讧+ 纺) = 芝口，l 一 ( 2 一1 ) 其中0 s 尼s 一1 ，互为时域采样问隔，n 为时域采样点数，m 为信号所含频率成 分的总数。信号采样频率为氕= 】疋，由f f t 频谱的频率分辨率为= 九。由式 ( 2 1 ) 可知，实信号由沿时间轴正、反向传播的同频率复信号迭加而成。 由离散傅立叶变换的定义可知，变换后的频谱为一连续谱。而快速傅立叶变换 算法即f f t 算法，在频域连续谱进行n 点采样得到离散的频谱表达式： m ，) 2 篆雄驰。一k 荟荟叩 坐竺：= ! 上兰竺竺，等 2 5 华北电力大学硕士学位论文 = 丢善薹 口，e 。，等( n ) e ，竹+ 口，e 一，等( + ) p 一，竹 ，。s 刀s 一1 。 c 2 2 ， 观察( 2 2 ) 式，可以发现由于，l 为整数，被测信号频率和频率分辨率的比值 厂是 ( 1 ) 同步采样。此时乃厂为整数，各频率成分可写成 = 聊厂( 朋j 为非零整数) p 沏，厂，= 丢善薹口即 ( 2 3 ) ( 2 3 ) 式表明经f f t 频谱上的第肌，号峰值谱线即为谐波信号的第朋i 个频率成 分。这里应注意：如果是同步采样，实信号的正、负频率成分之间不存在干涉。 ( 2 ) 非同步采样。 a 厂不是整数，即有 = 沏，口j ) 厂，( ，l ，为非零整数，a ，介 于0 和0 5 之间) 。此时经快速傅立叶变换得到的第m ；号谱线为最接近于真实频率 的信号谱线，因其幅值最大，所以称之为最高频率谱线，对多频率信号而言为局部 最高频率谱线。 弧扑瓣p 字抄玛e 。争巩地) p 嘶， 4 ， 最高频率谱线对应的频率值为，= ，z ，= 干口j 厂，与真实频率值有i a ，i 的 偏差。多频率信号在非同步采样时各种频率成分的正、负频分量会发生相互干涉。 ( 3 ) 部分同步采样。即只有部分被测多频信号的频率成分为频率分辨率的整数倍， 即有五；t ，厂f = ( f + 口f ) 厂z ；和z f 为互不相同的非零整数，0 s 口s0 5 。对频率 成分六，测量为同步采样，对于频率成分厂，为非同步采样，则( 2 - 2 ) 式可分解为： 州f ，) = 丢；慨+ 丢；讣e “掣争q ) e 咖， ( 2 5 ) p ( f 朋= 瓣p 睁抄也e 。争即叫e 咖- ( 2 - 6 ) 其中( 2 6 ) 与( 2 4 ) 式形式相同，这罩应注意观察( 2 5 ) 式，频谱上的同步采样频率 谱线的数值会受其它非同步采样频率成分正、负频干涉影响。 综合上述分析，在非同步采样时观察快速傅立叶变换频谱，只能清楚看到频率 分辨率整数倍次的信号频率成分，非整数倍次频率成分却无法看到。若想看清其它 频率成分，只能变化采样点数或采样频率以调整频率分辨率。这种情况就像我们隔 着栅栏看东西，从不同的视角只能看到物体局部，我们把这种现象称为“栅栏效应”。 华北电力大学硕士学位论文 当各频率成分均实现同步采样时，信号频率正好全部对准相应的f f t 谱线，“栅栏 效应 不存在。实际测量中，这种情况是非常少见的。 2 3 窗函数 通过上面的分析可以看到，在非同步采样条件下，单频率信号将受自身负频成 分干涉影响。对于多频率信号，还将受到其它频率成分的干涉。若直接采用f f t 结 果校正，必然在结果中带入较大误差。为降低频谱干涉影响，目前常用的办法是选 用加窗函数截断数据或对己采样数据进行加窗，改善频谱能量泄漏，然后再进行傅 立叶变换和频谱校正。下面简要介绍几种常用的加窗函数。 