（微电子学与固体电子学专业论文）考虑量子力学效应的mosfet表面势模型研究.pdf

中文摘要 中文摘要 m o s f e t 器件尺寸的按比例缩小导致栅氧化层厚度越来越小，同时衬底掺 杂浓度不断提高，而栅电压的减小相对较弱，从而使得器件沟道表面的纵向电场 越来越强，沟道内载流子被限制在一个由硅表面能带弯鳆所形成的很窄的势阱 内，致使载流子在垂直于界面方向上的运动发生量子化，能级发生分裂，载流子 的空间分布也与玻尔兹曼假设的经典分布有很大的不同，量子力学效应对器件特 性的影响已不可忽略。表面势由于受到量子力学效应的影响，即使在强反型区也 会随着栅电压的增大而显著增加。本文针对量子力学效应对表面势的影响作了较 详细的分析，并从基于量子力学物理本质的角度针对如何将量子力学效应引入到 表面势的模型中作了创新性的研究。 首先介绍了量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法。要准确描述量子 力学效应，需要自洽求解一维薛定谔方程和泊松方程，但由于它们是相互耦合的， 求解过程需要反复迭代，因此计算效率很低。而利用三角势阱近似则可以得到薛 定谔方程的解析解，并且是自洽数值解的一个很好的近似，从而大大简化了计算， 并且物理意义清晰。本文的研究工作正是基于三角势阱近似进行的。 在基于表面势的( s u r f a c e - p o t e n t i a l b a s e d ) 模型中，准确求解表面势是一个 关键问题。目前，经典的表面势方程已经有了高效的求解方法，而在引入量子力 学效应时，国际上普遍采用的方法是对经典理论迸行修正，这种半经验化的方法 缺乏物理基础，其准确性也有待提高。本文创新性地提出了量子表面势方程 ( q u a n t u ms u r f a c ep o t e n t i a le q u a t i o n 。q s p e ) 的概念，并将求解结果和自洽解 及实验测量数据进行了比较，模型具有准确度高，物理意义清晰的优点。 对q s p e 方程的求解仍需要利用数值求根技术，求解时间较长，不适合v l s i 电路模拟。因此我们采取合理的近似对q s p e 方程进行简化，从而得到了个解 析求解表面势的模型，该解析模型在不同的工艺参数条件，及较宽的外加栅，漏 偏置电压范围内，与数值方法求解的结果吻合较好，适合于植入到基于表面势的 集约模型( c o m p a c tm o d e l ) 中。 关键词：m o s f e t ；量子力学效应；三角势阱近似；表面势；集约模型 中图分类号：t n 3 8 6 1 a b s t r a c 七 a b s t r a c t t h ec o n t i n u o u ss c a l i n go fc m o st e c h n o l o g yl e a d st ot h i n n e rg a t eo x i d ea n d g r a t e rs u b s t r a t ed o p i n gc o n c e n t r a t i o n h o w e v e r , t h es c a l i n go ft h ep o w e rs u p p l yi s r e l a t i v e l yw e a k w h i c hm a l lg i v er i s et oav e r yl a r g et r a n s v e r s ee l e c t r i cf i e l da tt h e s i 0 2 s ii n t e r f a c e t h eg r e a te n e r g yb a n db e n d i n gn e a rt h es is u r f a c ec a l l s e db yt h e e l e c t r i cf i e l dm a k e st h ec a r r i e r sc o n f i n e di nap o t e n t i a lw e l l ，w h i c hi ss u f f i c i e n t l y n a l t o wt oc a u s eas i g n i f i c a n tq u a n t i z a t i o ni nt h em o t i o no ft h ec a r r i e r sp e r p e n d i c u l a r t ot h ei n t e r f a c e c o n s e q u e n t l y , t h ee n e r g yb a n di ss p l i ti n t oas e r i e so fs u b b a n d s ，a n d t h es p a c ed i s t r i b u t i o no f t h ec a r r i e r si sq u i 把d i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a ls i t u a t i o n t h e q u a n t u mm e c h a