小波分析在金融时间序列分析中的应用【优秀论文】 .pdf

分类号0 1 7 5 2 6 u d c5 1 2 密级公开 学号0 9 1 2 0 6 东南大学 硕士学位论文 小波分析在金融时间序列分析中的应用 研究生姓名 导师姓名 林侠萍 陈平教授 申请学位级别 理学硕士学科专业名称概率论与数理统计 论文提交日期2 0 1 1 年1 2 月i 0 日论文答辩日期年月 日 学位授予单位东南大学学位授予日期年月 日 答辩委员会主席 论文评阅人 2 0 1 1 年1 2 月1 2 日 i i i i i i m i i ii i i i l u l i ii lli i h i l y 2 1 8 8 0 8 5 n i n1 i n a n e l a lti m es e r l e sa n a l y s i s ad i s s e r t a t i o n s u b m i t t e dt os o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y l i nx i a p i n g s u p e r v i s o r p r o f c h e np i n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y d e c2 0 1 1 一 学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标明和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二 关于学位论文使用授权的说明 签名 丛呼嗍型啤 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊 登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权东南大学研究生院办理 签名 师签名 绰日期 幽 小波分析在金融时间序列分析中的应用 研究生 林侠萍 导师 陈平教授 东南大学数学系 南京 中国 2 1 0 0 1 8 摘要 本文首先阐述了研究小波和金融时间序列的目的和意义 对小波方法的基本理论和金融 时间序列模型进行了综述 并对小波方法在金融时间序列领域的研究现状进行了分析 其次 本文给出了小波分析在金融时间序列中的四种应用 主要体现在小波去噪 小波 拟合 小波检测异常点 小波预测等方面 给出了相应的理论方法以及算法步骤 并进行了 相应的数值模拟 小波去噪方面给出了阈值的处理方法以及阈值选取 尺度和小波类型的选 取方法 通过数值模拟对三种不同阈值处理方法以及四种阈值选取方式去噪效果进行比较 得出给定阈值去噪效果较好 s u r e 和m i n i m a x i 原理的阈值选择原则在数据的高频信息中可 以将弱小的信息提取出来的结论 小波拟合方面利用s a s 软件对上证指数进行了a m m a 模 型拟合 也利用m a t l a b 对其进行小波拟合 并对两者的拟合效果进行比较 得出小波拟合 比a r i m a 模型拟合效果略好的结论 对小波异常点检测方面进行了数值模拟 选取了五种不 同的小波分别进行了单个异常点 多个异常点以及成片异常点的检验效果 说明了小波在检 验单点 多点 成片异常点是具有一定效果的 而且给出了小波的选取方式 h a a r d 波在单 点异常点检验的效果较好 而对于多点和成片异常点的检验 选择c 抚门铂b o r d 波更好 在小 波预测方面对上证指数分别进行了a m m a 预测和小波预测 并将预测值与真实值比较 得出 了小波预测比a m m a 预测更接近真实值的结论 再次 本文还将小波方法应用于时下比较热门的话题一股票 c p i 房价 分别对深证综 指收盘价 c p i 住宅销售价格指数进行了实例分析 分别对其进行小波拟合 小波异常点检 验以及小波短期预测 并针对异常点结合实际情况给出相应解释 根据预测情况给出相应的 建议 关键词小波 金融时间序列 去噪 异常点 预测 w a v e l e ta n a l y s i si nf i n a n c i a lti m es e r l e s c a n d i d a t ef o rm d l i nx i a p i n g s u p e r v i s o r p r o f c h e n p i n g a n a l y s i s d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n a n j i n g p r c h i n a a b s t r a c t t h i sa r t i c l ef i r s te l a b o r a t e dt h er e s e a r c hp u r p o s ea n ds i g n i f i c a n c eo ff i n a n c i a lt i m es e r i e s a n dw a v e l e t r e v i e wt h eb a s i ct h e o r yo ft h et h ew a v e l e tm e t h o da n df i n