2 3 1 常用窗函数 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截断函数对信号进行截断，截断函数称 为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱主瓣两侧的旁瓣有关，如果两侧旁瓣的高 度趋于零，能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。下面介绍对比几 种常见的窗函数，为后续研究方便，我们只列出窗函数的离散形式： 2 3 1 1 矩形窗 函数时域离散形式为o ) = 1 ， 表达式： 啊) = 舞蔫p 吖学 0s 刀s 一1 。对窗函数作傅立叶变换得到频域 ( 2 7 ) ( 厂) 的主瓣包含2 条谱线，第一副瓣比主辨低1 姗。 矩形窗使用最多，习惯 上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较 高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。( 见图 2 2 ) 7 华北电力大学硕士学位论文 图2 2 矩彤冒 2 3 1 2 三角窗 又称费杰窗，是幂窗的一次方形式，其定义为： m l 一学，瞻冉鲋一1 0 窗函数傅立叶变换表达式： 呦一号隅掰。静 8 ) 形( ，) 的主瓣包含4 条谱线，第一副瓣比主瓣低2 6 扭。三角窗与矩形窗比较， 主瓣宽等于矩形窗的两倍，旁瓣小，而且无负旁瓣。( 见图2 3 ) 2 3 1 ，3 汉宁( h a n n i n 窖) 窗，又称升余弦窗 其时域表达式为： 矽伽) 一争畸) 】，o 鲥“以。 其频谱函数为： 讳赁厂) 一0 j 5 ( ，) 一o 2 5 谬名( ，一1 ) 一o 娥( 厂+ 1 ) ( 2 9 ) 形叮) 的主瓣包含4 条谱线，第一副瓣比主瓣低3 2 招。( 见图2 4 ) 8 华北电力大学硕士学位论文 崔一一盎_ - _ ；_ ：眷一猫斟r矗舀“ = = _ _ - 一；一 。 图2 3 三角形窗 斟猫盎i r _ 手耐“ _ _ - 嘲 图2 4 汉宁窗 2 3 1 4 汉明( h a n m i n g ) 窗，又称改进的升余弦窗 其时域表达式为： 形o ：i 。o 5 4 _ 0 4 6 0 0 s ( 争，s _ 1 a 其频谱函数为： 矽( ，) 一0 5 4 弭名( ，) 一o 姚( ，一1 ) 一0 2 3 i ( ，+ 1 ) ( 2 1 0 ) ( ，) 的主瓣包含4 条谱线，第一副瓣比主瓣低4 姗。( 见图2 5 ) 9 华北电力大学硕士学位论文 2 3 1 5 布莱克曼窗( 二阶升余弦窗) 其时域表达式： 。) - o | ；4 2 一o 5 c o s 警+ 0 - 0 8 溅等，o s 刀s 一1 。 其频域函数为： 碍，( ，) - 0 峨( ，) 一0 矾( ，) + 讳名( 厂+ ) 】+ 0 峨( ，一2 + 仰l ( ，+ 2 ) 】 ( 2 1 1 ) 形叮) 的主瓣包含6 条谱线，第一副瓣比主瓣低5 啪。( 见图2 6 ) 图2 5 汉明窗 3 渺辉砩p 图2 6 布莱克曼窗 、八_ _ 一厂 华北电力大学硕士学位论文 2 3 1 6 布莱克曼窗一哈里斯窗 其时域表达式： 矽伽) 咄q s 警岷c o s 等吧c o s 等 其频域函数为： 礴x _ 广) 一日孵( ，) 一q 【( ，一1 ) + ( ，+ 1 ) 】+ 口：【( ，一2 ) + ( ，+ 2 ) + 毛【u 一3 + ( 厂+ 期 ( 2 一1 2 ) 主瓣包含8 条谱线( 见图2 7 ) ，系数a 。