（金融学专业论文）考虑再保险的分红产品红利研究.pdf

摘要 在近几年，我国寿险分红产品的发展十分迅速，并逐渐成为市场的主体。在 国内几家大公司内，分红产品业务量一般都占保费总额的一半以上，有的寿险公 司分红险的比重更高，因此，分红险经营的好坏，对寿险公司经营影响重大，对 于此类产品的研究是十分必要的。同时，再保险也随着中国加入w t o 的临近逐 步走向国际化，关于人寿产品的再保险也日趋成熟，为分红类产品也提供了再保 险的可能。 在我国，预期红利回报是影响投保人心理的重要因素，如果红利分配过低， 未能达到投保人的预期，一些投保人就会选择退保，这对保险公司是非常不利的。 同时，如果红利分配过高，超出保险公司的承受能力，就会对保险公司的经营造 成困扰。 本文就是基于这点，对于含有再保险因素的分红保单的红利分配做出研究， 试图通过最优控制理论来解决一个红利分配问题。 首先，本文建立一个关于超额再保险及红利分配的系统方程及价值方程，这 个系统方程就用一个扩散过程来描述，接着，本文又研究了这个系统方程和价值 方程的特性，为之后解答最优的价值方程做准备。 其次，找出对应动态控制理论中的h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方程，因为 h j b 方程能够将求解最优价值方程问题转化为一个解答微分方程的问题，所以本 文充分利用了这一点，先讨论了在连续型红利假设下的最优价值方程，并且解答 了最优价值方程，并由此可以得到一个最优条件下的红利分配和再保险的联动关 系。 最后，本文接着讨论了离散型红利的假设下，这个最优价值方程的形式，以 及原保险费率附加和再保险费率附加系数不同时的模型状态以及最优价值方程。 关键词：h j b 方程；再保险；扩散过程；决策向量；红利过程；二阶微分方程 考虑再保险的分红产品红利研究 a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ，t h ew i t h - p r o f i t l i f ei n s u r a n c ep r o d u c t s e x p e r i e n c e dar a p i d d e v e l o p m e n ta n db e c a m et h em a i nb o d yo ft h ei n s u r a n c ei n d u s t r y i ns o m ei n f l u e n t i a l i n s u r a n c ec o m p a n i e s ，t h et o t a lp r e m i u mo fw i t h - p r o f i tp r o d u c t si sm o r et h a nh a l fo ft h e t o t a lp r e m i u mo fa l lp o l i c i e s t h ep e r c e n t a g ei ns o m ec o m p a n i e si se v e nh i g h e r a sar e s u l t ， t h ep e r f o r m a n c eo ft h i sk i n do fp r o d u c ti sc r i t i c a lf o rl i f ei n s u r a n c ec o m p a n y , s oi ti s n e c e s s a r yt od os o m er e s e a r c h e so nt h ep r o d u c t m e a n w h i l e ，t h er e i n s u r a n c em a r k e tb e c a m e b e t t e ra n db e t t e rf o rl i f ei n s u r a n c ei n d u s t r ya n dc a no f f e rg o o dr e i n s u r a n c ec o v e rf o r w i t h - p r o f i tp r o d u c t s ，a st h ep a r t i c i p a t i o no fw t o f o rc h i n e s ei n s u r a n c em a r k e tc a m en e a r i nc h i n a ，t h ee x p e c t a t i o no ft h ep r o f i ti st h ei m p o r t