a n c i a lt i m es e r i e s m o d e l s a n a l y s i st h ep r e s e n ts i t u a t i o no ft h er e s e a r c hi nt h ef i e l do ft h ew a v e l e tm e t h o di n f i n a n c i a lt i m es e r i e s s e c o n d l y t h i sp a p e rg i v e sf o u ra p p l i c a t i o n so f t h ew a v e l e ta n a l y s i si nf i n a n c i a lt i m es e r i e s w h i c ha r em a i n l ye m b o d i e di nt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e td e n o i s i n g w a v e l e td e t e c t i o no fo u t l i e r s w a v e l e tf i t t i n ga n dw a v e l e tf o r e c a s t i n g i na d d i t i o n t h i sa r t i c l eg i v e st h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r y m e t h o da n ds t e p so ft h ea l g o r i t h m a n dt h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o n w a v e l e t d e n o i s i n gi sat h r e s h o l dp r o c e s s i n gm e t h o da n dt h r e s h o l ds e l e c t i o n ag i v e nt h r e s h o l dd e n o i s i n g d e n o i s i n ge f f e c ti sb e t t e r s u r ea n dm i n i m a x it h e o r yt h r e s h o l ds e l e c t i o np r i n c i p l ei nd a t a h i g h 行e q u e n c yi n f o r m a t i o n u s et h es a s s o f t w a r et o t h es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xo fa r i m a m o d e lf i t t i n g a l s ou s e sm a t l a bt h ew a v e l e ta p p r o x i m a t i o n a n dt h ew a v e l e tf i t t i n gi sb e t t e r t h a na r i m am o d e lf i t t i n g t h ep a p e rs e l e c t sf i v ed i f f e r e n tw a v e l e t st ot e s tr e s u l t s i ts h o w s t h a tt h ew a v e l e ti nt h es i n g l et e s tp o i n t m u l t i p o i n t t r a c t so fo u t l i e r sh a sc e r t a i ne f f e c t h a a r w a v e l e ti ns i n g l ep o i n to u t l i e rt e s t si sb e t t e r a n df o rm u l t i p l ep o i n ta n daa b n o r m a lp o i n t t e s t s e l e c t i n gc o f 5 0 rb o r 4 4w a v e l e ti sb e t t e r i nw a v e l e tf o r e c a s ti n d e xo fs h a n g h a is t o c k w e r ea r i m ap r e d i c t i o na n dw a v e l e tf o r e c a s t a n dt h ef o r e c a s t i n gv a l u e sc o m p a r e dw i t ht r u e v a l u e s t h ew a v e l e tp r e d i c t i v ei sm o r ec l o s et ot h er e a lv a l u et h a na r i m ap r e d i c t i o n a tl