，a _ 2 和a 3 详见下表2 一l 。 m窗函数8 0孤a 2a 3 o 紧布莱克曼一5 1d b ) o 4 2 6 5 9一o 4 9 6 5 6o 。0 7 6 8 5o o 1 布莱克曼( 一5 ；8d b ) o 4 2 0 _ o o0 5 0 0 0 0o 0 8 0 0 0o 0 2 布莱克曼窗一哈里斯窗3 ( _ 6 7d b ) 0 4 2 3 2 30 4 9 7 5 50 0 7 9 2 2o o 3 布莱克曼窗一哈里斯窗3 ( - 6 ld ：b ；) o 4 4 9 5 90 4 9 3 6 4o 。0 5 6 wo 。o 4 布莱克曼窗一哈里斯窗4 ( 一9 2d 功 o 3 5 8 7 5- 0 4 8 8 2 9o 。1 4 1 2 留_ o 0 1 1 6 8 5 布莱克曼窗一哈里斯窗4 ( - 7 4d d o 4 0 2 1 70 4 9 7 0 3o 0 9 3 9 2一o 0 0 1 8 ；3 _ - - - - 驾； 仑 鞘i l 0 |，i 。，辆 | _嘛 图2 7 布莱克曼一哈里斯窗 2 3 1 7 高斯窗 高斯窗是一种指数窗。其时域函数为： 华北电力大学硕士学位论文 w b + 1 ) = 式中口2 为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁 瓣衰减达一4 3 d b 。高斯窗傅谱的主瓣较宽，频率分辨力低高斯窗函数常被用来截 断一些非周期信号，如指数衰减信号等。( 见图2 8 ) 上述几种常用的窗函数中，矩形窗主瓣窄，旁瓣较高，频率识别精度最高，幅 值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，幅值识别精度 最高。 图2 8 高斯窗 2 3 2 电网谐波频谱校正窗函数的选用 进行电网谐波频谱校正时，应充分考虑电网谐波信号特点。电网谐波是与基波 频率成整数倍关系的余弦波的组合，如果加窗函数是余弦函数，只要选取观测时间 是信号周期的整数倍，则各频率信号分量之间不发生相互泄漏。即使信号频率作小 范围波动，泄漏误差也较小。因而在研究电网频谱时，我们多采用基于余弦窗的函 数。这类窗函数可写成统一的表达式，其时域形式为： 喇t 专耋( 砒c o s 警删，1 ，2 ，n _ 1 1 2 ( 2 1 3 ) v l p鲫如 0 矗 碍砺) p ， o 华北电力大学硕士学位论文 式中，a k 表不组合面的糸数，n 表不糸数的i 贝数。 容易推得如( 2 1 3 ) 式窗函数的频谱表达式为： w ) = 耋扣) k 瞅厂叫+ d ( 厂州】 令： 町卜志七。爷 称为狄里克来核( d i r i c h l e t ) 。 为保证窗函数具有线性相位特性，对系统口。有如下限制： 耋( - 1 ) | 0 ，订) 缸| 1 加) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) k = 0 时就是矩形窗；k = 1 时a 。= 0 5 4 ，a 。= 0 4 6 ，为汉明窗；k = 1 时a 。= 0 5 ，a 。 = 0 5 ，为汉宁窗；k = 2 时a 。= o 4 2 ，a 。= o 5 0 ，a ：= o 0 8 ，为布莱克曼窗；k = 3 ，a o = o 3 5 8 7 5 ， a ，= o 4 8 8 2 9 ，a ：= 0 1 4 1 2 8 ，a 。= o 0 11 6 8 ，为布莱克曼一哈里斯窗4 ( 一9 2d b ) 。 