a n tf a c t o rw h i c hc a l la f f e c tt h e m o t i v a t i o no fp o l i c y h o l d e r i ft h el e v e lo ft h ep r o f i ti st o ol o wt om e e tt h ee x p e c t a t i o n o ft h ep o l i c y h o l d e r , s o m eo ft h e mw i l ld e c i d et ow i t h d r a w , i th a sn e g a t i v ei m p a c to n t h ei n s u r e r v i c ev e r s a ，i ft h el e v e lo ft h ep r o f i ti sab i t h i g h e rt h a te x c e e dt h e e n d u r a n c eo ft h ei n s u r e li tw i l lb r i n gt h ei n s u r e rw i t hs o m et r o u b l e s b a s e do nt h i s ，t h i sa r t i c l et r i e dt os o l v et h ep r o b l e mo fp r o f i t d i s t r i b u t i n gb y o p t i m a lc o n t r o lt h e o r y w i t ht h e c o n s i d e r a t i o no fr e i n s u r a n c et o g e t h e rw i t hap r o f i t d i s t r i b u t i o np r o b l e m a tf i r s t ，t h ea r t i c l et r i e st oc o n s t r u c tas y s t e m a t i cf u n c t i o na n dv a l u ef u n c t i o n a b o u tt h er e i n s u r a n c ea n dp r o f i td i s t r i b u t i o n t h es y s t e m a t i cf u n c t i o ni sd e s c r i b e db ya d i f f u s i o np r o c e s s a f t e rt h a t ，t h ea r t i c l ed i s c u s s e st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ef u n c t i o n s i no r d e rf o rt h ep r o c e d u r eo fs o l v i n gt h e m s e c o n d l y , t h ea r t i c l et r i e st of i n do u tt h er e l a t i v eh j b ( h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ) e q u a t i o nf o rt h er e a s o no ft h eh j be q u a t i o nc a nt r a n s f o r mt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o n t ot h ep r o b l e mo fs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ea r t i c l et a k e st h ea d v a n t a g eo fi tt o d i s c u s st h ec o n t i n u o u sp r o f i ta s s u m p t i o na n ds o l v et h ev a l u ef u n c t i o nf i r s t l y t h er e s u l t o ft h ev a l u ef u n c t i o ni sac o m b i n a t i o nc o n t r o ld e c i s i o nb e t w e e nr e