n i c a l ( q m ) e f f e c t sa f f e c tt h ec h a r a c t e r i s t i c so f m o s f e ts i g n i f i c a n t l y , a n dt h e r e f o r ec a nn o tb en e g l e c t e da n y m o r e a saf u n d a m e n t a lp h y s i c sp a r a m e t e ri n m o s f e t s u r f a c e - p o t e n t i a l - b a s e dm o d e l s ，t h es u r f a c ep o t e n t i a lc o n t i n u e st or i s ew i t h g a t ev o l t a g ec o n s i d e r a b l ye v e ni ns t r o n gi n v e r s i o nr e g i o nd u et oq me f f e c t s t h e w o r ko f t h et h e s i si st oa n a l y s i st h ee f f e c to f q me f f e c t so ns u r f a c ep o t e n t i a li nd e t a i l ， a n dl a u n c h e sa ni n n o v a t i v er e s e a r c ho nh o wt oi n c o r p o r a t et h eq me f f e c t si m ot h e s u r f a c ep o t e m i a lm o d e lb a s e do np h y s i c s a tf i r s t , t h eb a s i cc o n c e p t sa n dr e s e a r c hm e t h o d so f q me f i e c t sa r ei n t r o d u c e d t od e p i c tt h eq me f f e c t sa c c u r a t e l y , t h el - dc o u p l e ds c h r o d i n g e ra n dp o i s s o n e q u a t i o nh a st ob es o l v e ds e l f - c o n s i s t e n t l y h o w e v e r , t h en u m e r i c a la p p r o a c ht os o l v e t h ee q u a t i o n si si n e f f i c i e n t a l t e r n a t i v e l y , t h et r i a n g u l a r p o t e n t i a lw e l l ( t p w ) a p p r o x i m a t i o nc a ng i v ea na n a l y t i c a ls o l u t i o nt ot h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o n , w h i c h s i m p l i f i e st h ec o m p u t a t i o ng r e a t l ya n db e a r sac l e a rp h y s i c sm e a n i n g t h ew o r ko f t h e t h e s i si sr i g h tb a s e do nt h et p w a p p r o x i m a t i o n t h ek e yo f t h ea r i s e ns u r f a c e - p o t e n t i a l - b a s e dm o d e l si st oc a l c u l a t et h es u l f a t e p o t e n t i a la c c u r a t e l y t h e r ea r es o m ee f f i c i e n tn t n n e r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d s a v a i l a b l et os o l v et h ec l a s s i c a ls u r f a c ep o t e n t i a l e q u a t i o n ( c s p e ) g e n e r a l l y , a s e m i - e m p i r i c a lm e t h o dt oc o r r e c tt h ec s p ef o rq me f i e c t si sa d o p t e d t h i sm e t h o d l a c