【数学】学同步精品学案(人教A版必修)：集合与函数概念§函数的奇偶性[]课标.doc

1.3.2奇偶性1函数奇偶性地定义一般地,如果对于函数f(x)地定义域D内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数一般地,如果对于函数f(x)地定义域D内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数理解函数地奇偶性要注意以下四点：(1)函数地奇偶性与单调性地差异奇偶性是函数在定义域上地对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值地变化趋势奇偶性是相对于函数地整个定义域来说地,这一点与函数地单调性不同,从这个意义上来讲,函数地单调性是函数地“局部”性质,而奇偶性是函数地“整体”性质,只有对定义域中地每一个x,都有f(x)f(x)或f(x)f(x),才能说f(x)是奇(偶)函数(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性地前提条件由函数奇偶性地定义知,若x是定义域中地一个数值,则x必然在定义域中,因此,函数yf(x)是奇函数或偶函数地一个必不可少地条件是定义域在数轴上所示地区间关于原点对称换言之,若所给函数地定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性如函数y2x在(,)上是奇函数,但在2,3上则无奇偶性可言(3)既奇又偶函数地表达式是f(x)0,xA,定义域A是关于原点对称地非空数集(4)若奇函数在原点处有定义,则有f(0)0.2用定义判断函数奇偶性地一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(1)要判断一个函数是否具有奇偶性,应按照函数奇偶性地定义,先判断这个函数地定义域是否关于原点对称(因为一个函数地定义域不关于原点对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数,即函数地定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性地前提条件),然后再确定f(x)与f(x)地关系：若f(x)f(x),则此函数为奇函数；若f(x)f(x),则此函数为偶函数；若f(x)f(x),同时f(x)f(x),则此函数为既奇又偶函数(2)在判断f(x)与f(x)地关系时,可以从f(x)开始化简,也可以去考虑f(x)f(x)或f(x)f(x)是否为0,当f(x)不等于0时也可考虑,与1或1地关系3奇、偶函数地图象特征(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数地图象是以坐标原点为对称中心地中心对称图形反之,如果一个函数地图象是以坐标原点为对称中心地中心对称图形,则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数地图象关于y轴成轴对称图形反之,如果一个函数地图象关于y轴成轴对称图形,则这个函数是偶函数(3)由于奇函数地图象关于原点对称,偶函数地图象关于y轴对称,因而研究这类函数地性质时,只需通过研究函数在0,)(或(,0)上地情形,便可推断出函数在整个定义域上地性质(或图象)(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称地两个区间上地单调性是一致地；偶函数在称地两个区间上地单调性是相反地. 题型一函数奇偶性地判定判断下列函数地奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)2x43x2；(3)f(x)x22x5; (4)f(x)x2,x(0,)；(5)f(x).分析本题主要考查函数地奇偶性地判断,根据定义,应注意两个方面：(1)函数中有奇函数,也有偶函数,但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数,只有f(x)0 (xR或x(a,a),a0)既是奇函数又是偶函数(2)从函数奇偶性地定义可以看出,具有奇偶性地函数,首先其定义域关于原点对称,其次f(x)f(x)或f(x)f(x)必有一成立解(1)函数地定义域为R,关于坐标原点对称,对于定义域内地每一个x,有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x),所以函数f(x)x32x是奇函数(2)函数地定义域为R,关于坐标原点对称,对于定义域内地每一个x,有f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x),所以函数f(x)2x43x2是偶函数(3)函数地定义域为R,关于坐标原点对称,对于定义域内地每一个x,有f(x)(x)22(x)5x22x5,所以f(x)f(x),且f(x)f(x),所以函数f(x)x22x5既不是奇函数也不是偶函数(4)函数地定义域为(0,),不关于坐标原点对称,所以函数f(x)x2,x(0,)既不是奇函数也不是偶函数(5)函数地定义域为x|xR且x1,并不关于原点对称所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数点评对于整式函数f(x)a0a1xa2x2anxn (nN),若解析式中只含有x地偶次方项(a0可看成a0x0,即a0可看做是x0地系数,也就是说a0也是x地偶次方项地系数),x地奇数次方项地系数都为零,则f(x)为偶函数；若f(x)地解析式中只有x地奇次方项(偶次方项地系数都为0,包括a00)则f(x)为奇函数；若奇次方项与偶次方项均存在,则f(x)为非奇非偶函数,尤其要注意在判断之前一定要先看定义域是否关于原点对称,如第(5)小题容易先化简成f(x)x2,忽视定义域得出偶函数地结论判断分段函数f(x)地奇偶性分析本题若画出图象,可直观形象地看出其奇偶性,但是不严格；利用定义判断此函数地奇偶性,需分x(6,1、x1,6)两种情况说明解f(x)地定义域为(6,11,6),关于原点对称当x(6,1时,x1,6),f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时,x(6,1,f(x)(x5)24(x5)24f(x)综上可知,对于x(6,11,6),都有f(x)f(x)故f(x)是偶函数点评分段函数地奇偶性应分段判断f(x)与f(x)地关系,只有当对称地两段上都满足相同地关系时才能判断其奇偶性 题型二奇、偶函数地图象已知yf(x)与yg(x)地图象如图所示,则函数F(x)f(x)g(x)地图象可以是()解析由图象可知函数y=f(x)与y=g(x)均为奇函数f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),F(x)=f(x)g(x)=-f(-x)-g(-x)=F(-x)所以函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数注意到函数y=f(x)地图象在y轴右侧部分先小于0后大于0,而函数y=g(x)在右侧部分恒大于0,满足以上条件地只有A.答案A点评由函数图象判断函数奇偶性是一项基本要求与基本能力本题是判断奇函数、偶函数积地奇偶性,结合图象中所凸显地特征(如函数地定义域、与x轴地交点、图象是在x轴地上方还是下方),将图象信息用于分析函数地单调性、奇偶性等函数特征因此在平时地训练中要加强对图象地识别能力和结合函数性质分析图象地能力 题型三函数单调性、奇偶性地 综合应用设定义在2,2上地偶函数f(x)在区间2,0上单调递减,若f(1m)f(m),求实数m地取值范围分析已知条件较多,充分利用已知条件：f(1m)f(m),则f(|1m|)f(|m|)解因为f(x)在2,2上为偶函数,f(1m)f(m)所以即解得m2.点评(1)满足函数关系式地自变量首先应在定义域内,这是一个很容易被忽视地问题,要加以重视；(2)在解抽象函数中参数地范围时,往往是利用函数地单调性将“f”符号脱掉(3)偶函数地一个重要性质：f(|x|)f(x),它能使自变量化归到0,)上,避免分类讨论判断函数f(x)(x1)地奇偶性错解将解析式变形为：f(x),f(x),f(x)f(x),f(x)为偶函数错因分析没有考查函数定义域地对称性正解函数f(x)地定义由0知1x1.因为定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数高考要求掌握函数奇偶性地概念从考查形式上看：一方面考查函数奇偶性定义地应用,属于试卷中地容易题,注重概念地娴熟应用；另一方面综合考查函数地性质(单调性、奇偶性等),一般属于试卷中地中档题,注重对概念地深刻理解,注重对数学思想方法及能力地考查1(全国高考)函数f(x)x地图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析f(x)x,f(x)xf(x)f(x)是一个奇函数f(x)地图象关于原点对称答案C2(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x4)f(x),当x(0,2)时,f(x)2x2,则f(7)等于()A2 B2 C98 D98解析f(x4)f(x),T4,f(7)f(78)f(1)f(1)2122.答案A3(上海高考)已知函数f(x)x2(x0,aR)(1)判断f(x)地奇偶性；(2)若f(x)在2,)上是增函数,求实数a地范围解(1)当a0时,f(x)x2,对任意x(,0)(0,),f(x)(x)2x2f(x),f(x)为偶函数当a0时,f(x)x2 (a0,x0),取x1,得f(1)f(1)20,f(1)f(1)2a0,f(1)f(1),f(1)f(1),函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数(2)方法一设2x1x2,f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a,要使函数f(x)在x2,)上为增函数,必须f(x1)f(x2)0恒成立x1x20,x1x24,即ax1x2(x1x2)恒成立又x1x24,x1x2(x1x2)16.a地取值范围是(,16方法二当a0时,f(x)x2,显然在2,)上为增函数当a0时,反比例函数在2,)上为增函数,f(x)x2在2,)上为增函数当a0时,同方法一.1下列函数既是奇函数又是偶函数地是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案A解析选项A中,f(x)0,x1,1该函数既是奇函数又是偶函数2下列说法错误地个数为()图象关于原点对称地函数是奇函数；图象关于y轴对称地函数是偶函数；奇函数地图象一定过原点；偶函数地图象一定与y轴相交A4B3C2D0答案C解析正确3已知定义在R上地奇函数f(x)满足f(x2)f(x),则f(6)地值为()A1 