i n s u r a n c ea n dp r o f i t d i s t r i b u t i o no v e rt h ec o n d i t i o no ft h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o n l a s t l y , t h ea r t i c l et r i e st od i s c u s st h ef o r mt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o nw i t ht h e a s s u m p t i o no fd i s c r e t ep r o f i t , a n dt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o ni nt h es i t u a t i o no f d i f f e r e n tp r e m i u ml o a d i n go nt h ei n s u r e ra n dr e i n s u r e r k e y w o r d s ：h j bf u n c t i o n ；r e i n s u r a n c e ；d i f f u s i o np r o c e s s ；c o n t r o l l e dv e c t o r ； d i v i d e n dp r o c e s s ，t w i c ed i f f e r e n t i a lf u n c t i o n i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 7 乱噬、罕 日期：1 。6 年7 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 擞查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“、，”) 作者签名：同映l 争 导师签名：产伢屯 日期：2 。r 年i 月“日 日期：母乡年t 1 月日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景与问题的提出 分红类寿险产品目前是中国保险市场上的主流寿险产品，其所占的市场份额 也一直在寿险公司产品结构中居于前列。自2 0 0 0 年上海友邦公司在国内推出了第 一笔分红类寿险保单以来，各家保险公司纷纷推出自己的分红险产品，但是在投 资连结保险热销之时，分红险所受的市场关注程度远不及前者。由于投资连结保 险的销售业绩依赖于保险公司在资本市场上的运作，且在运作过程中，代理人的 过分宣传，使得很多投保人在购买保单的时仅仅关注能够从投连险中获得多高的 收益，对其所能提供的寿险保障远不及对传统寿险那样的关注。 当中国的资本市场经历了长时期的低迷之后，很多投保人逐渐发现，投连险 投资基金的收益远没有预期那样高，并且需要由投保人自己承担风险。同时，中 国保监会2 0 0 1 年发布的关于人身保险新型产品若干事项的公告明确说明，投 连产品收益波动的风险需由投保人自己承担，这样就造成了投连产品销售的大幅 度下滑。这种在情况下，分红类寿险具有传统寿险和投资连结险性质、在稳定保 障功能基础上加上部分红利的分红产品逐渐受到了市场的欢迎。 投连险销售业绩一路下滑的同时，分红险的销售却是节节攀升。根据中国人 身保险发展报告【3 9 l 的统计，2 0 0 3 年，分红类寿险比2 0 0 2 年增长4 7 5 4 ，占人身保 险保费收入的5 5 4 8 ，呈现出强劲的上升趋势。而同时，投连产品仅占人身保险 保费收入的2 4 3 。 分红险吸引投保人的关键之处在于它稳定的保障功能及合适的红利政策。它 和投连险相比，除了保障功能更加齐全外，对于客户而言，其所承担的回报风险 也没有投连险大。往往保险公司采取固定回报加浮动回报的政策，这样，一部分 投资风险就由保险公司承担了。 当然，仍有相当部分投保人关注的是保险公司的红利分配，一旦在实际保险 运作过程中出现红利不能正常分配或分红下滑的情况，就会有人选择退保。因此， 保险公司对于红利政策的选择必须非常的谨慎，过高的红利政策会给保险公司的 经营带来风险，而过低的红利政策则不利于业务的发展与扩张。 因此，保险公司一方面要严格控制分红类寿险产品的风险，另一方面又要尽 可能地安排好红利的分配。红利分配和再保险都可以由寿险公司自主地决定，那 么本文所研究的也就是一个关于这两个方面控制的一个协调，并且能够使得价值 方程达到最优。 