a s t t h i sp a p e ra l s oa p p l i e sw a v e l e tm e t h o dt ot h ec u r r e n th o tt o p i c s t o c k c p ia n d h o u s ep r i c e s r e s p e c t i v e l yo nt h es h e n z h e nc o m p o s i t ei n d e xc l o s i n gp r i c e c p i r e s i d e n t i a l s a l e sp r i c ei n d e xf o rc a s ea n a l y s i s s e p a r a t e l yc a r r i e so nt h ew a v e l e t w a v e l e to u t l i e rt e s t sf o r f i t t i n ga n dw a v e l e ts h o r t t e r mf o r e c a s t a n da i m e da tt h ea b n o r m a lp o i n tc o m b i n e dw i t ht h e a c t u a ls i t u a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n ge x p l a i n a c c o r d i n gt op r e d i c t i o nt h ec o r r e s p o n d i n g k e y w o r d s w a v e l e t f i n a n c i a lt i m es e r i e s d e n o i s i n g o u t l i e r p r e d i c t i o n 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 目录 引言 研究背景 研究现状 本文工作 小波的基本理论 小波的历史 小波的基本理论 2 2 1 连续小波变换 2 2 2 离散小波变换 2 2 3 几种常见小波 第三章金融时间序列的研究方法 3 1 金融时间序列的特点 3 2 平稳时间序列和非平稳时间序列 3 2 1 线性平稳时间序列 3 2 2 非平稳金融时间序列 3 3 非线性时间序列分析 3 3 1 双线性模型 3 3 2 门限自回归模型 r a r 3 4 金融时间序列中波动性的度量 3 4 1 a r c h 模型 3 4 2g a r c h 模型 第四章小波方法在金融时间序列中的应用 4 1 小波去噪 4 1 1 小波去噪方法理论 4 1 2 阈值的处理方法和阈值选取 4 1 3 尺度和小波的选取 4 1 4 去噪效果数值模拟 4 2 小波拟合 4 2 1 小波拟合的理论原理 4 2 2 数值模拟 4 3 小波异常点检验 4 3 1 异常点的类型 1 1 1 3 4 4 4 5 5 6 8 8 9 9加加加n n u n 培坞埒屿m 加加俎船弱 4 3 2 异常点的检验方法 4 3 3 小波检验异常点 4 3 4 异常点检验数值模拟 4 4 小波预测 4 4 1 小波预测的理论原理 4 4 2 预测效果数值模拟 第五章 5 1 5 2 5 3 第六章 6 1 6 2 实例分析 股票数据实例分析 c p i 数据实例分析 住宅销售价格指数数据实例分析 结论与展望5 3 结论 5 3 展望 5 4 致谢 参考文献 5 5 5 6 7 0 4 8 8 8 1 1 6 0 2 3 3 3 3 3 奎4 4 5 第一章引言 1 1 研究背景 小波方法是一个比较新的研究课题 以其良好的时频局域化特征 具有简单 随意 灵活 的特点 在图像处理 模式识别 地质勘探 医学成像诊断 数值计算等各个方面都得到广泛 的应用 它包含了极其丰富的内容并且具有广泛的应用潜力 近年来小波分析开始被引入金 融领域 作为处理经济金融时间序列数据的工具 金融时间序列特指各种不同金融产品的时间序列 比如汇率 基金 股票价格等 金融时 间序列是一种特殊的时间序列 它与金融市场和人类的各种经济活动紧密相关 与其它的时 间序列相比 金融时间序列具有以下特征 1 信噪比低 信噪难以有效分离 2 具有显著的非平稳特性 3 丰富的潜在周期特性 4 样本数据少且维数高 时间序列分析方法是数理统计的一个重要分支 长期的研究已经奠定了其坚实的理论基 础 但是传统的时间序列分析方法大多数单独地集中于时间域或频率域 并且通常假设数据 序列是平稳且不存在异方差的 但是在实际中 金融时间序列是十分庞杂的 并且通常表现 出较强的非平稳性和长记忆性 这使得许多传统的单独集中于时间域或频率域的研究分析方 法已经不再适用 此时 利用时频联合分析方法分析金融时间序列将会起到更加精准的效果 本文正是想基于小波在时频域上的良好特性来分析金融数据 并通过实证研究说明小波变换 在金融时间序列分析方面具有很大的优越性 1 2 研究现状 金融时间序列都表现出较强的非平稳性和长记忆性 小波对非平稳序列的时频两域分析 能力 使其能够广泛地应用于金融时间序列的建模和波动分析中 目前 小波方法在金融时间序列方面的应用主要集中在以下几个方面 