B0 C1 D2答案B解析由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x),故知函数yf(x)地周期为4,f(6)f(42)f(2)f(0)f(x)是R上地奇函数,易知f(0)0,f(6)f(0)0.4设f(x)是R上地奇函数,并且当x0,)时,f(x)x(1),那么当x(,0)时,f(x)等于()Ax(1) Bx(1)Cx(1) Dx(1)答案D解析设x(,0),那么x(0,),则f(x)x(1)x(1)f(x)是R上地奇函数,f(x)f(x),f(x)x(1)即f(x)x(1) (x0)5如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7,3上是()A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为5答案B6函数f(x)是定义域为实数集R地偶函数,它在区间0,)上是增函数,若f(m)f(2),则实数m地取值范围为_答案(,22,)解析方法一函数f(x)是实数集R上地偶函数,其在0,)上是增函数,所以f(x)在(,0)上是减函数当m0时,由f(m)f(2),知m2；当m0时,由f(2)f(2),从而f(m)f(2)f(2),知m2.故所求地m地取值范围为(,22,)(本题容易忽视对m地讨论)方法二f(x)是实数集R上偶函数,f(m)f(2)f(|m|)f(2)|m|2.m2或m2.7定义在R上地奇函数f(x)和g(x),满足F(x)af(x)bg(x)2,且F(x)在区间(0,)上地最大值是5,则F(x)在(,0)上地最小值为_答案1解析F(x)F(x)af(x)bg(x)2af(x)bg(x)2af(x)bg(x)af(x)bg(x)44,当x0,F(x)5,F(x)5,F(x)1.F(x)在(,0)上地最小值为1.8判断函数f(x)地奇偶性,并加以证明解函数是偶函数,证明如下：当x0时,f(x)x1,x0,f(x)(x)1x1f(x)；当x0时,f(x)f(x)1；当x0,f(x)x1f(x),对任意xR,f(x)f(x),函数f(x)是偶函数9已知函数yf(x)是偶函数,在x(0,)上递减,且f(x)0,试问F(x)在(,0)上是增函数还是减函数,并证明之解F(x)是(,0)上地减函数证明如下：任取x2x10,则0x1x2,f(x)在x(0,)上递减,且f(x)0,f(x2)f(x1)0.yf(x)是偶函数,f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)0,F(x1)F(x2)0,即F(x1)0,f(x)0,f(x)0.f(xy)f(x)0.f(xy)x,f(x)在(0,)是减函数又f(x)为奇函数,f(0)0,f(x)在(,)上是减函数f(2)为最大值,f(6)为最小值f(1),f(2)f(2)2f(1)1,f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.f(x)在区间2,6上地最大值为1,最小值为3.13.2奇偶性(一) 学习目标1掌握函数地奇偶性地定义和判断方法2理解奇函数和偶函数地图象地特点 自学导引1一般地,如果对于函数f(x)地定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数2一般地,如果对于函数f(x)地定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数3奇函数地图象关于原点对称,偶函数地图象关于y轴对称. 一、判断函数地奇偶性例1判断下列函数地奇偶性,并说明理由(1)f(x)x2|x|1,x1,4；(2)f(x) ；(3)f(x).分析解答本题应首先判定函数定义域是否关于原点对称,然后根据定义判定解(1)由于f(x)x2|x|1,x1,4地定义域不是关于原点对称地区间,因此,f(x)是非奇非偶函数(2)f(x)地定义域为1,1,关于原点对称,且f(1)0,f(1)0,所以f(x)f(x),且f(x)f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由题易知函数f(x)地定义域x|x0,关于原点对称,当x0时,x0,f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)当x0,f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)f(x)f(x),f(x)为奇函数点评判断函数地奇偶性,一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(x)是否等于f(x),或判断f(x)f(x)是否等于0,从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数另外,还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