考虑再保险的分红产品红利研究 1 2 文献综述 因为本文主要是借鉴过去许多学者对于再保险的研究，特别是在对于最优再 保险评价标准和基本模型的假设上面。这些研究的成果在方法上没有统一的体系， 但是在研究思想上基本上可以分为效用论和风险论【3 5 1 。效用论在再保险策略中主 要强调效用函数的作用，因而在研究再保险策略的时候，所作的研究就是以效用 函数为基础，那么使得一个模型的期望效用最大时的再保险安排，那就是最优的 再保险设计。 b o r c h ( 1 9 7 4 ) 1 2 】在保险经济学对效用函数用于静态的超额再保险的研究做 出了总结，并且通过求导得到使指数效用函数期望最大的停止损失再保险的最优 安排。他所做的研究是在一个静态的模型中完成的，保险期限也假设为一年，但 是他是比较系统地完成了效用函数用于再保险策略的研究。 h a n su g e r b e r ( 1 9 8 4 ) i l l 从一个链式的再保险结构，即市场中有一个原保险 人，该原保险人只和一家再保险公司有业务往来，并且只从这家再保险公司购买 再保险，而这家再保险公司又只从另一家再保险公司购买再保险，可以知道在这 个链中第一家公司将不会出售任何再保险合同( 原保险公司) 而最后一家公司将 不会购买任何再保险合同。作者的目的就是要最佳的份额和再保险费用的附加值。 作者指数效用方程和正态的索赔分布下通过求导数完成了每一个保险公司的最优 再保险安排和再保险费用的提取。 c h a r l e ss 和d r o rz u c k e r m a n ( 1 9 8 2 ) e ”1 从一个动态的框价来研究超额再保险。 文章用向量( 舅七) 的形式表示了超额损失点和再保险费用附加。“：a 口在文中表现 为复合的p o i s s o n 过程。一a 口( 1 + 6 ) 表示的是原保险费用，6 为费用附加。这篇 文章对于再保险的策略安排是从资金管理的角度来研究的，作者认为只要达到长 期的最终财富的现值期望的最大化，那么再保险就是最优的了，因此很多变量都 是围绕着财务这个变量展开的，作者没有考虑到不同朐公司对于相同财富可能的 评价有所不同，但是他们从一个动态的角度研究了再保险的策略问题，将问题随 机化了。 d ew a e g e n a e r e 和fd e l b a e n ( 1 9 9 2 ) i g l 同样也对动态的再保险模型做了研究， 他们所用的是一个比例停止损失再保险。其中有三个过程变量，一个是冠，表示 原保险人期望剩余的损失，是由总的损失减去再保险人所承担的损失决定的；一 个就是v ，表示剩余损失的方差；( 上) 。，。则表示的是最优再保险比例，它是一个 过程变量，因为在每一个时间点总会有响应的最优再保险策略，作者所应用的选 择标准使y ( 碍) 最小的( 工) 。 除了效用理论外，对于再保险策略有许多的学者是从风险控制的角度来研究 的，在建立一个模型后，通过选择再保险的策略，从而使得这个模型的某个变量 2 硕士学位论文 的期望和方差实现一定的目标。 b o u l e a u 和l a m b e r t o n ( 1 9 8 9 ) 6 l 研究两种金融工具对冲的方法，作者把这种方 法用到了两种不同的风险的对冲中来，这两种风险就是原保险风险和和再保险风 险。在证明作者所提出的原保险风险和再保险风险对冲的条件符合b o u l e a u 和 l a m b e r t o n ( 1 9 8 9 ) 中的条件以后，便可以利用b o u l e a u 和l a m b e r t o n ( 1 9 8 9 ) 的定理来 推出最优再保险策略。这种方法也能够从再保险人的角度来研究再保险问题，作 者在文章中也做了说明的。这篇文章是纯粹从风险的角度来考虑和研究再保险问 题，并且两位作者也将损失的方差视为原保险人和再保险人所承担的风险，文章 没有对保费的收入进行研究，也没有对保费在原保险人和再保险人之间的分配进 行分析，但是对于研究风险在原保险人和再保险人之间的研究是非常详细的。 j u k k ar a n t a l a l 7 】也从一个较长的丑寸间范畴来砚究这个问题。它做了以下三个重 要假设： 曲再保险合同是长期的合同，并且双方都在寻求一个长期的最优抉择。 b 1 再保险人所拥有的理赔份额仅仅是过去发生的总理赔额的方程。 c 1 再保险人的份额是一个线性方程。 y o r a mk r o l l 和d a v i dn y e ( 1 9 9 1 ) 【8 】从管理的较度研究了比例再保险的自留 额的问题。较之前面的研究他们更加注意到保险人一些自身的特征风险。