k sp h y s i c sb a s e sa n ds u f f e r sf r o mr e l a t i v e l yl o w a c c u r a c y f o rt h ef i r s tt i m e t h e q u a n t u ms u r f a c ep o t e n t i a le q u a t i o n ( q s p e ) i sp r e s e n t e d t h ec o m p a r i s o nb e t w e e n q s p ea n dt h es e l f - c o n s i s t e n tr e s u l t s ，a n dt h em e a 瓤l r e m e md a t ao fs a m s n n g9 0 n m c m o st e c h n o l o g ye n s u r e si t sh i g ha c c u r a c y m o r ei m p o r t a n t l y , i ti sp h y s i c s b a s e d h o w e v e r t h ec a l c u l a t i o no ft h eq s p es t i l ln e e d sn u m e r i c a lr o o tf m d i n g a l g o r i t h m ，w h i c hc o s t sal o to ft i m ea n dd o e sn o tf i tf o rv s l ic i r c u i ts i m u l a t i o n t h e a b s t r a c t q s p ec a i lb es i m p l i f i e df u r t h g rb a s e do ns o m ea p p r o p r i a t ea p p r o x i m a t i o n s t h e na n a n a l y t i c a ls u r f a c ep o t e n t i a lm o d e li so b t a i n e d , w h i c ha g r e e sw i t ht h en u m e r i c a l s o l u t i o n se x c e l l e n t l yi nal a r g er a n g eo fs u b s t r a t ed o p i n gc o n c e n t r a t i o na n dg a t eo x i d e t h i c k n e s sa n de x t e r n a lg a t e d r a i nb i a s e s i tt h e r e f o r ec a nb ee m b e d d e di n t ot h e s u r f a c e - p o t e n t i a l - b a s e dc o m p a c tm o d e l s k e y w o r d s ：m o s f e t ；q u a n t u mm e c h a n i c a le f f e c t s ；t r i a n g u l a r - p o t e n t i a l - w e l l a p p r o x i m a t i o n ；s u r f a c ep o t e n t i a l ；c o m p a c tm o d e l c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：t n 3 8 6 1 e e a c c ：2 5 6 0 r 论文独御性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的露献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作者签名嗽奎 论文使用授权声明 日瓣墟生：生 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件。允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 第1 章引言 第1 章引言 自从1 9 6 2 年出现了由金属一氧化物一半导体场效应晶体管( m o s f e t ) 组成 的集成电路以后，集成电路技术便乘上了由摩尔定律推动的快车。一方面组成集 成电路的基本单元m o s f e t 尺寸不断缩小，另一方面集成电路的性能不断提升。 m o s f e t 尺寸的缩小使得一块芯片上的元件数目呈指数增加，同时电路的工作 速度也呈指数上升【l 】。而且，同一块芯片上可以同时集成许多不同功能的模块， 包括数字的和模拟的，实现系统芯片( s y s t e m o n - a - c h i p ) 。日趋提高的电路复杂 度使得电路设计者必须依赖于计算机辅助电路仿真工具来预测和优化电路的性 能，即电路模拟器( c i r e u i ts i m u l a t o r ) ，如s p i c e 。