数地和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数地和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数地积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数地积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数地定义域)变式迁移1判断下列函数地奇偶性：(1)f(x)|x|；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解(1)既奇又偶函数f(x)0,f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)(2)函数地定义域为(,),f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x),f(x)|x1|x1|是奇函数(3)f(x)地定义域为R.当x0时,x0,f(x)f(0)0,f(x)f(0)0,f(x)f(x)当x0时,x0,f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0,f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由可知,当xR时,都有f(x)f(x),f(x)为奇函数 二、奇、偶函数图象地特征例2设奇函数f(x)地定义域为5,5,当x0,5时,函数yf(x)地图象如图所示,则使函数值y0地x地取值集合为_分析利用奇函数图象地性质,画出函数在-5,0上地图象,直接从图象中读出信息解图2由原函数是奇函数,所以yf(x)在5,5上地图象关于坐标原点对称,由yf(x)在0,5上地图象,得它在5,0上地图象,如图2所示由图象知,使函数值y0时,f(x)x23x1,求f(x)地解析式分析由奇函数地定义知f(0)0,再由f(x)f(x)可得当x0时f(x)地表达式,构成定义在R上地奇函数解f(x)是定义在R上地奇函数,f(x)f(x)当x0,f(x)f(x)(x)23(x)1x23x1.又奇函数f(x)在原点有定义,f(0)0.f(x)点评在求函数地解析式时,应紧扣题目中地已知条件,当求自变量在不同区间上地不同表达式时,要用分段函数地形式来表示同时解题时不能漏掉x0这种特殊情况变式迁移3已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x|x2|,求x0,f(x)地表达式解设x0,f(x)x|x2|x|x2|.又f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)x|x2|,f(x)x|x2|.故当x0时,f(x)地表达式为f(x)x|x2|.1在奇函数与偶函数地定义域中,都要求xD,xD,这就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它地定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数地定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数地条件2解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断3奇函数f(x)若在x0处有意义,则必有f(0)0.4奇函数、偶函数地图象特点反映了数和形地统一性一、选择题1已知函数f(x) (x0),则这个函数()A是奇函数B既是奇函数又是偶函数C是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案C解析x0,f(x)f(x),f(x)是偶函数2奇函数yf(x) (xR)地图象必过点()A(a,f(a)B(a,f(a)C(a,f(a) D.答案C解析yf(x)是奇函数,过(a,f(a)点,而f(a)f(a)yf(x)过点(a,f(a)3若f(x)在5,5上是单调奇函数,且f(3)f(3) Bf(0)f(1)Cf(2)f(3) Df(3)f(5)答案B解析f(x)在5,5上是单调奇函数,且f(3)f(1),f(x)在5,5上是减函数,0f(1)4.如图是一个由集合A到集合B地映射,这个映射表示地是()A奇函数而非偶函数B偶函数而非奇函数C奇函数且偶函数D既不是奇函数也不是偶函数答案C解析因为f(x)0,x2,2,满足f(x)f(x)所以该映射表示地既是奇函数又是偶函数5若f(x)ax2bxc (a0)是偶函数,则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案A解析f(x)是偶函数,f(x)f(x),即ax2bxca.x2bxc,b0,此时g(x)ax3cx (a0),由于g(x)a(x)3c(x)(ax3cx)g(x),g(x)是奇函数二、填空题6已知函数f(x)ax2bx3ab为偶函数,其定义域为a1,2a,则a地值为_答案解析偶函数地定义域关于原点对称,a12a,a.7下列四个结论：偶函数地图象一定与纵轴相交；奇函数地图象一定通过原点；既是奇函数,又是偶函数地函数一定是f(x)0 (xR)；偶函数地图象关于y轴对称,其中正确地命题有_个答案1解析错误,如偶函数f(x)地图象与纵坐标轴不相交错误,如奇函数f(x)不过原点错误,如f(x)0,x1,1,既是奇函数又是偶函数正确8设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数,则a_.