均匀带电细圆环电场的分布.doc

第 24 卷第 8 期2005 年 8 月大 学 物 理COLL E GE P H YSICSVol . 24 No . 8Aug. 2005均匀带电细圆环电场的分布刘诚杰 ,刘景世( 宝鸡文理学院 物理系 ,陕西 宝鸡 721007)摘要 : 在柱坐标系中根据电场强度的计算公式 ,计算出均匀带电细圆环在全空间的电场公布 ,得到了级数形式解 ;讨论了圆环平面内 、中心轴线上和远区的电场分布情况 .关键词 : 细圆环 ;电场 ;级数解中图分类号 :O 44111文章编号 :100020712 (2005) 0820019202文献标识码 :A均匀带电细圆环周围空间电场的分布是电磁学中经常研究的问题. 在此类问题的研究中 ,文献 1是在直角坐标系中导出电势的级数解 ,再对电势求 导得到电场的级数解 ; 文献 2 至 4 采用直角坐标系导出了用积分形式表示的电场解 ,然后利用数值积分求解 ;文献 5 、6 则用椭圆积分表示其电场分 布 . 而在大学物理本科教学层次上 ,数值积分和椭圆 积分不易于为一般的本科生所理解和掌握 . 本文根 据该模型的电场轴对称性的特征 ,在柱坐标系中直接利用计算场强的公式 ,得到电场的级数解 ,其解的 形式较文献 1 更为直观一些 .e = co s i + sin je = - sin i + co s j ez = k( 1)逆变换为i = co s e - sin ej = sin e + co s ek = ez( 2)由图 1 可知 P 点坐标是 (, 0 , z ) , Q 点 ( 圆环圆周上一点) 的坐标是 ( R , , 0) , 而且有 : r = e +z ez , r2 =2 + z 2 , rs = Re , r=e -Re + z ez , d l =R d e , e = co s e + sin e. 由式 ( 1) 、( 2) 的变换关系 , 并考虑到 P 点和 Q 点的坐标 , 可得均匀带电细圆环的电场12 + z 2 + R 2 - 2Ree =2 + z 2 + R 2 - 2R co s r =如图 1 所示 ,设均匀带电细圆环的半径为 R , 其电荷线密度为 , 由对称性可知其电场必以 z 轴对 称 , 因此 , 只要求得 x O z 平面内的电场 , 就可以知道 整个空间的电场分布 .( 3)设圆环上的电荷元为 d q = d l = R d , 根据电场强度的计算公式可得d qrd E =40 r 3R e -Re + z ezd=40 2 + z 2 + R 2 - 2R co s 3/ 2R d40 r2 + R 2 - 2R co s 3/ 2(-R co s ) e -R sin e + z ez( 4)电场强度 E 在 ( e , e , ez ) 三个方向上的分量分别是 :图 1 均匀带电细圆环的电场2E = 0R (- R co s ) d4 ( r2 + R 2 - 2R co s ) 3/ 2 =0设 P 点在图 1 所示的 x O z 平面内 , 选取柱坐标系 , 柱坐标系与直角坐标系的单位矢量间的变换 关系为 :23/ 2 0R(- R co s ) d( 5)40 r2 + R 23/ 22R co s 1 -r2 + R 2E = 0R z d( 6)E = 0R z(2R ) z2Ez = 0E =3/ 2 =1z22 3/ 222 3/ 202r + Rqz4r + R4 r2 + R 2 - 2R co s 0023/ 2 0R z22 3/ 240 z + R40 r2 + R 23/ 22R co s 1 -r2 + R 2式中 q 为圆环上的总电荷 , 这正是我们所熟悉的结果 7 .2 . 2均匀带电细圆环远区的电场对于场点到环心的距离远远大于圆环半径的远d( 7)2R令 A =, 则 A 1 , 应用幂级数展开可得r2 + R 21 - A co s - 3/ 2 = 1 + 3 A co s +53( 8)2R2 !222+ Cn A nco s n +区场 ( r R ) , 由于 A = 1 , 故在式 ( 11 ) 和r2 + R 2A 2co s2 +式 ( 12) 中可忽略 A 的高幂次项. 仅保留一次项时 ,远区场任一点的电场强度为 :其中20( 2 n + 1) ( 2 n - 1) 31co s n d =R( 2 r2 - R 2 )Cn =Rn !2 nn = 奇数n = 偶数E22 5/ 234r + R ) 2 r (0002D nR zR z( 9)Ez 2 ( r2 + R 2 ) 3/ 2 230 r0式中 :D 0 = 1 ; D n =R (2 + z 2 ) 1/ 222E=E +E z = ( n - 1) ( n - 3) ( n - 5) 31320 rn ( n - 2) ( n - 4) 42R q =24 r2( 10)0 r20将式 ( 9) 、( 10) 代入式 ( 5) 和式 ( 7) , 分别计算出 :式中 q 为圆环上的总电荷 . 从上式可以看出 , 均匀带电细圆环在远区所产生的电场相当于带等量电荷 的点电荷产生的电场 , 也就是说对于远区电场 , 带电 细圆环相当于点电荷 , 这仍然是我们所熟悉的结论.2 . 3 均匀带电细圆环平面内的电场定性分析由式 ( 11) 、( 12) 可知 , 对圆环平面内的点有 z =23/ 2 0R 1 + 3 A co s +E =40 r2 + R 22co s + 3 A co s2 + CnA nco s n + Ck A k co s k + 1 +-2Rd =20 r2 + R 23/ 20 ,故 Ez = 0 ,E 0 , 即 此 时 场 强 方 向 沿 圆 环 径 1 + 15 A 2 +R 3 A +向 1 . 式 ( 11) 和式 ( 12) 中的级数收敛快慢完全取决于参量 A , 因为 A 1 , 故当 P 点在圆环附近时 A 有 较大值 , 级数收敛缓慢 ; 反之 , 级数迅速收敛 , 因此均 匀带电细圆环的电场主要集中在圆环附近 . 此结论 与文献 3 、 4 完全一致 .