电路模拟器中包含了定量描述 电路元件各个端口特性的数学模型，它们是外加偏置电压、温度及器件几何尺寸 的函数。这种数学模型通常被称为集约模型( c o m p a c tm o d e i s ) ，它们是c m o s 工艺技术和集成电路功能实现之间的桥梁。电路模拟器要发挥准确预测和优化电 路的作用，极大地依赖于集约模型的准确度；同时，集约模型又必须尽量简单以 节省电路仿真的时间。通常主要有以下三种集约模型：解析模型，经验模型和查 表模型。第一种类型的器件模型是直接从器件物理方程出发而得到的；第二种模 型是由曲线拟合而得到的；第三种模型是把测量得到的电流等数据存成表的形 式，通过查表插值来得到器件的特性。后两种器件模型不能提供对器件工作本质 的理解，而解析模型利用了m o s 器件重要的物理参数，可以用于统计建模，同 时在不同的器件尺寸和温度下仍能够很好的反映器件的工作特性 2 】。所以目前 绝大多数电路模拟器中采用的m o s 器件集约模型都是解析模型，如b s i m 3 4 1 3 ， m o sm o d e l9 1 4 以及e k v 【5 】都属于此类模型【6 】。 1 1 表面势模型的研究意义及现状 c m o s 技术进入到超深亚微米领域以后，对器件集约模型的精度要求越来越 高。集约模型不仅应用于数字和模拟集成电路，在射频( r f ) 电路中亦有着十 分重要的应用，这意味着对模型的准确性，连续性等提出了更高的要求。同时， 模型还必须考虑各种新的物理效应，如短沟道效应( s h o r tc h a n n e le f f e c t s ) 量 子力学效应( q u a n t u mm e c h a n i c a le f f e c t s ) 等。传统的集约模型由于存在物理意 义不明确，连续性不好，参数多等缺点，已难以满足超深亚微米领域器件建模的 要求，必须开发新的集约模型。基于表面势的模型即是最有希望的解决方案之一， 由p h i l i p 和p e n n s y l v a n i as t a t eu n i v e r s i t y 联合开发的基于表面势的模型p s p 已被 第1 章；l 言 集约模型委员会( c o m p a c tm o d e lc o u n c i l ) 确定为下一代集约模型的标准 7 】。 m 0 s f e t 集约模型经历了几代的发展，从最早的分段模型( m o s l 和m o s 2 ) 及经验模型( m o s 3 ) 【8 】，发展到基于阈值电压( ) 的模型( b s i m 3 、4 系列 【3 】和m m 9 1 4 ) ，最新开发的集约模型包括基于反型层电荷( q ) 的模型( 又叫 基于电荷的模型或电荷控制模型，如e k v 5 、a c m 9 和8 s 蹦5 1 1 0 】) ，以及基 于表面势( 蠡) 的模型( h i s i m i l 】和p s p 1 2 1 等) 。各种不同的建模途径反映了 它们在速度和精度之间的折中。 基于阈值电压的模型本质上是一种分段( 或区域化) 模型，模型通过引入阙 值电压的概念来简化计算，并根据栅源电压与阂值电压的关系来划分工作区，器 件在不同的工作区域内采用不同的物理近似，导致每个工作区域内都有一套不同 的模型计算公式。基于阈值电压模型最大的优点是把亚阈值区( 或弱反型区) 和 强反型区解耦，因而可以分别在两个区域内调节模型的精度，有很强的灵活性 【1 3 】。但是模型必须借助于数学手段将不同区域的公式平滑地连接起来，由此引 入了一些没有物理意义的纯拟合参数( 如图1 1 示) ，这些拟合参数又将引出更 多的拟合参数。因此，这种模型是一种“半经验解析模型”，它能够比较精确地 描述器件的一级近似特性，更高级的效应则需要通过引入额外的经验参数来进行 描述。这就造成了模型的物理意义不明晰，而且严重依赖于工艺【2 】。随着c m o s 工艺进入到深亚微米领域以后，非均匀掺杂技术以及新的物理效应对器件性能的 影响越来越大，由于基于阈值电压的集约模型复杂度的提高和参数的不断增多， 越来越难以反映器件内在的物理本质，使其难以满足超深亚微米级电路仿真的需 要。客观上要求开发有别于基于阈值电压的集约模型 1 3 1 1 4 1 1 1 5 1 ，这种模型必须 更多地反映器件内在的物理本质，以求尽可能多地减少纯拟合参数，以满足电路 仿真和设计的需求。 2 第1 章 1 言 ，、 、_ ， o 1 d s 叫l 所卿j ”r t ； 7 l ， t i 蠡f v 矿、2 t 酽| 口s rg s飞| l i 蚝b 2 ：0v 。i s = ：lv ot s 2 图1 1 基于阙值电压的模型，如b s l m 3 、4 和m m 9 ，利用区域化的方法分别得 到了漏- 源电流在弱反型区( v o s v r ) 的表达式。但在巧 附近的适度反型区电流是不连续的，因此模型需要运用适当的光滑函数 ( s m o o t h i n gf u n c t i o n ) 把两段近似曲线连接起来，而这种数学上的光滑函数是没 有任何物理意义的【6 】。 