一 小波拟合和预测 将小波变换运用到时间序列的非平稳过程分析中 并进行数据拟合 小波分析是一种新 的信号分析处理技术 它作为一种信号的时间一尺度分析方法 在时域和频域上同时具有良 东南大学硕士学位论文 好的局部化性质 能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长 聚焦到信号的任意细节 应 用到时间序列分析中可以较好地分离周期项 趋势项和随机项 对不同尺度成分进行分析预 测 在处理非平稳时间序列中体现出很大的优越性 r a m s e y p e r c i v a l 和g e n c a y 将小波分析 引入经济和金融分析中 分别利用小波方差 小波协方差和交互协方差等概念 讨论金融序 列的波动和相关行为 徐科 徐金梧等将小波分析结合自回归模型进行相关预测 周景宏 郗 伟东等应用小波分析于股价序列进行了研究 二 小波去噪 利用小波变换的去噪原理去除时间序列中的噪声影响 只考虑主体发展趋势 对其进行 平滑处理 小波变换之所以在去噪方面取得成功 在于它的几个特点 1 低熵性 小波系数的 稀疏分布使得信号变换后的熵降低 2 多分辨率性质 由于采用了多分辨率的方法 可以非 常好的刻画平稳特性 如边缘 尖峰 断点等 以便于特征提取和保护 3 去相关性 因为小 波变换可以对信号进行去相关 且噪声在变换后趋势减弱 所以在小波域比在时域更利于去 噪 4 小波基选择的多样性 由于小波变换可以灵活选择变换基 所以不同应用场合选用不同 的小波函数 以获得最佳的处理效果 三 小波检验异常点 分析还可以用于检测数据序列的奇异点 并对其进行较为准确的定位 利用小波变换分 析信号的奇异点时 关键是利用突变信号与一般信号能量分布在不同频带而对奇异点定位 利用能量的不同分配情况来鉴别奇异点 因而 利用小波方法检测信号奇异点的方法为 对 信号进行多尺度分析 小波系数的模极大值即对应信号的突变位置 从而通过模极大值的确 定来检测奇异点位置 四 小波对高频数据分析 利用小波方法对金融时间序列的高频数据进行研究 高频数据分析与市场微观结构理论 是紧密联系在一起的 证券市场微观结构即证券市场的交易机制 是指证券交易价格形成与 发现的过程与运作机制 市场微观结构理论主要包括两大类内容 一是关于价格发现的模型 及实证研究 二是关于市场结构与设计方面的理论研究与经济研究 证券流通市场的微观结 构将影响市场价格波动 流动性以及潜在的投资者数量和交易量 这正是市场微观结构的意 义所在 而高频数据分析是理解市场微观结构极为有效的手段 目前小波分析在金融领域运用也存在着一些问题 归纳如下 一 小波分析在数学 工程等领域里运用的多 在金融领域里运用的较少 二 小波分析在金融时间序列分析的研究范围主要集中于理论研究 实际的应用研究还比较 少 2 东南大学硕士学位论文 三 小波分析与简单的时间序列模型相结合的较多 对较复杂一点的非平稳模型 非线性模 型 波动模型的研究较少 四 小波分析在应用上对小波类型的选取 尺度的选取上都没有一定的准则 本文将针对这些问题 将小波分析运用到金融时间序列的分析上来 对一些较复杂的时 间序列模型如非平稳模型 非线性模型 波动模型等进行研究 在小波类型的选取等方面作 相应的研究 并做一些实例分析 1 3 本文工作 第一部分首先阐述了小波方法的历史和基本理论 小波分析的思想来源于伸缩和平移 小波变换在时域和频域同时聚集到分析对象的任意细节 具有简单 随意 灵活的特点 又阐 述了连续小波变换和离散小波变换以及几种常见的小波函数 第二部分对金融时间序列的模型进行了回顾 首先分析了金融时间序列的特点 接着回 顾了经典的时间序列模型 平稳的a r m a 模型 非平稳的a r i m a 模型 非线性的有双线性模 型 门限自回归模型 还有刻画波动性的a r c h g a r c h 等模型 第三部分给出了小波分析在金融时间序列中的应用 指出小波分析在金融时间序列中的 应用主要体现在小波去噪 小波拟合 小波检测异常点 小波预测等方面 给出了相应的理论 方法以及算法步骤 并进行了相应的数值模拟 1 在小波去噪方面 研究了阈值的处理方法以及阈值选取 尺度和小波类型的选取等 问题 通过数值模拟对三种不同阈值处理方法以及四种阈值选取方式去噪效果的进行比较 2 小波拟合方面利用s a s 软件对上证指数进行了a m a 模型拟合 也利用m a t l a b 对 其进行小波拟合 并对两者的拟合效果进行比较 3 在异常点检测方面进行了数值模拟 选取了五种不同的小波分别进行了单个异常点 多个异常点以及成片异常点的检验 并对检验效果进行了比较 给出小波的选取方式比较 4 在小波预测方面对上证指数分别进行了a m m a 预测和小波预测 并将预测值与真 实值比较 得出了小波预测比a m m a 预测更接近真实值的结论 第四部分进行实例分析 选取了股票数据 c p i 数据以及住房价格指数数据 分别对其进 行了小波拟合 小波异常点检验 小波预测 最终给出预测结果 并结合实际进行了一定的分 析 并得到的检验结果和实际形势相结合 得到了很好的解释 第五部分给出本文的结论 提出一些存在的问题和展望 3 第二章小波的基本理论 2 1 小波的历史 小波方法是一个比较新的研究课题 它包含了极其丰富的内容并且具有广泛的应用潜力 