从窗函数的频谱，较多项数的窗函数能够产生较大的旁瓣衰减，有利于提高频 谱计算精度；但窗的项数越多，主瓣宽度也越大，会引起频谱分辨率降低，因此选 取的组合窗的项数一般不多于4 项。 选用余弦窗的另一个好处是它便于进行频谱计算。通常信号加窗都是在时域进 行的，即x 。o ) = x o ) w o ) ，然后进行傅立叶变换。对于组合余弦窗，由傅立叶变换 的线性性质，可以先对信号进行傅立叶变换，然后在频域进行迭加。这样将复杂的 函数运算转化为简单的加减运算，加快了运算速度。 2 4 频谱校正中的谱峰识别 通常我们把频谱幅值谱上的局部最高谱线称为谱峰阳1 。在进行校正前，首先要 进行的工作就是频谱峰值谱线的搜寻和识别。对于单频率信号，频谱上最高幅值谱 线即为与信号频率最为接近的信号频率谱线。对于多频信号，各频率成分因相互干 涉和噪声影响，幅值谱上的局部最高谱线并不一定是与信号频率最接近的信号频率 谱线。必须把影响影响谱峰识别的几个基本要素弄清楚，才能保证谱峰的j 下确识别。 2 4 1 频率分辨率的影响阳1 对于未知信号幅值谱，给定的一个频率分辨率厂宽度内，可能为单频率成分， 1 3 华北电力人学硕士学位论文 也可能为多频率成分。后者是我们所不希望的，因为这种情况下校正所需的数学模 型非常复杂。理想情况是各信号频率成分分隔在不同的频率分辨率宽度内，而且相 邻谱峰间隔使不同频率成分之间的相互干涉控制在可以接受的误差范围内。所以实 际测量中，应根据量测对象正确选取频率分辨率和选择加窗函数以满足上述要求。 对电网谐波进行频谱校正时，受采样时问和f f t 计算点数限制，频率分辨率厂较大。 目前已有判定谱峰干涉情况的实用判据n ，这便于我们将受干涉严重的谱峰过滤掉。 2 4 2 伪谱峰和准谱峰 前面指出幅值谱局部最高谱线不是真实信号谱线，还需通过校正得出信号频 率，我们称之为“准谱峰”。如受噪声干扰或受频谱干涉严重，幅值谱上的局部最 高谱线不一定是与信号频率紧邻的局部最高谱线，按给定的校正方法校正将得到错 误的结果，我们把这种局部最高谱线称之为“伪谱峰”。谱峰识别的任务就是要找 出“准谱峰”，剔除“伪谱峰”。 2 4 3 剔除“伪谱峰” 为了从众多的局部极大值中获取准谱峰，需要根据一定规则进行区分。目前普 遍使用阈值法。首先是噪声阈值，实际测量中根据测量噪声标准差的大小可以确定 谱峰噪声阈值，用以剔除噪声引起的伪谱峰。其次是旁瓣阈值，以区分主瓣局部极 大值和旁瓣局部极大值。一般所选的阈值应大于幅值谱上最高峰值谱线的第一旁瓣 谱线高度。最后是谱线干涉判定，文献 1 0 给出了判定单频率信号干涉的相位和幅 值判据，由文献 1 1 可知该判据推导时忽略了信号负频成分干涉影响，不适用于超 低频信号的干涉判定，但适于较高次谐波谱峰的干涉判定。 2 5 离散频谱泄漏与周期性对谱峰的影响 离散频谱与连续频谱不同。这里重写谐波信号的时域和频域表达式： z ( 七t ) ；等口，c 。( 2 巧，七疋+ 伊，) ：等口， 竺生三竺二竺竺 z ( 七t ) 2 荟口，c 。s ( 2 万，七疋+ 伊，) 2 荔口，三兰一 ；荛口，兰二二：兰兰挲，。s七s一1 ( 2 一1 7 ) 即补黔驰川一= 驰等= 耪，坐等竺p 等 1 4 华北电力人学硕十学位论文 = 三薹薹 口，e j 等( 月专) p ，即+ 口，p j 等( ) e 一，竹 ，。s 咒s 一1 。 c 2 1 8 ， 式( 2 1 7 ) 和式( 2 一1 8 ) 表示该信号在时域和频域以坐标原点为起点，沿正、反方 向传播。