答案1解析f(x)x2(a1)xa对称轴x0,a1.三、解答题9判断下列函数地奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x4x；(3)f(x)解(1)定义域为,不关于原点对称该函数既不是奇函数也不是偶函数(2)定义域为R,关于原点对称,且f(x)x4xx4x,f(x)x4x(x4x),故其既不是奇函数也不是偶函数(3)定义域为R,关于原点对称当x0时,x0,f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0,f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时,f(0)0.故该函数为奇函数10已知f(x)为R上地奇函数,当x0时,f(x)2x23x1.(1)求f(x)地解析式；(2)作出函数f(x)地图象解(1)设x0,由已知有f(x)2(x)23(x)12x23x1.所以f(x)2x23x1.又f(0)0,从而解析式为f(x)(2)函数图象如下图所示：13.2奇偶性(二) 学习目标1巩固函数奇偶性地性质,并能熟练应用2能利用函数地奇偶性、单调性解决一些综合问题 自学导引1定义在R上地奇函数,必有f(0)0.2若奇函数f(x)在a,b上是增函数,且有最大值M,则f(x)在b,a上是增函数,且有最小值M.3若偶函数f(x)在(,0)上是减函数,则有f(x)在(0,)上是增函数4下列论断正确地为_(填序号)(1)如果一个函数地定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数,则它地定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数地定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数地图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数答案(2)(4)5函数f(x)|x|地奇偶性为_,单调递增区间为_,单调递减区间为_答案偶函数0,)(,06函数f(x)x|x|地奇偶性为_,单调递增区间为_答案奇函数(,) 一、利用奇偶性求函数值例1(1)已知函数f(x)x5ax3bx8,且f(2)10,求f(2)地值；(2)已知f(x)、g(x)均为奇函数,且F(x)af(x)bg(x)2在(0,)上有最大值5,求F(x)在(,0)上地最小值分析(1)因为2与2互为相反数,因此可以考虑利用函数地奇偶性来解决(2)构造一个函数,使其具备奇偶性,运用奇、偶函数地性质加以解决解(1)令g(x)x5ax3bx,则f(x)g(x)8.f(2)10,g(2)18.又g(x)x5ax3bxg(x)g(x)为奇函数g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.(2)f(x)、g(x)均为奇函数,F(x)2af(x)bg(x)亦为奇函数,且在(0,)上有最大值3.根据奇函数地性质,F(x)2af(x)bg(x)在(,0)上有最小值3.F(x)af(x)bg(x)2在(,0)上有最小值1.点评对于一些抽象函数或系数中含有多个参数地函数求值问题地解决方法是,通过构造一个具有奇偶性地函数,利用奇、偶函数地对称规律来解决问题变式迁移1若f(x)ax7bx5cx3dx8,f(5)15,求f(5)地值解令g(x)ax7bx5cx3dx,则g(x)g(x),所以f(x)g(x)8.又f(5)g(5)8,所以g(5)8f(5)8(15)23.所以f(5)g(5)831.二、函数地单调性、奇偶性之间地联系例2已知f(x)是奇函数,在(0,)上是减函数求证：f(x)在(,0)上是减函数分析解答本题关键是将x0,利用f(x)在(0,)上地递减性来证明证明设x1x2x20,f(x)在(0,)上是减函数,f(x1)f(x2),又f(x)是奇函数,f(x1)f(x2),f(x)在(,0)上是减函数点评由奇函数或偶函数地图象特点,容易得到它们单调性地对称规律,这一规律对于不同区间内地自变量对应地函数值比较大小时,作用很大在证明这一规律以及与对称性有关地题目时,巧妙利用变量对称进行转化是重要地手段之一变式迁移2若f(x)是偶函数,在(0,)上是减函数,则f(x)在(,0)上是增函数还是减函数？解f(x)在(,0)上是增函数证明如下：设x1x2x20,f(x)在(0,)上是减函数,f(x1)f(x2)又f(x)是偶函数,f(x1)f(x2),f(x)在(,0)上是增函数三、函数地奇偶性、单调性地综合应用例3函数f(x)是定义在(1,1)上地奇函数,且f.(1)确定函数f(x)地解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.(1)解f(x)是定义在(1,1)上地奇函数,f(x)f(x),即.bb,b0.f,a1.函数解析式为f(