由此成为许多学科应用中一个颇有价值的研究工具 经过长期的研究和探索 小波方法已经 成为一门多学科综合交叉的研究领域 同时也已经形成了一个较为完整的理论和实践系统 小波最先由法国地质学家j m o r l e t 和a g r o s s m a n n 在分析地质数据时引进的 y m e y e r s m a u a t 以及i d a u b e c h i e s 等人对小波理论的发展都作出了非常重要的贡献 至上世纪9 0 年代 初期 经典的小波理论基本成熟 目前国际上的重点已转向小波的推广和应用 1 8 8 2 年 法国数学家f o u r i e r 从热力学的角度提出了f o u r i e r 分析方法 小波分析是在傅里 叶分析的基础上发展起来的 一方面包含了丰富的数学内容 可以看成调和分析近半个世纪 来的工作结晶 另一方面由于小波变换在时域和频域同时聚集到分析对象的任意细节 因而 具有简单 随意 灵活的特点 小波变换虽然是在傅里叶变换的基础上发展起来的 但是与传统的傅里叶变换相比 它 是一种时间尺度的局域变换 能够同时在时域和频域进行局域化分析的方法 小波分析的思 想来源于伸缩和平移 1 9 1 0 年 a l f r e dh a a r 给出了h a a r t j 波的构造 但由于不光滑 理论上 没有引起重视和发展 1 9 3 6 年 l i t t l e w o o d p a l e y 建立了i 厂p 理论 即提出了对频率进行分划并 证明其本质上不影响函数的形状和大小 1 9 8 1 年 法国地质物理学家m o r l e t 首先提出平移伸 缩的小波公式 1 9 8 6 年 m e y e r 证明了一维小波基的存在 构造了第一个真正的小波基 国际 上从此开始形成研究小波的热潮 1 9 8 8 年 m o r l e t 和m e y e r 合作提出了多分辨分析的框架 近 年来高维小波理论也逐步被人们所关注 在实际应用中 特别是在模式识别 图像处理 信号处理及众多非线性科学等领域 小波 分析被认为是近年来的重大突破 如今的小波理论正日趋完善 并越来越广泛的运用于各个 领域之中 因此在金融时间序列等方面必有相当广阔的应用前景 2 2 小波的基本理论 小波 w a v e l e t 即小区域的波 是一种特殊的长度有限 平均值为 的波形 它有两个特 点 一是 小 即在时域具有紧支性或者近似紧支性 二是正负交替的 波动性 也即直流分量 4 东南大学硕士学位论文 为零 2 2 1 连续小波变换 设f t l 2 r 皿 亡 是容许性小波 则称 嘲 0 b 击e 弛 譬础 0 2 1 为函数f t 的连续小波变换 其中a 为尺度因子或伸缩因子 b i j 平移因子 在小波分析中 利 用联合时间尺度函数分析信号 通过平移和伸缩巧妙地构造小波基 可以同时进行时域和频 域分析 由连续小波变换的定义可知 小波变换和f o u r i e r 变换一样 都是一种积分变换 我们 称 w t a b 为小波变换系数 连续小波的性质 性质1 叠加性 若f t 入l g t 入2 t 则有 w t a n b a l t g o b 入2 t h o b 2 2 这也是线性变换的基本性质 性质2 时移不变性 若 t j w t a n 6 则 f t 一丁 h w t a n b 一7 2 3 时移不变性是一个很好的性质 在实际应用中 尽管离散小波变换要用得广泛一些 但在需 要有平移不变性的情况下 离散小波变换是不能直接使用的 性质3 伸缩共变性 若 t 卜j w t f a 6 则 朋 去 w t c a c b c 0 2 4 性质4 冗余性 连续小波变换中存在信息表述的冗余度 表现为由连续小波变换恢复原信号 的重构公式不是唯一的 小波变换函数 6 存在许多可能的选择 尽管冗余的存在可以提 高信号重建时计算的稳定性 但增加了分析和解释小波变换的结果的困难 2 2 2 离散小波变换 在离散小波变换中 我们把连续小波变换中的参数a b 都取离散值 取a 2 j b k 2 j 从 而把连续小波变换变成离散小波变换 即 皿丘七 2 一 皿 2 一 z 一七 歹 k z 2 5 5 东南大学硕士学位论文 在离散小波中 还有一类特殊情况 即仅在尺度上进行二迸制离散 而位移仍连续变化 称之为二进小波 其表达式为 皿2 啪 2 一喜皿 等 2 6 2 2 3 几种常见小波 1 h a a r t 波 h a a r 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数 也是最简单的一个 小波函数 它是支撑域在t 0 1 范围内的单个矩形波 h a a r 函数的定义如下 fl 0 t 互1 2 7 皿 t 一1 互1 t 1 2 7 7 o 其他 2 7 h a a r t 波在时域上是不连续的 所以作为基本小波性能不是特别好 但它也有自己的优 点 如 计算简单 t 不但与皿 t d 矧正交 j r 皿 t 皿 2 j 亡 出 o 而且与自己的整数位移正交 即j 皿 霉 t k d t 0 k z 因此 在a 的多分辨率系统中h a a r t j 波构成一组最简单的正交归一的小波族 2 d a u b e c h i e s d b n d 波 d a