下面推广到一般形式。 z。七瓦，；荛口，c。2刁。七i+妒，。荛口，!：二：!兰!：!_二二掣c2一-9， p。疗厂，。篆z。七t弦，呈笋。蔫萋口，兰：二二!二!兰!：掣e一，三笋 e 三萋蔫 口，p 一，警( + ) p 一，( 即+ 三笔乒) + 口，p 一等( h 一】p j ( + 三笋) ， c 2 2 。， os ，ls 一1 ，os 七s 一1 ，f 1 ，乞为任蒽整数。 上式表示多频实信号可以表示为由起点七一一z ： 和七；一z 。 出发沿时间 轴正反向传播的余弦波形组合，时域起点选择的不同反映为频谱相位捌t 。：的 变化。 与连续信号频谱不同，离散频谱是周期变化的。将频域表达式( 2 2 0 ) 再推广得： j ，( ，z 旷) ；：三薹篆f 口，p 一等( 月+ ，十专) p j ( 妒+ 2 f 等) + 口，e 一，等【 + f 4 一) e ，( 9 + z z 等) ( 2 2 ) os ，ls 一1 ，f 3 ，f 4 为任意整数。 上式表明离散信号频谱可以看作是起点分别为，z = 一z ：和咒= z 。，沿频率轴正 反传播的波形迭加。一般情况下我们选择，：= 0 ，我们关心的正频率信号起点为0 ， 所以f 。为0 ，则上式变为： j ，c ，z 旷，。三薹蔫卜，p j 等【n + ，3 十l 一，妒，+ 口，e 一，等( n 一l r ， c 2 2 2 ， 由于信号截断产生的泄漏是无法避免的，而离散频谱又具有周期性，各周期内 的信号频率成分厂厂+ z ，在频谱上都会沿正反两方向产生泄漏，对其它谱线产生 干涉。谱线受干涉的程度主要取决于频率谱线相隔距离的远近。在考虑频谱泄漏影 1 5 华北电力人学硕十学位论文 响时，我们只能考虑相距较近的两频率成分相互干涉影响，而其它距离较远的频率 成分的干涉影响忽略不计。对于单频信号，当信号频率谱线落在 0 ，4 】时，取z 。= o ， 当信号频率谱线落在 4 ，2 时，取l = 一1 。对于多频信号，由于各频率成分在频 谱上分布的相对位置没有规律，它们之间相互干涉情况较为复杂，不再能用统一的 表达式列出。 华北电力人学硕+ 学位论文 3 1 概述 第三章常见频谱校正方法 频谱校正方法已广泛应用于信号处理，目前常见的有能量重心校正法、比值法、 f f t + f t 谱连续细化分析法、相位差法等四种典型方法。这四种频谱校正方法具有 不同的特点，适用于不同的工作场所。本章通过这几种方法的对比，找出这几种校 正方法局限性，寻求解决电网谐波高精度测量的方法。 3 2 能量重心校正法 3 2 1 校正原理 能量重心法n 2 1 是利用功率谱上对称离散窗谱函数的能量重心是坐标原点的原 理，根据功率谱重心法则求出频率校正量，再求出相位和幅值校正值。 3 2 2 校正公式 离散谱功率表达式：y ( f ) = i y ( f ) 1 2 利用功率谱重心得出的校j 下频率： y y ( f ) - 伽+ f ) 一 y o ) 校正幅值：彳= 校正肫一- l ( 缸与产刀 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 公式中m 为准谱峰所在谱线编号，n 为幅值最高功率谱线左、右两侧参与计权 计算的谱线数量，k ，为幅值恢复系数。 3 2 3 校正结果举例 为方便各种校正方法进行精度对比，本文中校正举例的采样频率一律选定为 尤= 1 0 0 4 0 眈，取采样点数= 1 0 2 4 点，参与计权的谱线数n = 2 。实信号表达式为： 石o ) = 彳c o s ( 2 矿+ 口) 。 ( 1 ) 取幅值彳= 1 ，相位口= 0 ，频率值由2 0 h z 到4 0 9 0 h z 变化，变化步长6 h z 。 1 7 毕北电力大学硕1 学位论文 订i ，l i 一 矿l i i i 1 ；- i 莳一；f ij i i 蔷 图3 一i 频率枝正误差 煳32 幅值授正误差 华北电力大学硕士学位论文 图33 相位校正误差 ( 2 ) 取幅值爿= 1 ，相位，= 5 0 ，相位值由一1 8 0 。到1 8 0 。h z 变化，变化步k0 1 。 吲34 频率校正曝差 口 f c一_三一 f 矿 一， 一一 。； i_ll 一iff一 一 ：=iii，lll 一。7一 ，f，llll_in。_“im【，讲| 华北电力人学硕十学位论文 3 3 比值法 3 3 1 校正原理 图3 5 幅值校正误差 图3 6 相位校正误差 比值法又称插值法n 3 2 0 | ，是利用信号谱峰附近的两条或多条谱线的比值，建立 以频率修正量为变量的方程，从而得出校正频率，再进行幅值和相位的校正。 2 0 一， 1 8 ，ffff l 0ll 、 华北电力人学硕七学位论文 3 3 2 校正公式 设时域信号： z ( ，1 ) 彳c o s ( 2 刀。凸咖f + 妒。) ，o 5 4 k ，( 珂；蛳，+ ) + e 一，( 2 矶蛳血+ ) ；o 5 彳p ，( 2 j ，渺f + 蜘) 注意这里忽略了实信号的负频率成分。将峰值谱线表达式作如下变形： 引，) - 羔m ) 吣) p 押，妒”a f ；萎。捌p 卅一吣) e 。撕，跏心x 。( 厂) 一zx ( ，1 ) w ( 刀) p 押广妒”拉= o 5 彳p 儿卅。舭”w ( ，1 ) e 。撕，v ”出 一蜘专扣叩。s 学叫细孚 一专耄( 一旷鲁( ，一，o 一七) + x ( ，一厂0 + 纠 2 耋( 刮鲁唧( 小叭* m ) 】， 这里a = 一厂，为频率修正量，注意下罩参与计算的频率是真实频率除以厂后 的相对频率。 利用相邻两峰值谱线之比，可以建立以频率修正量为变量的方程。 ( 3 4 ) 根据( 3 4 ) 求解方法不同，可分为解析和迭代两种解法。文献 1 3 给出了不同 窗函数情况下求解频率修正量a 的解析表达式，但随着加窗阶数的提高解析表达式 变得非常复杂；文献 2 1 采用峰值搜寻办法进行频率修讵最a 的迭代求解，这种迭 代方法与所加窗函数种类无关，迭代2 0 次左右频率即可达到万分之一的精度。 。= q 吣n 以万幕丙 l 的模为校正幅值，辐角主值为所求初相位角。 2 1 ( 3 5 ) ( 3 6 ) h 一纠 “ 一从 以 一卜 d d 卜一卜“一拶 竺一 刮一咖 ，l一 - k娶一驴 | 柚姑 华北电力大学碗十学位论文 3 33 校正结果举例 采样频率f = 1 0 0 4 0 h z ，采样点数n 取1 0 2 4 点，实信号表达式为 x 一c o s ( 2 妒+ 日) 。 ( 1 ) 取幅值4 - 1 ，相位口- o ，频率值出2 0 h z 到5 0 0 0 h z 变化，变化步长6 h z 。 1 r ， o l 1 0 b 1 。 1 口 1 0 罔37 频率校正误差 嚣“”“ 圈3 8 幅值校正误差 u 。 一 一 华北电力人学硕士学位论文 图39 相位校正误差 ( 2 ) 取幅值一= 1 ，相位，25 0 ，相位值由1 8 0 。到】8 0 。h z 变化，变化步长0 1 。 