近年来，人们希望器件模型能够包含更多的物理内容，而基于反型层电荷的 模型【5 】【9 】( 1o 】和基于表面势的模型【1 1 1 1 2 是两种有希望可以取代基于阈值电压 模型的新一代解析模型，两种模型都可以追溯到1 9 6 6 年的p a o s a h 方程 1 2 1 。基 于反型层电荷的模型对p a o - s a h 方程进行了简化，其基本思想是先求解沟道两端 的反型层电荷面密度，然后把漏电流及沟道的电荷分布直接和沟道源、漏两端的 反型层载流子面密度联系起来，而沟道表面反型层电荷和偏置电压的关系可以通 过已有的公式很容易得到 1 6 1 。在计算器件的i v 及c - v 特性的时候均以反型层 电荷为自变量，不需要知道表面势。基于反型层电荷模型的优点是可以得到完全 解析的模型公式，具有一定的物理基础，同时提高了计算效率，从而提高了电路 仿真的准确度和速度。其主要缺点是需要利用一些附加的假设，如体电荷和反型 层电荷在固定栅电压下与表面势是线形关系( 这是对电荷薄层模型的一种简化) 等 1 3 1 。另外模型在积累区以及在源漏与栅的重叠区域内不适用，限制了其灵 活性 1 2 】。 第l 章弓l 言 基于表面势模型的基本思想是：首先求解沟道源、漏两端的表面势，然后以 表面势为自变量，推导出端电荷，沟道电流以及其导数的表达式。其最大的优点 在于器件的i v 和c - v 特性可以用一组统一的公式来描述，扶亚阈值区到强反型 区都是连续的，不再依赖于区域化的方法。最初的p a o s a h 方程实际上就是基于 表面势的，这种模型可以精确地计算出电流。限制其应用的主要原因是需要求解 一个表面势和外加偏置电压的隐式方程，方程本身很复杂，而且还包含超越函数， 在计算表面势时，需要利用数值迭代法，求解速度比较慢，所以限制了它在v l s i 电路模拟中的应用。随着计算机技术的发展，以及各种高效数值及解析算法的开 发，如s p 1 7 】，p s p 1 2 ，h i s i m 1l 】，及文献 i s 】 1 9 ，使得求解速度可以和基于 阈值电压的模型相比甚至更快【2 0 】。基于表面势模型以其连续性好，更接近于器 件物理本质，更加灵活的优点成为下一代集约模型的最佳选择 1 2 】。 国内对表面势模型的研究起步不久 2 1 1 1 2 2 2 3 1 ，北京大学何进教授的研究 小组在此领域取得了突出的成绩，己开发出适用于纳米尺寸m o s f e t 器件的表 面势模型- p u n s i m ( p e k i n gu n i v e r s i t yn a n os c a l ei n s u l a t o rg a t em o s f e t m o d e l ) 【1 3 】 2 4 】。 1 2 沟道反型层载流子的量子力学效应 根据按比例缩小的要求，m o s f e t 栅氧化层厚度越来越薄，衬底掺杂浓度 不断提高，导致垂直于沟道方向的电场强度越来越大，从而引起衬底能带在表面 处弯曲程度增加，由此形成了一个很窄的电势阱，阱中的反型层电子被量子化， 形成了所谓的“二维电子气”【2 5 2 6 】。 以n m o s 为例，对器件的量子力学的描述，与经典物理的描述有两个本质 的不同，一是表面电子能量的量子化，二是表面电子的空间分布不再由统计分布 函数( 玻尔兹曼分布或费米一狄拉克分布) 而是由波函数决定。这一方面导致表 面区载流子的能量分裂为一系列离散的子能带，允许的最低的电子能量并不与导 带底重合，而是略高出导带底一段距离( 如图1 2 示) ，且这段距离会随表面电 场的增加而增大。二是反型层电子的空间分布发生了很大的改变。其峰值不再位 于硅二氧化硅界面处，而是在离开表面1 , - - 2 m 处的硅体内( 如图1 3 示) 。电子 浓度在硅体内分布的平均距离与经典理论相比交大了，这相当于增加了有效的栅 氧化层厚度，因此等效栅电容将变小。也就是说，在同样的栅电压下，量子理论 的反型层电荷密度比经典理论的值小。上述两个因素将极大地影响器件的i v 和 c - v 特性 2 7 1 。在超深亚微米纳米时代，量子效应已成为器件建模必须考虑的重 要因素之一。 4 第1 章引言 旦 删 龊 距离【衄】 图1 2 表面电场为1 8 m v c m 时n m o s 反型层载流子能级量子化形成的子能带阶 梯( s u b b a n dl a d d e r ) ，b 代表子能带能量，i 代表第i 个能谷( i - 1 低能谷，2 高 能谷) ，j 代表量子数。 1 3 国内外研究进展和本论文的主要研究内容 目前以p s p 为代表的表面势模型，在考虑量子力学效应对表面势的影响时， 普遍采用了对经典理论进行修正的方法，即将量子力学效应的影响等效为有效禁 带宽度变宽( e f f e c t i v eb a i l d g a pw i d e g ) a e g ，然后在求解表面势的时候利用此 a e g 对表面势方程中含有表面势的指数项进行修 e 1 2 1 1 2 8 2 9 ( 详见第三章) 。 这是一种半经验化的方法，严格来说，缺乏物理基础，因而不能满足超深亚微米 领域器件建模的要求【3 0 】【3 1 】。