（应用数学专业论文）多时滞食饵捕食系统动力学分析.pdf

摘要 本文考虑一类带有四个时滞的食饵捕食系统，这类系统是近期已有文献中相应 系统的合理推广在正平衡点存在的条件下，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函讨论 它的局部稳定性和全局稳定性研究表明，当时滞超过一定的临界值时，正甲衡点 由稳定变为不稳定，产生h o p f 分支文中应用中心流形定理及庞加来规范型理论 研究了分支方向、分支周期解的稳定性和周期大小的变化规律最后，应用全局延 拓方法证明了由h o p f 分支产生的周期解大范围存在 关键词h o p f 分支；周期解；l y a p u n o v 泛函；中心流形；全局延拓 a b s t r a c t ap r e d a t o 卜p r e ys y s t e mw i t hf o u rt i m ed e l a y si sc o n s i d e r e d t h i ss y s t e mi sar e a s 0 n a b l eg e n e r a li z a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go n es t u d i e di nt h er e c e n tli t e r a t u r e b yc o n - s t r u c t i n gs u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n a l s ，b o t hi o c a ia n dg i o b a is t a b i i i t i e so f t h ep o s i t i v e e q u i l i b r i u m 撇g i v e nu n d e r t se x i s t e n c eh y 叫h e s i s i ti ss h o w n t h a tt h ep o s i t i v ee q u i l i b - r i u mw i i i l o s si t ss t a b il i t i e sa n dt h eh o p fb i f u r c a t i o nt h e no c c u r sa st h ed e l a ys u r p 嬲s e s t h ec r i t i c a iv a l u e s t h e nb a s e do nt h ec e n t e rm a n i f o i dt h e o r e ma n dt h ep o i n c a 厄n o n n a l f o mt h e o r y t h ed i r e c t i o no ft h eb i f u r c a t i o n ，t h es t a b ili 妙a n dt h ep e r i o dv a r i a n c eo ft h e p e r i o ds o l u t i o np p o d u c e db yt h eh o p f b i f u r c a t i o na f es t u d i e d f i n a i l y i ti sp r 0 v e dt h a tt h e p e r i o ds o l u t i o n sa p p e a r e dd u r i n gt h eh o p f b i f i u r c a t i o nw i l lp e r s i s tg i o b a l l yb yu s i n gt h e g l o b a le x t e n s i o nm e t h o d k e yw o r d s ：h o p fb i f 证c a t i o n ； p e r i o ds o l u t i o n ； l y a p u n o vf h n c t i o n ； c e n t e 卜 m 卸i f o l d ：gi o b a le x t e n s i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：盈因因日期：趟：么：墨 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：盈! 