他们认 为管理人有两个目标：一个是在固定的收益耳标的基础上减少破产的风险；还一 个是在固定的风险基础上增加收益。因而最优的再保险策略总是要符合以上两个 目标的。 m i c h e ld e n u i t 和c a t h e r i n ev e r m a n d e l e ( 1 9 9 8 ) 1 2 1 也从风险的角度来研究最优 再保险策略。他们认为如果仅用原保险人自留风险的方差来表示原保险人剩余风 险是不够的，它位能全面表示一些隐藏的分布，在分析方差的基础上面还需要考 虑到成本因素，只有在成本相同的情况下，自留风险方差较小的再保险保单才会 更加优化些。 l e s l a wg e k 和d a r i u s zz a g r o d n y ( 2 0 0 0 ) 1 s 】通过检验一些非对称的风险来讨 论了再保险的问题。作者通过将总索赔y 分为再原保险人承担索赔r 和再保险人 承担的索赔r ，那么原保险人所承担的风险就是矗：y r ) ，根据这种风险，作 者定义了一个损害方程中，主要用来评估由于尺变动所带来的损失。本篇文章的 作者是根据自己设计的风险评估准则来求解再保险合同的，在建立模型后利用p 和所的风险评估一致的这个特性分别解出在不同妒( f ) 假设的前提下的最佳再保险 安排。 m a r e kk a l u s z k a ( 2 0 0 1 ) 【1 9 】利用基于再保险人享有索赔期望和方差的一个保 费规则来研究最优再保险问题。本文的作者评判最优再保险的基础就是均值和方 差，这种评判也是基于风险，作者所假设的函数形式和以前的研究有很大的不同， 3 考虑再保险的分红产品红利研究 并且作者还区分了停止损失额是基于总索赔和基于单个保单索赔时的区别。 r o b e 九v e r l a a k 和j a nb e i r l a n t ( 2 0 0 3 ) 2 4 i m 起合作研究了再保险组合的最优策 略问题，两位作者也是利用的是均值方差的判断标准。和前面的研究不同的是， 作者分别讨论了各种再保险组合的各类形式，如超额损失再保险、比例份额后的 超额损失再保险等等。 邓志民和张润楚( 2 0 0 4 ) 3 2 1 研究了投资连结产品的再保险策略问题，在其它 假设和前面所提到的研究一致的前提下，作者加入了一个公司预期收益目标，通 过再保险的安排要使得随机的收益函数以9 5 的概率大于预期收益目标。在每年 年末的预期收益函数中，因为作者研究的是投资连结险的再保险，因而对于损失 的概率和程度的因素影响不大，而作者选择关注的是投资基金的增加，作者假设 了一个服从对数正态分布的的投资基金价格。 杨步青和叶中行 3 7 1 二人合作研究了再保险和红利分配的问题，他们假设的保 r r n 险人的赢余函数是一个跳跃过程r p ) = r ( 0 ) + p t 一置，表示没有发放红利时的赢 口 余，r ( f ) 的跳跃形式是r ( f ) 一，( o ) + p t 一正( a v ，a z ) ，然后作者也是利用h j b 方程 来解得最优再保险设计。但是两位作者并没有给出h j b 方程的解析解，而是用动 态规划的方法迭代出一些可行的策略，因为他们认为这样鲍h j b 方程是没有解析 解的。 1 3 论文的研究思路和主要内容 在公司的分红策略中必然要涉及到相关再保险的一些研究，主要集中在相关 的最优再保险策略的研究上面，而对于最优再保险的研究已经有了三十多年的历 史了，关于最优策略问题必然要涉及到一个对最优判断的标准，这在之前的研究 中一直没有得到统一过，因为它的标准有很多种，其中主要分为效用函数一派， 他们认为要实现最优再保险安排就在于要能够使得保险公司的期望效用是最大 的；而另外派则是从风险和收益的角度，这些人的研究又分为很多种，每个人 的侧重点也不同，有的注重的是风险控制角度，而另一些人注重的是有限的风险 控制和最大的期望收益等等。当然还有不少人提出了一些新的判断标准，但是他 们的观点并没有构成体系。 本文也将以两方面的角度去研究分红险再保险，由于和前人不同的是分红险 再保险的研究中必然要涉及到分红险的一些特点，其中关系就不仅仅是保费理陪 的关系。保险公司分红险红利的来源一般是由“三差”中获得，也就是实际的和 估计的死亡差异、费用差异以及利率或投资差异。保险公司就将这部分差异部分 d 硕士学位论文 分给投保人，这里面由于费用因素和每个保险公司自主经营状况有关，并且费用 因素并不是有很强的随机性，因此在本文中，将剔除相关费用的研究。