最近，p r e g a l d i n y 等基于v a nl a n g e v e l d e 解析求解 经典表面势的方法 3 2 】，提出了一种新的考虑量子力学效应的解析表面势模型 【2 7 3 3 。该模型是通过修正文献【3 2 】中的一个光滑函数来包含量子力学效应引起 的表面势增加的现象，本质上仍是对经典理论的一种修正，而且其精确度必然在 很大程度上受到光滑函数的影响。 第1 章引言 飞 毛 苎 恻 袋 m 蟋 搦 m i 副 岖 距离【n m 】 图i 3 量子和经典理论下反型层载流子的空间分布，经典理论下反型层载流子的 分布服从玻尔兹曼关系，其峰值位于表面，而量子理论下，反型层载流子的分布 由波函数决定，其峰值将向硅体内推进。 本论文研究的目的是从基于物理本质的角度，将量子力学效应以更明晰的方 式弓i 入到表面势模型中，由此创新性地提出了量子力学表述的表面势方程 ( q u a n t u ms u r f a c ep o t e n t i a le q u a t i o n ) 。并将由q s p e 计算得到的表面势，以及 进一步利用电荷薄层近似得到的反型层电荷密度及沟道电流，与自洽求解的结果 及实验测量数据进行了比较，验证了新模型的准确性和可靠性。同时，在q s p e 方程的基础上，利用合理的近似，我们又得到了一个解析求解表面势的模型。新 模型具有物理意义明确，结果准确可靠的优点。 论文后续部分包括：第二章，量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法， 为后面的研究工作提供了理论基础；第三章是论文的重点，主要推导了量子力学 表面势方程q s p e ，并对其准确性进行了验证；第四章是在第三章的基础上，利 用合理的近似，推导出了一个考虑量子力学效应的解析表面势模型；最后是论文 工作的总结和对未来工作的展望。 6 第1 章引言 1 4 本章小结 本章首先简述了基于阈值电压的模型存在的缺点，并与基于反型层电荷的模 型和基于表面势的模型进行比较，论述了表面势模型将取代阈值电压模型的趋势 和可能性；接下来简述了量子力学效应的成因，以及对m o s 器件特性产生的影 响和在超深亚微米领域考虑量子力学效应的必要性；接下来针对如何将量子力学 效应引入到表面势模型中，简述了目前国际上研究的进展，然后提出了我们的解 决方法。最后简述了论文的组织结构。 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 当m o s f e t 工艺技术进入到超深亚微米纳米领域以后，器件的特征尺寸已 经接近电子的德布罗意( d eb r o g i l e ) 波长。此时，量子力学效应对器件的性能 将产生重要影响，如开启电压升高，电流驱动能力下降等。m o s 结构中量子化 的反型层载流子的能级结构和载流子的空间分布与经典理论相比有很大的差别 ( 参见第1 2 节) ，并有其独特的研究方法 2 5 】【2 6 】。本章对m o s 结构反型层载 流子量子力学效应涉及的基本物理概念和理论研究方法作一个简单的回顾，为论 文后面的工作打下理论基础。 2 1 一维定态薛定谔方程 图2 1 画出了典型的n 型m o s f e t 四端结构及其垂直于沟道方向的能带结 构。如图所示，反型层载流子被限制在表面势阱吠x ) 中，形成了“二维电子气” 【2 5 。电子在平行于表面的方向是自由运动的，但是在垂直于表面的x 方向的动 量( 因此与之相联系的能量) 是量子化的。电子的波函数可由单个电子在s i 表 面势阱中运动状态的一维定态薛定谔方程描述 2 6 1 ： l 一笔参俐qx ，旧= 酬x ， 亿。 t = l 或2 ，分别代表低或高能谷( 即对应不同的有效电子质量m x 。) ，对应于每一 个能谷f ，都有一系列的波函数和能级目，是量子数，产1 2 “朋k 代表第 f 个能谷上和垂直于界面方向运动有关的有效质量( 见表2 1 ) ；吠x ) 为s i 体内的 电势，g 是电子电量，壳= i , 2 j r ，h 是普朗克常数。 一旦给定了电势分布，就可以通过求解( 2 1 ) 式得到载流子的能级互，和波 函数，进而可以得到第f 个能谷第_ ，个子能带的反型层载流子面密度【3 4 】： n 42e , j 2 d , f ( e ) d e 8 ( 2 2 ) 第2 章量子力学效应的基本物理概念靼理论研究方法 f g 蟊 l e c e i e f p e v 图2 1 典型的m o s f e t 四端结构( n 型) ( a ) 以及沟道中某一点y 处的能带结构( b ) 。 ( a ) 中垂直于沟道的方向为x 方向，与沟道平行为y 方向。( b ) 中表面能带弯曲的 程度，即表面势书的大小，取决于栅电压p 知和沟道内准费米电势p 乙的大小， e f n 和e f v 分别代表电子和空穴的准费米能级，e f p - - e f 。= q v 。b ，e l l 代表第一个子 能带的能级。 