叠卤 导师签 第一章引言 由于时滞现象在自然界和人类社会中的普遍性，时滞微分方程的研究越来越受 人们的关注，随着时滞微分方程在生物数学中的广泛应用，中外许多数学家和生物 学家提出并研究了大量的具有现实意义的种群生物学模型，这些模型在帮助我们更 好地认识种群动力学行为方面起到了积极的作用本文较为全面，深入地研究了具 有多个时滞的食饵捕食系统，对近期已有文献中相应系统进行了合理的推广，为研 究其它类型的时滞种群动力学模型提供了一定的参考价值。 本文考虑多时滞食饵捕食系统 圣( ) = z ( t ) p 1 一n 1 1 z ( t n ) 一口1 2 可( t 一仃1 ) 】， ( 1 1 ) 参( ) = ! ，( t ) f - 7 2 + n 2 1 z ( ，一c r 2 ) 一n 2 2 秽( 一忍) 】，( 1 2 ) r i o ，o 巧 0 ，兀0 ，吼20 ，i ，歹= 1 ，2 ， 正平衡点的局部稳定性和全局稳定性，并在给定条件下讨论系统的局部h o p f 分支 及其全局延拓设系统满足初始条件。 z ( ) = 西1 ( ) o ，t 【一7 - ，0 】，咖1 ( o ) o ，( 1 3 ) 可( ) = 也( t ) o ：【- 丁，o 】，妒2 ( o ) o ，( 1 4 ) 丁= m n z n ，仡，盯l ，c r 2 ) ，( 1 5 ) 其中表示两个种群的种内作用系数，( i j ) 表示种间作用系数，n 表示内 禀增长率，盯l ，c r 2 分别表示追捕时间和捕食者成熟所需时间，n ，乃分别表示食饵 和捕食者的妊娠期，i ，歹= l ，2 稳定性问题是时滞微分方程理论研究中的一个基本而又重要的研究课题，许 多学者对其进行了广泛而深入的研究，并取得了大量的研究成果( 参阅文献【14 】一 【18 】) ，在稳定性理论的研究中，李雅普诺夫第二方法是一种非常重要且行之有效的 方法，前面已经有很多学者对该系统的特殊情况作了研究，如在文献【1 】中，作者 考虑了n = 您= 0 的情形，对该系统正平衡点的稳定性进行了研究，但考虑倒妊 l 华东师楚大学疆圭论文多靖潞食馁捕食系统动力学癸祈 娠期对种群数量的重要影响( 参阅文献f 2 】) ，本文引进时滞n ，您具有实际的生态 意义，文献【l 】利用超越函数零点分布定理研究正平衡点的髑部稳定性，佩随着滞 量个数戆增燕，对怒越垂数鹣分析显褥曼麴复杂，本文透过樽造逶当鹭l i 鑫p l l v 泛 函研究了系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 正平衡点盼局部稳定性和全局稳定健 分支问题是时滞微分方程理论研究中的另个非常重要的问题，其研究对象是 结构不稳定的系统，所谓分支现象是撞菝羲子参数戆系统当参数变 ；二并经过某些睡 器毽时，系统的某些属缝突然发生变化。罩在上世纪5 良6 0 年代，我国数学家秦元 勋教授等开始研究时滞微分方糕的分支问题，髓至上世纪7 0 年代，由于动力系统、 非线性分析和非线性微分方程等方面研究的摧动，以及强有为豹数值计算手段的协 黠，才开始形成努支嚣数学理论帮方法，著褥到了广泛翡应麓文猷婆】努轿了系统 ( 1 1 ) 一( 1 2 ) 中n 一魄= 晚= o 时的特殊情形，并以仡为参数研究全局h o p f 分支， 本文考虑n = 豫一。的情形，以两个时滞伊l 。眈为分支参数研究系统( 1 i h l 2 ) 麓携。筘分支斡弱部存在毪及冀全舄延拓，著盛本文黠文献f 8 】孛一些 菱疆方法进 行了改进也有不少文献对滚系统特殊情凝静是部渤f 分支傲过裰应研究f 参褥 文献 4 】一【8 】) ，但大都只给出h o p f 分支的存在条件，而未舆体计算分支周期解的 性凌，本文利用申心流形定理翱p o i n e a 托规范性理论计算了谯m = 砚时的分支方 向、分支雳藕解的稳定性薮爱月麓太誊靛交纯规律，研究表明，分支方彝、分支蘧 期解的稳定性、周期以及振幅与分支参数紧密联系，均可由系统( 1 1 ) 一( 1 2 ) 中参数 明确表示出来( 参阅文献1 1 2 】f 1 3 】) 本文第二章各节安接魏下；第l 节涯明系统瀵是努始条件魏鳃吴有藏不变性 稀有界性；第2 节给出系统正甲衡点局部稳定性的条件；第3 节给崮系统蓬甲衡点 全局稳定性的条件；第4 节讨论了局部h o p f 分支存在的条件，并在此条件下利用 中心流形定理和媲蔻性理论计算了分支方彝秘分支瘸期解的稳定性；第5 第则铡用 吴建宏等建立辫全局 沁茚分支定理对局部努支进行了延掭，露在全禺范隧内讨论 系统的由h o p f 分支产生的周期锵的保存性 2 第二章多时滞食饵捕食系统动力学分析 2 1 解的正不变性和有界性 引理2 1 1 对一切t o ，系统( 1 - 1 ) - ( 1 2 ) 满足初始条件( 1 3 ) - ( 1 4 ) 的解恒为正 证明：由( 1 1 ) - ( 1 4 ) 知 雄) = 邶) e x p z 。”