u b e c h i e s d x 波是由世界著名的小波分析学者i n r i dd a u b e c h i e s 构造的小波函数 我们一 般简写成d b n 是小波的阶数 小波m 亡 和尺度函数妒 t 中的支撑区为2 一l t 的消失矩 为 除n 1 外 d 6 不具有对称性 a p 4 e 线性相位 d 6 没有明确的表达式 除了n 1 外 但转换函数h 的平方模是明确的 令p y 七n o i 嘴一1 七y 七 其中 嘴一1 七为二项式系数 则有 i 幻 u 1 2 c s 2 苦 尸 s i n 2 等 式中 低0 击 答1k e j 柚 d a u b e c h i e s d 波具有以下特点 1 在时域上是有限支撑的 即皿 t 长度有限 而且其高阶原点矩f t p 皿 t d t o p 0 一 n 值越大 的长度就越长 2 在频域上 u 在u o 处有 阶零点 3 皿 t 和它的整数位移正交归一 即 皿 t 皿 t k d t 靠 6 东南大学硕士学位论文 4 小波函数 t 可以由所谓 尺度函数 t 求出来 尺度函数 亡 为低通函数 长度 有限 支撑域在t 0 一 2 n 一1 范围内 3 s y m l e t s y m n t j 波 s y m l e t t j 波函数是d a u b e c h i e s 提出的近似对称的小波函数 它是对d b 函数的一种改进 s y m l e t s t j 波系通常表示为s y m n n 2 3 8 4 c o i f l e t c o i f n t j 波 根据r c o i f m a n 的要求 d a u b e c h i e s 构造 j c o i f l e t t j 波 它具有c o i f n n 1 2 3 4 5 这 一系列 c o i 丑e t 的小波函数皿 t 的2 阶矩为零 尺度函数 t 的2 一1 阶矩为零 皿 亡 和咖 t 的 支撑长度为6 n 一1 c o i f l e t 挑 t 和多 具有比d b n 更好的对称性 5 b i o r t h o g o n a l b i o r n r n d t j 波 为了解决对称性和精确信号重构的不相容性 引入了双正交小波 称为对偶的两个小波 分别用于信号的分解和重构 双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾 令信号 在分解中用小波皿 r q 七 t 皿j k t d t 重构时用小波皿 邢 岛 七皿拈 t j k 对偶小波皿 和皿 满足下述条件 i 皿五七 亡 皿n t d t 0 j j k k 2 8 i 咖o k 咖o 七 t d t 0 k b i o r t h o g o n a l 函数系的主要特征体现在具有线性相位性 所以它的主要应用在于信号与 图像的重构中 通常的方法是采用一个函数进行分解 用另外一个小波函数进行重构 7 第三章金融时间序列的研究方法 3 1 金融时间序列的特点 金融时间序列特指各种不同金融产品的时间序列 比如汇率 基金 股票价格等 金融时 间序列是一种特殊的时间序列 它与金融市场和人类的各种经济活动紧密相关 与其它的时 间序列相比 金融时间序列具有以下特征 1 信噪比低 信噪难以有效分离 金融时间序列的波动性一般比较强 即使市场没有任何新的信息到来 往往也表现出随 机波动特性 因而对这种波动可以将其看作 噪声 信号 噪声 的存在一方面会淡化原非 线性动力系统的各种周期特性 即降低确定性的显著性 另一方面又可能提供一些 虚假周 期 从而严重影响预测的效果 因此在对金融时间序列进行分析和预测之前 有必要先对其 进行去噪处理 然而金融时间序列本质上具有非平稳 非线性 信噪比低的特点 采用传统 的去噪方法存在很多不足 小波变换是近年来崛起的联合时频分析中应用最为成功的一种方 法 可以有效减低和抑止外部噪声 特别是测量噪声 但对于内部噪声则存在诸多问题 因此 金融时间序列中的噪声检测和去除问题仍然有待解决 2 具有显著的非平稳特性 金融市场是一个由自然 社会 心理 政治 经济等很多因素作用的复杂系统 因而作为 其外在表现的金融时间序列具有非平稳 非线性 信噪比低等一些不同于许多其它一般时间 序列的特性 其中非平稳性是最为显著的特征之一 随机过程的平稳性是指其统计特性不随 时间而变化 一般是指一种广义平稳性 即过程的一阶矩 期望值 和二阶矩 协方差 与时间起 点无关 平稳性条件是许多时间序列模型建模的基础条件 但由于影响金融市场的政治 经 济 文化环境等随时问的变迁 金融时间序列的一阶矩 二阶矩不可能维持不变 因而通常表 现为明显的非平稳性 3 丰富的潜在周期特性 金融时间序列是人类在金融市场活动的结果 与人类活动的各种周期紧密相关 因此在 金融时间序列中隐含着多种多样的可见或者不可见的金融周期 如 周末效应 或者 日历效 应 等 这些周期特性在很大程度上会影响金融时间序列的分析和预测 4 样本数据少且维数高 金融时间序列的长度受到人类收集数据手段的限制 通常数据量较少 但是由于金融市 场这个复杂的系统在多个方面影响着人类的生活 不同的研究学者可以根据自己的需要选择 8 东南大学硕士学位论文 不同的观察点来收集自己感兴趣的时间序列 如证券指数就有开盘 最高 最低 