l i ；十i 一； 图31 0 频率校正误差 百 一 矿 p p 华北电力大学硕士学位论文 薯 n 图3 1 l 幅值校正误差 j 广| | j ，| 一、 一 ，一1一_ _ i j | | 7 ， 、j ， j 、l ， 2 1 j 1-o5 0 n 图3 1 2 相位校正误差 3 4f f t + f t 谱连续细化分析法 3 4 1 校正原理 由于离散傅立叶变换的定义可知，d f t 结果是连续变化的频谱。谱连续细化分 析法心2 3 先用f f t 作全景谱，对所关心的局部再用d f t 进行细化运算，得到细化的较 高精度的频谱。通过求局部最大值的方法求出信号最高谱线，通过求最高谱线的辐 、l 一 、 一 l，l 铲 铲 矿 c 一暑一 华北电力大学硕士学位论文 角主值求得校正相位，该谱线对应的频率即为校正频率。这种方法的优点是可以在 不增加采样长度的前提下，大大提高频率辨识能力，如采用加窗函数，在幅值正时 还应乘以相应的还原系数。该方法对单频率信号频率校正精度较高，由于采样频率 没有实质性提高，并不能将相互干涉的密集频率成分分隔丌来。这种方法的致命缺 点是校正工作耗时，要求精度越高计算越费时间。 3 4 2 校正结果举例 实信号表达式为：石o ) = 彳c o s ( 狲+ 口) ，取幅值彳= 1 ，频率，= 5 0 ，相位口一2 0 。， 正= 1 0 0 4 0 位，= 1 0 2 4 ，加汉宁窗，在 4 9 ，5 1 h z 之间作1 0 0 0 0 点细化分析，得出 彳= 1 0 0 0 0 ， ，= 4 9 9 9 8 6 ， 口= 2 0 0 0 3 7 。 j ，l 一。i ，j 一l 1 一l ，一 、 、 j 一一一一一一上一一斗一一一一4 一一一一一- 一一一一一一一一一l 一一一一l 一一一一一 一一一一 l n 稍留一。一磊。赢厂磊1 分 竹埘 3 5 相位差法 3 5 1 校正原理 一一 _l i 、 l 5 仉45 n 685 1 图3 1 3f f t + d f t 者线细化校正 与前面几种方法不同，相位差法口3 。2 们通过时移或加不同长度、不同种类对称窗 函数进行两次f f t 分析，利用离散频谱对应峰值谱线的相位差求出频率和相位校正 量。下面给出时移原理实现的相位差法的校正公式。 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ， 一 一 1一，一，一 一 一 ，上 一 一 一 一 一 一 一 r rililf，1j二r 一 一 一 一 暮) d 华北电力大学硕七学位论文 3 3 2 校正公式 实际采样的窗函数表达式：m o ) = 心一吖2 ) 对数据加窗f f t ： 眦h 俐_ f 【x ( t 小f 【w t ( t ) 】_ ( 分吲厂+ ，j + 分町圳卜( 伽叫 = 会( 厂+ ，护。旧( ，“) + 力+ 会( 厂一厂扣。旧( ，- ，o 卜力 忽略负频率信号，记妒= 厂一，。，则加窗f f t 后的相位为： 奄= 甲一积0 f f = 甲一硼薅 在时域将信号z o ) 向后平移口z ，则新的信号石。o ) 的相角为： = 驴一2 7 矿0 a 丁= 驴一2 口( ，一妒) 刀 对新信号进行加窗f f t ，得新的相位： 垂o = 驴一刀丁矿一2 口( 厂一妒弘盯 将( 3 7 ) 与( 3 9 ) 式作差得到：= 一巾。= 2 口( ，一够弦，进而得 掰；( 二鲤圣堕! 。 2 脚 实际测量时，卜= 专，拈舌，如等，由( 3 - l o ) 得： sn鹋鹋 a ；七一竺 2 晓万 将( 3 1 1 ) 式中a 调整到( 一1 ，1 ) 这一区