n n 小一n ) 咱。小啊) 幽) ? ( o ) = 1 ( o ) o ， y ( t ) = ( 。) e x p z 一r z + n z - z ( s c r 2 ) 一口拢( s 一死) 幽) ，可( 。) = 也( 。) 。 容易看出，对一切t 之o ，恒有z ( t ) o ，y ( ) o 证毕 引理2 1 2 假设条件 ( ，1 ) r l n 2 l 一，2 n l l o 成立，则系统( 1 1 ) - ( 1 2 ) 满足初始条件( 1 3 ) - ( 1 4 ) 的解均有界，即对一切t o ，恒 有o o 恒成立，则t2 死时，恒有 z ( ) s 暑暑e 1s 矗，而在f o ，正】上，类似于1 。的证法可知z ( t ) s 亦成 立 3 0 若j 码 o ，s t 当t 正时，r l 一口l l z ( t 一丁1 ) o 恒成立，则t 疋时，掣so ， z ( t ) 在m ，+ 。o 】上单调递减，故对vt 易，z ( t ) z ( 疋) ，而在【o ，乃】上。类似 于l d 的证法可知z ( ) ，l 亦成立 综合1 0 ，2 d ，3 0 知，对v f o ，o 一r 2 竺翌r 1 ： n l l口1 1 于是由前面讨论知； 州o ，o 0 扣肌咖) 坼 华东师范大学硕士论文多时滞食饵捕食系统动力学分析 其中 2 2 正平衡点的局部渐近稳定性 首先研究系统( 1 1 ) - ( 1 2 ) 平衡点的存在性 系统( 1 1 ) 一( 1 2 ) 有四个甲衡点。 e - ( 0 o ) ，恳( 盱急) ， 。r l n 2 2 十r 2 n 1 2 z 。= 一 n l l n 2 2 十n 1 2 n 2 l b ( 三，o ) 和e ( ，矿) ， 。r l n 2 l r 2 口1 1 ”= 一 n l l 0 2 2 十口1 2 0 2 l 容易看出，在假设( h 1 ) 下，系统( 1 1 ) - ( 1 2 ) 有唯一个正平衡点e + 以下均假设( h 1 ) 成立 定理2 2 1 若时滞满足条件 和 2 口i l z l n 1 1 8 1 2 z ( 丁l + 仃1 ) 一2 n ；2 薹+ 观 o 为一常数，不等式两边在( 如，) 上积分得 ( 删+ 肛熟州) 出 0 兮( t ) + 6 厂2 ( u ；( t ) + 遁( ) ) 出( 。) - ，幻 又由( ) 的定义知，对v t 之o ，w ( f ) o ，故片( u ；( t ) + 遁( t ) ) o 。，即t ( t ) + 钍；( ) l 1 【t o ，+ 。) ，从而砰( ) + 嵋( ) _ o ( _ + 。o ) ，系统( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 零解渐 近稳定，即系统( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的正平衡点矿局部渐近稳定 证毕 7 华东师范大学硕士论文多时滞食饵捕食系统动力学分析 2 3 正平衡点的全局渐近稳定性 定理2 3 1 设系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 满足初始条件( 1 3 h 1 4 ) ，若 n n l l n o ，使得 6 1 l d l + 1 2 1 如= i l l 0 6 1 2 d l + 6 2 2 d 2 = o ， 华东师范大学硕士论文多时滞食饵捕食系统动力学分析 令 y 0 ) ( ) = d l ) ( t ) + c f 2 k ) ( 线( 2 3 1 7 ) 由( 2 3 9 ) ，( 2 3 1 6 ) 一( 2 3 1 7 ) 得 y ) ( t ) = d 1 ( p ) ( t ) + 如( 2 ，) ( t ) s 一( 6 l l ( f 1 + 6 2 1 如) z l e p l ( ) 一1 l 一( 6 1 2 d 1 + 6 2 2 c f 2 ) y i e 船( ) 一1 l = 一 1 z f 矿z ( 力一1 l 一，1 2 可+ l e 船( 。) 