其中系数2 是因为考虑了电子的自旋，历为相应能谷的态密度【3 4 】： q = 学 ( 2 3 ) 9 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 表2 1s i 反型层载流子各种不同的有效质量( x m o ) 界面晶向 ( 1 0 0 ) ( 1 1 0 )( 1 1 1 ) 能谷il ( 低)2 ( 高)121 简并度舒 24426 法向质量 0 9 1 6 0 1 9 0o 3 1 5 o 1 9 0 0 2 5 8 ( n o r m a lm a s s ) ， 态密度质量 o 1 9 00 4 1 7o 3 2 4o 4 1 7 0 3 5 8 ( d e n s i t y o f - s t a l em a s s ) 州函 舒是能谷的简并度，m d t 是态密度有效质量，月b ) 是费米- 迪拉克( f e r m i d i r a c ) 分布函数： 朋) = 而丽i 1 骊丽 e 是电子能级，点矗是电子的准费米能级，岛是玻尔兹曼常数， ( 2 2 ) 式中的积分结果为： 0 = 2 d , k b ti n 1 + e x p ( ( 易一e ) k r ) 】 总的反型载流子的浓度分布： ( 2 4 ) 丁是绝对温度。 ( 2 5 ) 门( z ) = 际刮 ( 2 6 ) i ， 求解薛定谔方程( 2 1 ) 需要知道电势分布，而电势的分布妖x ) 则需要通过求 解泊松方程得到，这样，求解薛定谔方程和泊松方程是耦合在一起的。 2 2 一维薛定谔方程和泊松方程的自洽求解 典型的自洽求解薛定谔和泊松方程的过程如图2 2 所示【3 5 】。当疗( x ) 和妖x ) 同时满足薛定谔方程和泊松方程时，换句话说，当连续两次迭代得到的截x ) 值之 差小于某个预先设定的值时，这个循环迭代的过程才会停止。 为清楚起见，我们把一维薛定谔方程，泊松方程和载流子浓度的表达式重新 列出。一维薛定谔方程为： 一差嘉唰卜m 吣， ， 边界条件： 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 求解薛定谔方程( 2 1 ) 式， 得到本征能量和波函数， 然后利用( 2 6 ) 式计算载 流子浓度力( x ) 将叫x ) 代入泊松方程求解 新的西( x ) 图2 2 自洽求解薛定谔和泊松方程的流程图。 当x = 0 和x - ) 一时，”= 0 扳x ) 由泊松方程给出： 争= 一掣一q 。i - n 。+ 一m 州垆酬( 2 8 ) 出。凼占。l 。4 j 边界条件： 当x = 0 时，= 杰，掌：一最a x 当x 一时，妒：掣：0 式中，是电场强度， 0 是电离施主杂质浓度，：是电离受主杂质浓度，p 和疗 分别是空穴和电子浓度，蠢是表面势，f s 是表面电场强度。对于p 型衬底 n m o s f e t ，量子理论下得到的反型层载流子浓度为： 玎( x ) = 2 r p 1 i l 【1 + e x p ( 一( 易一上) 如r ) 】i 嵋( x ) l ( 2 9 ) 运用有限差分法，在一维均匀网格下( 而= ( f - 2 ) 血，= 1 2 ，n ，由s i 0 2 s i 界 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 回处瑁同s i 体冈j ，缸代表格点删跑，n 是梧点思裂，记( 而) 2 ”，- 6 标l 代 表第1 个节点。则薛定谔方程可写成： 一菩丛挚喇”，：砜 ( 2 l o ) 2 ( 血) 2 “。” 移项并化简得 ，一。一( 2 一三竺量 今堕口旃 ，+ ，q = 一三竺生喜全生互， 记暑= 一兰! 生竽，及甲。( x ) = a 、王，( x ) = 以蜃、王，( x ) 系数矩阵a 是一个三对角阵， a = ，则可以将( 2 1 1 ) 式写成矩阵形式： 一( 2 + 乃g 磊) 1 1 一( 2 + 以q 晚) 1 0 o 1 一( 2 + 4 q o 一。) 1 1 - ( 2 + 丑g 九) ( 2 1 2 ) 另外需要确定边界条件，一方面位于s i 衬底深处的波函数为零： 甲，( ) = 0 ( 2 1 3 ) 另一方面在s i 0 2 s i 界面处波函数也为零： 、壬，( 0 ) = 0 ( 2 1 4 ) 令咖和矗足够大就可以满足边界条件( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式，这可以理解为电子 被限制在一个两边均为无穷势垒高度的势阱中。 对于泊松方程，采用类似于求解薛定谔方程的一维网格节点( 薯= ( ，一1 ) ，缸， i = 1 2 m 。r e n ) ，用，表示衔p ，则泊松方程可写成如下差分形式： 1 2 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 皆= _ 旺 p c 谚，= g ( 一虬+ 番+ m e 刮 一荨睇c x ) j ) 。 这是一个非线性方程，首先需要对其进行线性化。任意给定一个矿，的初猜值 ( 如【o0 o 】) ，可以得到0 ”，从而( 2 1 5 ) 式可以写为： 虹黑粤：。， ( x ) 2 。 ( 2 1 6 ) 注意： ( 2 1 6 ) 式在边界点x i ，x m 处并不适用，需要运用其他的差分方法。 