+ C D A n +-n n1641053k+ Ck D k + 1 A +( 11)128 A23/ 2 0d =R z 3Ez =1 +A co s +40 r2 + R 22R z+ CnA nco s n +20 r2 + R 23/ 2参考文献 :1 + 15 A 2 + C D A n +( 12)n n1 程昌林 , 王慧 , 李业凤 . 均匀带电细圆环的电场 J . 大学物理 , 2003 , 22 ( 6) :1516 .张连顺 , 姜万禄 . 环形线电 荷 的 电 场 分 布 J . 大 学 物 理 , 1998 , 17 ( 8) :2123 .贾惠凯 , 李行一 . 均匀带电圆环平面内电场强度和电势的径向分布曲线 J . 广西师范大学学报 ( 自然科学版)2002 ( 2) :4143 .徐兰珍 . 均匀带电圆环环平面内的电场 、电势分布 J .西安邮电学院学报 , 2000 , 5 ( 3) :6264 .( 下转 24 页)16式 ( 11) 、( 12) 中 k 为奇数 , n 为偶数. 2 2讨论 3 2 . 1均匀带电细圆环中心轴线上的电场要求得均匀带电细圆环中心轴线上的电场 , 只2R须令式 ( 11) 、( 12) 中 = 0 即可 . 注意到 A = 0 和 r2 = z 2 的条件 , 可得 4 r2 + R 224大 学物理第 24 卷 2 陈世民 . 理论力学简明教程 M . 北京 : 高等教育出版社 , 2001. 184189 .ry J . Journal of Sound and Vibratio n ,1991 ,150 :485 500 .刘济科 ,赵令诚 . 结构振动模态局部化评述 J . 振动与 冲击 , 1995 , 14 ( 4) :13 .黎捷 . MA PL E9 . 0 符号处理及应用 M . 北京 : 科学出 版社 , 2004 . 156159.屈维德 , 唐恒龄 . 机械振动手册 M . 第 2 版 . 北京 : 机 械工业出版社 , 2000 . 1228 . 3 方同 , 薛璞 . 振动理论及应用 M .出版社 , 2002 . 104106 .西安 :西北工业大学6 4 Pierre C. Mode localizatio n and eigenvalue loci veeringp heno mena in disordered st ruct ures J . Journal of Sound and Vibratio n , 1988 ,126 :485502 .Triantaf yllou M S , Triantafyllou G S. Frequency coales2cence and mode localizatio n p heno mena :a geo met ric t heo27 8 5Vibrat ion analysis of disorderly coupled pendul umsGON G Shan2chu(Depart ment of Mechanical & Elect ro nic Engineering , J ieyang College ,J ieyang , Guangdo ng 522000 ,China)Abstract :Thro ugh t he L agranges equatio n , t he mat rix equatio n of co upled pendulums is established , t hevibratio n of diso rderly co upled pendulums is analyzed ; t he vibratio n of diso rderly co upled pendulums is st udied , and by using t he MA PL E9 . 0 , t he t hree2dimensio nal curve of t he amplit ude ratio and nat ural f requency is draw n following t he parameter change . The co nclusio ns are t hat nat ural f requency increases wit h t he increase of param2 eter and ; t he diso rder of co upled pendulums has a mo de localizatio n p heno mena , at t he first2o rder mo de lo2 calizatio n p heno mena , t he amplit ude ratio increases wit h t he increase of parameter .Key words :co upled pendulums ; vibratio n analysis ; nat ural f requency ; diso rder ; mo de localizatio n( 上接 20 页)5 张之翔 . 电磁学中几个简单问题里的椭圆积分 J学物理 , 2002 , 21 ( 4) :2224 .大学物理 , 2004 , 23 ( 9) :3234 . 7 程守洙 , 江之永 . 普通物理学 ( 第二册) M . 北京 :高等 教育出版社 , 1998. 2425 . 6 周海英 , 陈浩 . 均匀带电细圆环电场的一般分布 J .大The electr ic f iel d distr ibut ionof a un if ormly charged r ingL IU Cheng2jie ,L IU J ing2shi(Depart ment of Physics ,Baoji U niversity of Art s and Science ,Baoji ,Shaanxi 721007 ,China)Abstract :In cylindrical coo rdinate system ,t he elect ric