收盘 成交 量 成交额 5 日移动平均 1 0 日移动平均 2 0 日移动平均 3 0 日移动平均 指数化移动平均等 等 金融时间序列具有明显的高维特征 广义地讲 将金融随机变量按时间的先后顺序排列起来称为金融时间序列 从现实世界 的角度看 金融时间序列就是指在一定时期内按时间顺序排列的金融随机变量 若假定变量 的排序总是按时间先后排列的 那么金融时间序列最显著的特征就是其与 时间 紧密相联 一般地 时间序列分析方法通常分为两种 频域分析和时域分析 频域分析方法 又称谱分析方法 其所依据的原理是 假设任何一种无趋势的时间序列 都可以分解成若干不同频率的周期波动 主要利用傅里叶变换和小波方法 将时间序列分解 成不同频率的和 从而分析控制时间序列的发展 时域分析主要研究时间序列的统计规律 由此建立适合的模型并进行进一步的分析预 测 时域分析可分为线性方法和非线性方法 线性方法的代表是由b o x 和j e n k i n s 1 9 9 4 建立 的a r m a 模型 非线性方法有a r i m a 模型 若研究时间序列的波动性 还有目前被广泛应用 的a r c h 类模型 根据平稳性划分 时域分析又可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列 3 2 平稳时间序列和非平稳时间序列 3 2 1 线性平稳时间序列 在时间序列分析中 最常用到的平稳序列是线性平稳序列 它是由相互独立的随机冲击 或波动 e t t z 叠加而成 其中 t 是服从某一固定分布的随机变量 在实际的应用中 往 往采用白噪声序列来定义线性过程 其中应用最广泛的是a r m a 模型 b o x j e n k i n s 1 9 9 4 a r m a 模型 移动自回归模型 如果随机序列 f 五 可以表示为 x t 皿1 砚一1 皿2 一2 皿p x t p e t t g l e t 一1 0 2 e t 一2 口q e t 一口 3 1 9 则称随机序列 五 为a r m a p g 过程 其中p 为自回归部分的阶数 q 为滑动平均部分的阶 数 e t 为白噪声序列 a r m a 模型是比a r 和m a 模型更具有普遍意义的模型 而自回归和滑 动平均模型可以看成是它的特例 所以 a r m a p g 序列兼有a r 和m a g 的性质 a r m a 模 型在实际问题中的应用比较广泛 其模型的建立可以分为三个步骤 模型识别 参数估计 检 验 东南大学硕士学位论文 3 2 2 非平稳金融时间序列 在许多实际应用尤其是金融时间序列数据中 数据的统计特征经常表现出非平稳性 a r i m a 模型 对于非平稳时间序列 首先可以通过差分过程实现数据平稳化处理 也就是考虑轨的一 阶差分 v 甄一x t 一1 1 一l x t 3 2 将 v z 1 看成平稳序列 因此在大多数的实际处理中 非平稳序列可以通过数次差分过程变为平稳时间序列 即 建立如下的模型 西t l 1 一l d x t e 口 l 白 3 3 称同时满足上述定义的 五 为 p d q 阶自回归求和滑动平均模型 a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e d m o v i n ga v e r a g em o d e l 简记为a m m a p d q 由于该模型是i 主i b o x f l j e n k i n s 于7 0 年代初 提出的 所以又被称为b o x j e n k i n s 模型 其中 p 为自回归项 q 为移动平均项数 d 为平稳性 所需做的差分次数 如果p q o d l 时 a r i m a p d q 模型为 x t2x t 一1 g t 3 4 其中 白 表示均值为零 具有有限方差的误差项 此时该模型被称为随机游走 r a n d o mw a l l m o d e l 它能够深刻地刻画股票价格的变化过程 通常d 为0 或1 或极偶然地为2 将差分后的 序列进行a r m a 分析 依次进行模型识别 参数估计和检验实现对数据序列的分析过程 在 此之后 还可以利用该模型对序列的发展趋势进行预测 3 3 非线性时间序列分析 3 3 1 双线性模型 双线性模型最早是g r a n g e r a n d e r s e n 1 9 7 8 提出 是对arma 模型的一个推广 其 一般形式为 e p l y t 一肛 o l e t 岛玑一t 已一j 3 5 i 1i 1 其中 白 为白噪声序列 当上式最后一项系数为0 时 该模型便退化为线性a r m a p q 模型 1 0 东南大学硕士学位论文 3 3 2门限自回归模型 t a r t a r 模型是由h t o n g 于1 9 7 8 年提出的 是非线性领域中应用最多的非线性时间序列模型 之一 其定义如下 3 6 其中一o r l r 2 r t 0 啦 0 i 1 2 p 则称 为p 阶自回归条件异方差模型 记为a r c h p 以口2 表示a r c h 过程在t 时刻的条件 方差 给定随机变量z 0 z i z i m 的值 只要知道参数 o q 的值 就可以根 据砰 o l 0 a l x 1 q 2 z 冬2 o l x 2 在时刻t 1 预测时刻t 