一l f ( 2 3 1 8 ) 又由中值定理知，存在o 口1 ( 亡) p l ( t ) ，o o 证明：对方程( 2 4 3 ) 两边求导得： 故 咖扎 o 证毕 引理2 4 1 表明当丁在一附近连续增加时，方程( 2 4 3 ) 的根从左到右穿过虚 轴 由上面的讨论可得如下结论： 引理2 4 2 假设条件( 凰) 口l l n 2 2 一口1 2 口2 l r o 时，系统( 2 4 1 ) 的零解不稳定； 7 = r 知( 七= o ，1 ，2 ，) 是系统( 2 4 1 ) 的h o p f 分支值 下面讨论分支方向及分支周期解的稳定性，为此需假设盯- = c r 2 = 盯= 吾 令 z ( t ) = 孟( 以) ，盯= 矿+ p ，盯七= 7 七2 ，l = 1 ，2 ，七= 1 ，2 ， 则系统( 2 4 1 ) 转化为 士1 ( t ) = ( 矿+ p ) 一口l l z z 1 ( t ) 一口1 2 z z 2 ( t 一1 ) 一口1 1 z ；( t ) 一口1 2 2 1 ) z 2 ( z 一1 ) 】， 圣2 ( ) = ( 口知+ p ) 【口2 1 秒+ z l ( 一1 ) 一口2 2 暑，4 2 2 ( t ) + n 2 l z l ( f 一1 ) z 2 ( t ) 一口2 2 z ；( ) 】( 2 4 8 ) 则可在初值空间c = c ( 【- 1 ，o 】，r 2 ) 上讨论系统( 2 4 8 ) 的解 易见p = o 是系统( 2 4 8 ) 的分支点，当p = o 时，系统相应的特征方程有一对纯虚 根士i 岫矿改记系统( 2 4 8 ) 为t 圣( t ) = l p ( z t ) + ，( p ，z t ) ， 其中 z ( t ) = ( z l ( t ) ，勋( ) ) t r 2 ，z t ( p ) = z ( t + 口) c 算子族乙( ) ：c r 与，：r c r 分别定义为。 p c ，= c 矿+ 弘，( 一：z 一三旷) ( 2 暑；) + c 盯七+ p ，( 口：二。一等z + ) ( 乏 二：；) ， c 2 4 9 ， m 卅地刊蒙竺忑裂芝黔 仁4 加， 1 4 华东师范大学硕士论文多时滞食饵捕食系统动力学分析 由r i e s z 表示定理知，存在有界变差函数，7 ( 秽，p ) ，使得当c 时， ) = 吲帅) 础) ( 2 4 1 1 ) 事实上，可取 叩c 见p ，= c 盯七+ p ，( 一。了z 一三矿) 6 c 一c 仃k + p ，( 口：二。 其中 6 ( 护) ： o ， 口o ， 【1 ， 口2o 对妒c 1 ( 【一1 ，o 】，r 2 ) ，定义 a c 弘，c ，= 凳 d 叩。肛，s ，妒。s ，三三：1 。l c 2 4 ，3 ， 和 ， r c p ，c 妒，= o ( p ， ；三：1 0 ) c 2 4 ，4 ， 于是系统( 2 4 8 ) 等价于 壹( t ) = a ( p ) 鼠+ 冗( p ) 兢， 其中甄( p ) = z ( f + p ) ，口【一l ，0 】( 2 4 1 5 ) 对砂c 1 ( o ，1 】，酞2 ) ，定义 删： 岁， s 【0 ，1 ) ， ( 2 4 1 6 )a 弋矽) ( s ) 2 t 。：叩二( 。，。) 矽( 一。) ，：三：叫 ( 2 4 1 6 ) 和双线性内积 ( 蝴= 开啪( 0 ) 一。矾卅州) 绯) ， ( 2 4 1 7 ) 其中，7 ( 口) = 7 ( 9 ，o ) 易验证a ( o ) 与月+ 互为共轭算子，从而a ( o ) 的特征根士砒矿也是a + 的特征根 假设口( p ) = ( 1 ，q ) t e 讥。叼为a ( o ) 相应于特征根l 蛐扩的特征向量，则 4 ( o ) 口( 口) = i 蛐g ( 口) u 心 + t 石 ( 、li， z 2 毗。 一 华东师范大学硕士论文 多时滞食饵捕食系统动力学分丰斤 由a ( 0 ) 的定义及( 2 4 9 ) ，( 2 4 1 1 ) - ( 2 4 12 ) 得 ( = 嘉：乏篆：) g ( 0 ) 一o ， 一i 咖一n l l 矿 弓口。瓦i 万。口1 2 z e ” 类似地，设矿( s ) = d ( 1 ，口) 丁e 嫡一。为a 相应于特征根一i 蛐矿的特征向量，则通 过计算可得 。一i 蛐+ 口1 1 z q2 i 孑万丁 2 l 掣e ” 由( 2 4 1 7 ) 可知t ，u ，伊 ( q ( s ) ，g ( p ) ) = 西( 1 ，a + ) ( 1 ，q ) r 一 d ( 1 ，a ) e 一讥矿( 卅却( p ) ( 1 ，q ) 丁e 灿矿 ，一l ，0 = u = d 1 + q a + 一( 1 ，a + ) 口e 一9 d 7 7 ( 口) ( 1 ，q ) t ，一1 = d 1 + o a 。+ 矿e 一矿( a n 2 1 可一a n l 2 z ) 若选择 则可以保证 。