本文也将 考虑保险公司的红利分配政策，并且将它也视为保险公司的决策之一，首先，本 文尝试利用风险控制和期望回报最大的最优判断标准通过模型研究了再保险和红 利分配的联合决策问题，这个模型的形式就是假设保险公司的准备金是一个随机 过程，而死亡因素、投资因素和红利因素所带来的影响都包含在里面，并且都可 以受到再保险的影响。卉( r ) 一砌+ 盯咖0 ) 一d l ( o 1 4 】，这个模型中的4 就是保险公 司实现在保险的承保经营中的赢利，当然是假设保险公司实行的期望法则的费率 考虑，也就是在保险风险的数学期望上面附加一个系数，而这个系数是一个事先 约定的数，因此可在微分方程中将其去除掉。而最优因素也是保险公司所实现的 最大红利期望现值，y ( 工) ：e f e - c t a l l ( t ) t 1 7 】，当然前提条件就是保险公司的这类保 ，0 单不崩溃。 那么本文的结构如下：首先是引言部分；第二部分是再保险模型基础，主要 介绍对本文比较有实用价值的一些有关再保险的模型；第三部分是分红险超额再 保险连续红利决策部分，这一部分主要在再保险价格一致的条件下，在超额再保 险安排下，考虑了红利连续决策以及模型的各种状态。第四部分是前一连续模型 的解答部分，主要分为保险人有无限支持和有限支持两种状况。第五部分包括离 散型红利模型，主要研究了红利离散状况下的模型形式；再保险价格不一致的情 况，主要对于再保险和原保险相比费用附加不同时的模型状况；以及比较了超额 再保险和比例再保险安排以及红利政策。最后是结论部分，是对前面几部分的一 个结论性的分析。 5 考虑再保险的分红产品红利研究 第2 章再保险策略模型基础 2 1 效用理论再保险模型基础 本文所研究的分红险再保险模型虽然不是采用期望效用作为研究最优问题的 基础，但是早期效用模型的影响力比较大，以至于后面许多许多学者在研究再保 险问题的时候通常都会借鉴早期的效用理论的模型参数选择以及建立方法。 下面的公式就是b o r c h 所研究的再保险模型【2 l ： m a x 。i 东n 岱一p x ) d f ( x ) + h 一p m ) f 2 d f ( x ) t 这个模型的约束条件就是p 一( 1 + 九幅。一m ) d f ( x ) 。s ，p 分别为保单初始价 值和保费。 根据u = f o “( s p x ) d f ( x ) 十( s p - m ) 正d f ( x ) 对m 求导， 等一篆r h p 一，一x ) d f ( ：0 一( 1 + 砉弦p p 一膨坩一f ( 膨) ， 并且等一o + z ) 0 一f ， 这样就可以求得 ( 1 + a 堰“p p - x ) d f ( x ) 2 ( 1 + a ) f ) 一z u ( s p m ) ， h a n su g e r b e r 1 1 的理论主要是将再保险价格因素考虑到对于再保险安排的研 究中来了，在他的模型中，价格因素是非常重要的，而且这里的价格是指在期望 外的额外附加，他的价格因素对后来的研究有着深远的意义。 他假设市场共有n + l 家公司加入到这个再保险链中，公司0 就是第一个保险 人，公司1 ，n - 1 都是中间保险人( 即是再保险销售者又是再保险的购买者) ， 公司n 则是最后的再保险人。最初的保险索赔用x 来表示，从假设可以知道这是 一个正态的分布。假设第i 家公司向第i - 1 家公司索取的保费 + 凡) z 来承担z 部 分的x 索赔，它向第i + l 公司购买z + 。部分再保险所付出的保费是 + + ，) 上+ 1 ，建 立好各种变量后，再保险问题就变成了寻找五， ，九的问题了。 对于第一家公司，如果它的效用方程是，那么这家公司就会要寻求 m a x e u o ( 一( 1 一a ) x 一( “+ ) 正) 1 ， 6 对于公司i 就会寻求使得下面方程最大 e 心( ( z z + 。) x + ( “+ ) f 一( “+ + 。) z 。) 1 ， 最后的公司i i 也就会努力使e u 。( 一无置十以+ 屯) 五) 1 ，以上的效用方程服从 ，( z ) 一( 1 一e - ”) 口i 这样一个形式。 为了完成这个模型，作者提出了一个博弈的规则：再保险的购买者将会让出 售者知道在某个再保险费用附加比例的情况下，它将购买的再保险数量，并且再 保险的出售者将会决定这个再保险费用的附加比例，因此，第一个保险人就只要 根据第二个保险人提供的再保险费用附加 选择再保险的比例五n ) ，只要能 够满足它的效用最大，那么对于它来说就达到了最优策略。第二个保险人将要决 定从第一个保险人那接受再保险的费用附加九和在费用附加九的前提下向第三个 保险人分出的再保险比例左= 五( 厶 ，以便使得它的效用最大。