如在x l 点处，利用一阶导数，运用前向差分( f o r w a r dd i f f e r e n c e ) 公式： 塑每竽盟：o 。) ( 2 1 7 ) ( x ) 。 若记o ( x ) = 其中 则线性方程组可以写成矩阵形式： b = k b = k = ( a x ) 2 o o 2 l ( 2 ，1 8 ) 业屯 一 l i 坼 中其 1，j 旃晚；屯 埘1。，。，。k 之 l 之 2 d 墨血 一：坐2 掣；砰 广ql 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 方程( 2 1 8 ) 式可以利用数值迭代法求解，如超松弛s o r 方法，或者牛顿一拉 夫森( n e w t o n - r a p h s o n ) 方法。 2 3 三角势阱近似 自洽求解薛定谔和泊松方程的主要困难在于两个微分方程耦合在一起，求解 过程需要反复迭代，因此效率很低。而利用三角势阱近似可以求得薛定谔方程的 解析解，并且具有明晰的物理意义。本文的工作正是基于三角势阱近似开展的。 假设m o s f e t 表面反型层能带弯曲( 或电势分布) 为三角形，如图2 3 所 示： 鼬，- ：x 芽 眩 l 一 0， 图2 3 m o s f e t 表面反型层的三角势阱近似。e l l 和e 1 2 为电子在反型层中能级 的相对位置示意图。 此时薛定谔方程( 2 7 ) 式有解析解，并由a i r y 函数【3 4 】【3 6 】给出： 嘴，= ( 学) 6 网1 鹏， 岛= ( x 告 ( 学) “3 铲( 一矧( 学厂 1 4 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 其中a7 ( 善) = a a a 善。 同时，电子的本征能级，即第i 个能谷中的第，个子能带的电子能级易可以 表示为表面电场强度p s 的函数，即： e = p ；砖婚 【2 。2 3 ) 岛= ( 射3 孰耕3 j = 1 , 2 , 3 - - 旺：4 ， 图2 4 画出了由三角势阱近似得到的前6 个子能带的相对位置及其所对应的分布 几率的示意图： 艟 出 一 糌 更 椎 求 犀 乏 一 删 鉴 ， e 抬、f 7 吣、 一 ? 屺e l 令4 厂 。 念 。 笋i - _ _ - _ f _ 距离【衄】 图2 4 表面电场强度1 g m v c m 时，由三角势阱近似得到的电子各子能级的能量 大小，和电子在各子能带上空间分布几率函数随位置变化的关系示意图。 有关三角势阱近似求解表面势和反型层电子面密度的有效性和适用性的讨论，可 以参考文献 3 7 1 ，在积累区和反型区，运用三角势阱近似均可以准确求解表露势。 2 4 本章小结 本章简单回顾了描述垂直于沟道方向量子力学效应的一维薛定谔方程，及自 第2 章量子力学效应的基本物理概念和理论研究方法 洽求解薛定谔和泊松方程的方法，然后简述了利用三角势阱近似求解薛定谔方程 的方法及重要结论，为论文后面的工作做好铺垫。 1 6 第3 章量子表面势方程 第3 章量子表面势方程 ( q u a n t u ms u r f a c ep o t e n t i a le q u a t i o n ) 在经典理论下，表面势可以利用数值迭代方法或近似的解析方法求解表面势 方程( s u r f a c ep o t e n t i a le q u a t i o n , s p e ) 得到。在考虑量子力学效应时，目前国际 上通常采用禁带宽度变宽( b a n d g a pw i d e n i n g ) 模型来对经典s p e 方程进行修正， 这是一种半经验化的方法，缺乏物理基础和预见性，当衬底掺杂浓度和栅氧化层 厚度发生变化时，模型需要重新选择合适的拟合参数。如何从基于物理的角度将 量子力学效应引入到表面势模型中，这正是本文工作的重点。本章首先简单回顾 经典s p e 方程的求解方法，然后推导量子表面势方程( q u a n t u ms p e ，q s p e ) ， 并将其求解结果与自洽求解的结果和实验测量的数据进行比较，对模型的准确性 进行验证。 3 1 经典表面势方程( c l a s s i c a ls p e ，c s p e ) 本节将对经典表面势方程的推导和求解做一个简单的回顾。重写泊松方程： 乏铲= 一_ d f f ( x ) = 一号 孵一孵+ p ( x ) 一刀( x ) ( 3 1 ) 出2凼 l 4 4 一 j “ 边界条件： 当x = o 时，妒= 蟊，掣：一层 当x 一时，矿：皇兰：0 其中孵一孵= n o - p o ，和p o 是体内平衡电子和空穴浓度，对于掺杂浓度为m 的p 型衬底，和p o 分别等于砰虬和n a 。在经典理论下，载流子浓度p 和t 由玻尔兹曼分布决定【3 8 】： p = p o e 一咖 ( 3 2 ) 行= n o e ( # - r 。枷( 3 3 ) 其中，熟电势谚= k b t q ；是沟道电压，也叫准费米势。 1 7 第3 章量子表面势方程 对( 3 1 ) 式积分一次可以得到： = 警黔+ 纠+ 孙俳，一丢 ( 3 4 ) 其中，f 射和戎x ) 符号相同。 在s i 0 2 s i 界面即x - - o 处，运用高斯定律，可以得到外加栅压，