的条件方差仃 3 4 2g a r c h 模型 b o l l e r s l e v 在1 9 8 6 年提出了a r c h 模型的一个推广形式一g a r c h 模型 与a r c h 模型类 似 但是两者区别在于g a r c h 模型在条件方差方程中加入了条件方差的过去值 这一点说明 了g a r c h 模型可以更好的解释金融实证问题中的波动集聚性 一般的g a r c h 模型形式为 仃l n 玩 c r t t 盯 伽十 a i x 十 色吐j 3 8 i 1 j l 1 1 岛 l 巧 一 d扣 z 0 啦 0 岛 0 m n 分别表示过去条件方差中自回归项和滑动平均项的 阶 在金融时间序列分析中 有两类g a r c h 过程经常被用到 g a r c h 1 1 过程 g a r c h 1 1 过程是最简单的g a r c h 过程 它的条件方差函数可表示为 蠢 o o q z 五1 p 吐1 3 9 其中a o 0 乜 o z o g a r c h 1 1 一t 过程 类似于g a r c h 1 1 模型 轧的条件方差函数为 砰 q o z 乙1 卢吐1 3 1 0 但其中轧 分布 这个过程能够更好地刻画一些金融时间序列的波动特征和分布特征 1 2 第四章小波方法在金融时间序列中的应用 4 1小波去噪 去噪的实质是抑制信号中的无用部分 增强信号中有用部分的过程 在实际的金融时间序列中的数据应用过程中 所分析的数据可能包含很多尖峰和突变部 分 并且噪声也不是平稳的白噪声 对这种时间序列进行分析 首先需要做数据的预处理 将 时间序列里的噪声部分去除 提取有用的信息 对于这种数据的去噪 用传统的傅里叶变换分析 显得无能为力 因为傅里叶分析是将信 息完全在频率域中进行分析 它不能给出信号在某个时间点的变化情况 使得信号在时间轴 上的任何一个突变 都会影响信号的整个频谱 小波分析由于能同时在时频域内对信号进行 分析 具有多分辨率分析功能 所以能在不同的分解层上有效地区分信号的突变部分和噪声 从而实现数据的去噪 小波分析是近年来迅速发展起来的一门新兴学科 已经成为众多学科 共同关注的热点 目前小波分析正逐步应用在信号分析 系统控制 图像处理 量子力学 计 算识别 语音识别和合成以及故障诊断等领域 本节将研究小波分析在金融时间序列数据去 噪方面的研究 4 1 1 小波去噪方法理论 设信号 被加性噪声 污染 则观测信号表示为 x f w 从统计学的观点看 去噪是用实际上可观测到的数据x 对信号 的估计 在正交规范基b 0 t 4 3 卜州动2t o 都l t 4 3 而软阈值函数为 f z t z t 4 4 l d m z s t z z 1 t z 2 0 则j 取3 否则 取j 4 较好 二 小波的选取 不同的小波类型 对于信号的去噪效果也会有所不同 所以小波类型的选取对去噪效果 有所影响 所以要根据需要选取适合的小波类型 如何选择小波函数目前还没有一个理论标 准 但是小波变换的小波系数为如何选择小波函数提供了依据 小波变换后的小波系数表明 了小波与被处理的信号之间的相似程度 如果小波变换后的小波系数比较大 就表明了小波 和信号的波形相似程度较大 反之则比较小 1 6 东南大学硕士学位论文 4 1 4去噪效果数值模拟 4 1 4 1去噪前后效果比较下面通过模拟一个时间序列 考察小波分析对数据去噪的效果 为了明显的观察效果 产生一组正弦的数据 然后加进噪声的影响 再利用小波方法对其进行去噪处理 得到的效果如下图所示 图4 1 数据去噪前后效果比较从上图可以看出 去噪后的数据大体上基本恢复了原始数据的形状 并明显地除去了噪声引起的干扰 但是也可以看到 恢复后的数据和原始数据有明显的改变 这主要是因为在进行去噪处理的过程中所刖的分析小波和细节系数闽值不恰当所致 所以选择适合的小波 选取恰当i i 勺阈值选取方法 显得尤其重要 下面将给出三种不同闽值处理方法的比较 以及几种不同阈值选择的去噪效果的比较 1 7 东南大学硕士学位论文 4 1 4 2三种不同阈值处理方法的比较为了比较强制阈值去噪法 默认阈值去噪法 给定阈值去噪法这三种阈值处理方法的去噪效果 这里做出数值模拟 随机产生了一个平稳序列和一个非平稳序列 分别对其进行三种阈值处理方法去噪 给出去噪效果图如下 i l l越刻曲翻溢出峨蘸迸窿幽 一镘翳譬 驾脊删哩照鄹 l曩 f 肾隰 瀚1 5 嵇0 奢j 神0 5 3 8 0 潮确戢认藏谴蠹臻薅盼靛播栅 ii 一 ii i li ji i i r jjt 鬻蠹鬻鬻黧嚣蘩魏一 囊爨i 煮 r嚣攥豢 i 嚣 v 篓 i萋孽囊女i 警j饕鬻l 鬟 矗埘立 鞫工 上 j il i it妒蠛警w确嶝鬟墓霉溪鼍誉鬻 l w l 8r 1 呵丌甲矿r 豁程筵满 蘩篡篓i 一 誊黪鞲纂尊嘲t i i 潮燃i i o 鼍鞠孽誊 翱黔塑瞧簇爨i嗣1 8 东南大学硕 上学位论文 4 1 4 3四种阈值选取方式去噪效果比较为了更好地比较四种阈值选取方式去噪效果比较 以及在选取时作出更好的选择 本文随机产生1 0 0 0 个数据的白噪声序列 对其进行小波分解后r 1 4 j d 波系数 分别应用无偏似然估计原理 s u r e s q t w o l o g 阈值 启发式阈值选择 极大极小原理 m i n i m a x i 四种阈值选