= 再五万丙晤j 高石丽， ( g ( s ) ，g ( 口) ) = l ，( q ( s ) ，口( 口) ) = o 假设岛是方程( 2 4 8 ) 当p = o 时的中心流形，兢是方程( 2 4 8 ) 在中心流 形g 上的解 定义 z ( t ) = ( g ，觑) ，( t ，口) = 现( 1 9 ) 一2 r e z ( ) q ( 口) ( 2 4 1 8 ) 则在中心流形岛上，( t ，9 ) = w ( 2 ( t ) ，乏( t ) ，p ) ，其中 ( z ( t ) ，乏( 舌) ，口) = 。( p ) 每+ l ( 伊) z 乏+ ( 口) + ( 口) 吾+ ( 2 4 1 9 ) o_ 2 1 6 z 与牙分别是中心流形岛在旷与矿方向的局部坐标，容易算得 其中 三( )i 蛐盯七2 + 矿r ( o ) ，( o ，( 2 ( t ) ，乏o ) ，o ) + 2 r e z 口( p ) ) i 岫矿z + 矿t ( o ) 矗( z ，孑) i “o 盯七z + 9 ( z ，乏) ， 北栩：乳嘶护蚴萼怕澎+ 咖薯坳雩+ 由( 2 4 1 8 ) 一( 2 4 1 9 ) 得 以口) ：w ( f 口) + 2 耽似咖( 叭：( 口) 萼+ m 。( 班乏 + i 。( 口) 詈+ ( 1 ，q ) 丁e 讥口z + ( 1 ，a ) 乇一蛔扩口牙+ 而由( 2 4 1 0 ) 和( 2 4 2 1 ) 可得 9 ( z ，乏)= 矿r ( o ) ，( o ，z t ) = d ( 1 ，a ) 盯知 ( 2 4 2 0 ) ( 2 4 2 1 ) d 矿( 一口l l z 毛( o ) 一口1 2 z l t ( o ) 2 ( 一1 ) + a 0 2 l z l t ( 一1 ) z 2 ( o ) 一a + 口2 2 z 玉( o ) ) 西扩 一n 1 1 【z + 孑+ 盘( o ) 等+ 叫：( o ) z 三+ w 氇1 ( o ) 等】2 一n 1 2 k + 乏 峭( o ) 李+ 叫p ( o ) z 乏+ 皑( o ) 警】【a e 一z + a e 矿乏+ 咄( 一1 ) 等 叫；( 一1 ) z 乏+ w 卺1 ( 一1 ) 罢】十a 眈l 【e 一，诵矿z + 蛳一乏+ w 盘( 一1 ) 等 耐：( 一1 ) z 乏+ w 僵( 一1 ) 芸】【a z + a 牙+ w 棠( o ) 萼+ 叫 ( o ) z 乏+ 偻( o ) 善】 a n 2 2 【q z + a 乏+ w 盔( o ) 等+ 叫；( o ) z 乏+ w 尝( o ) 等】2 ) 由比较系数法得 9 1 l 2 d 仃七( 一0 1 1 一n 1 2 q e 一蜘矿+ a + n 2 1 口e 一讥r 一口2 2 a a 2 ) ， 2 西盯七( 一口l l 一口1 2 a e + a 眈l 丘e 内r n ：挖a + a 2 ) ， 2 西扩( 一g t - 一口z r e q e 一岫) + 矽8 z - r e 口e 讥一 一g 2 2 矿丘q ) ， 1 7 、lj，o ，从2孔 2 f z 扣 、， 2 m h z ) 叠 o m “一p ， 一 2 n ，从 埘 以 吨 眈 = = + + + 一 仂。：2 甜 o ( 一p 0 ( 0 ( 乃 o ，可( ) o 时，由( 2 5 1 ) ，( 2 5 3 ) 得 由( 2 5 4 ) 得 结合( 2 5 5 ) _ ( 2 5 。6 ) 可得 o = r l 一口l l z ( ，7 1 ) 一n 1 2 剪( ，7 1 一口- 2 ) ， o = 一r 2 + 口2 1 z ( ，7 2 一盯1 ) 一n 2 2 秒( 7 7 2 ) o y ( t ) y ( 已) 乏a 孝， 。 邢) 纠啦) s 警 由( 2 5 1 0 ) ( 2 5 1 1 ) 知( z ( t ) ，可( t ) ) 一致有界 ( v ) 当z ( t ) o 时，由( 2 5 1 ) ，( 2 5 3 ) 得 o = 一r 2 + 口2 1 z ( 7 7 2 一c r 2 ) 一0 2 2 耖( 啦) 一r 2 一n 2 2 耖( 啦) ， 兮! ，( 啦) 一旦 o 矛盾，所以此时，系统( 2 5 1 ) 无非平凡的周期解 ( v i ) 当z ( t ) 三 o 这与z ( t ) 0 ，6 0 和一 光滑曲线入：( 一一正一+ 6 ) hc 使得对所有的下【下七一6 ，丁七十礼如( a ( 7 - ) ) = o ，l 入( 丁) 一咖i o 所以驴( z + ，y + ) 为系统( 2 5 1 ) 的孤立中心( 参阅文献【1 1 】) 令 q 皤= h 小o ? 7 e l p 一筹l e ) 容易验证在【一一6 ，r 七+ 翻x 锄。，舞上， 枞c ，0 + 警i ) = o 骨r 一叩扎p = 筹 再定义 日士( 矾一，筹) ( 忡) = 批c 圳( 叩+ 矜 则得到横截数 7 ( f ，r 七，警) = 如鲐( 日( f ，丁知，筹) ，q 。，嚣) 一如如( h + ( 矿，一鼍) ，q 。啬) = 一1 ， 于是( 三，于，国“( e 。，r t ，等) ，y ( 三， ：，痧) 矿，则由引理( 2 5 2 ) 知。 当( z ( t ) ，l p ) f ( 驴，7 七，等) 时，o p 一，( 七m + n ) ，系统( 2 5 1 ) 至少有七一 ( m 十n ) + 1 个非平凡周期解证毕 参考文献 【l 】t f a r i a ，s t 曲i l t y 锄db i 觚鲥f o rad e l a yp r e d a t o 卜p 哟7m o d e l 锄dt h ee 艉c to f d i 仃憾i o n ， j m a 土1 1 a n a l a p p l 2 5 4 ( 2 0 01 ) ，4 3 3 4 6 3 【2 】g e h i l t c h i 吣o f l c i r c u l 缸c a u s a ls y s t 咖si ne c o l o g 弘a 彻n ya c a d s c i 1 9 4 8 ，5 0 ：2 2 l 一 【3 】k g o p a l s 锄y s t a b i l i t ya n do i l l a l i o 吣i nd e l a yd i f r e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p u l a t i o nd y - n 姗i c s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r ，d o 础优址n e t h e r l 锄d s l9 9 2 【4 】h i f r d m 锄锄dvs h r a o ，s t a b m t yc r i t e r i af o ras y s t e mi m ，0 l o v i n gt 、i 阳t i m ed e i a y s ， s i 气m j a p p i m a m 19 8 6 缅：5 5 2 【5 】x z h e ，s t a b i i 时粕dd e l a y si na 删a t 0 卜p 咧s y s t e m ，j m 拍a n a i a p p l 19 9 6 ，l9 8 ：3 5 5 3 7 0 【6 】m a r a k ia n db 1 ( 0 i n d o ，s t 西i l t y 锄dt 啪s i e n tb e h a v i o ro f c o m p o s i t en o n l i n e 甜s y s - t e m s ，i e e e t l 胃n s a u t o m a t i cc o n t i ，1 9 7 2 ，1 7 ：5 3 7 - 5 4 1 【7 】yk 啪g ，d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i ma p p i i c a l i o n si np o p u l a t i o nd y n a m i c s ，b o s t o n ： a c a dp f e 豁，1 9 9 3 【8 】c h 明西u ns u n 觚dm 锄h 矾g i o b a lqu a l i 汹v e 锄a l y s i sf o ra 删a t o 卜p 啊s y s t e mw t h d e l a y c h a ，s o i i t i o 璐锄df m c t a i s ，3 2 ( 2 0 0 7 ) ，1 5 8 2 一1 5 9 6 【9 】w w a n g 锄dz m a ， h a m l 骼sd e l a y s 蠡泔啪i f o n np e r s i s t 黜e ，j m a 廿1 a n a l a p p i 1 9 9 l ， l5 8 ：2 5 每2 6 8 。 【l o 】h w h e 曲c 咖，h w s t e c ha n dp v 觚d e nd r i e s s c h e ，n 0 n l i n e 盯0 s c i i l 砒j 伽si n 印i d e m i c m o d e i s ，s i a mj a p p l i e dm a 廿1 1 9 8 l ，4 0 ：l - 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