最后一个保险人只 要选择向前一保险所要求的再保险费用附加九，来使它的效用达到最大。 剩下的问题就是在再保险需求方程：a 一旦 ，求解所有保险人和再保险人 的最优的再保险策略。作者还考虑了另外一种情况，在市场上又加入了一家再保 险公司，它位于这个再保险链的末端，这样是不是对原来的再保险链有影响，作 者说明了这种影响，并且证明在没有增加和增加一个再保险公司后的再保险附加 费用之差是和这个新增的再保险公司的绝对风险厌恶系数是反比的。 这个再保险链的模型的也可以从反的方向来决定价格，也就是第一个保险人 决定自己愿意付出的再保险费用附加，有第二个保险人来决定接受多少再保险份 额。这样也能购得到每个再保险人的最优再保险策略。 2 2 再保险安排的动态模型基础 c h a r l e ss 和d r o rz u c k e r m a n p o 】在动态模型中用向量( 亭，七) 的形式表示了超额 损失点和再保险费用附加。p a 口在文中表现为复合的p o i s s o n 过程。爹= a p ( 1 + d ) 表示的是原保险费用，d 为费用附加。那么原保险入的收入就表示为 x ( r ) = 妒一嘶+ + k ( f ) ) ，e 一瑶。+ 瑶。， 1 和2 表示原保险人和再保险人。如果用县( 亭) 表示损失方程的n 阶矩，那么 晚( 芋，k ) 一a o z 。( 考) ( 1 + k ) ，呶( 亭，七) 一x 0 ( 1 + d ) 一晚( 亭，k ) = z o o + 6 ) 吃。( 亭) ( 1 + 七) 1 - 两个 方程就是关于原保险人和再保险人保费收入的动态方程。 接下来就是再保险策略的目标了，作者认为原保险人的目标就是在维持资金 平衡过程总是非负的条件下使得原保险入的财富现值最大化。 资金的管理政策r 可以用( q ，z ) 来表示，q ( t ) 表示的是到时间t 从现金转移 到投资的积累，而z ( t ) 表示的是在时间( 0 ，t ) 范围内销售债券所产生的资金，他 7 对于公司i 就会寻求使得下面方程最大 e u x 一( 一工+ 。) x + 十九) 五一m + 札) 五札) 1 ， 最后的公司1 1 也就会努力使e l u 。( 一正j + m + 屯) ) 1 ，以上的效用方程服从 h ( x ) 一f 1 一e - ”) d ；这样一个形式。 为了完成这个模型，作者提出了个博奔的规则；再保险的购买者将会让出 售者知道在某个再保险费用附加比例的情况下，它将购买的再保险数量，并且再 保险的出售者将会决定这个再保险费用的附加比例，因此，第一个保险人就只要 根据第二个保险人提供的再保险费用附加 选择再保险的比例 - ( ) ，只要能 够满足它的效用最大，那么对于它来说就达到了最优策略。第二个保险人将要决 定从第一个保险人那接受再保险的费用附加 和在费用附加九的前提下向第三个 保险人分出的再保险比例五= 正( 凡) ，以便使得它的效用最大。最后一个保险人只 要选择向前一保险所要求的再保险费用附加九，来使它的效用达到最大。 剩下的问题就足在再保险需求方程f 一 丑 ，求解所有保险人和再保险人 的最优的再保险策略。作者还考虑了另外一种情况，在市场上又加入了一家再保 险公司，它位于这个再保险链的末端，这样是不是对原来的再保险链有影响，作 者说明了这种影响，并且证明在没有增加和增加一个再保险公司后的再保险附加 费用之差是和这个新增的再保险公司的绝对风险厌恶系数是反比的。 这个再保险链的模型的也可以从反的方向来决定价格，也就是第一个保险人 决定自己愿意付出的再保险费用附加，有第二个保险人来决定接受多少再保险份 额，这样也能购得到每个再保险人的最优再保险策略。 2 2 再保险安排的动态模型基础 c h a r l e ss 和d r o rz u c k e r m a n 1 0 1 在动态模型中用向量( ；，t ) 的形式表示了超额 损失点和稃保险费用附加。p = 8 在文中表现为复合的p o i , s s o n 过程。矿一2 0 ( i + o ) 表示的是原保险费用，d 为费用附加。那么原保险人的收入就表示为 z ( f ) 一枷一+ + k ) ，e = 瑶+ 1 和2 表示原保险人和再保险人。如果用县。瞎) 表示损失方程的n 阶矩，那么 九倍，k ) = a 包( ) ( 1 + t ) ，矗( ；，) - a 日( 1 + d ) 一九( ，k ) = f 9 a + 6 卜0 2 。( 十) 1 - 两个 方程就是关于原保险人和再保险人保费收入的动态方程。 接下来就是再保险策略的目标了，作者认为原保险人的目标就是在维持资金 平衡过程总是非负的条件f 使得原保险人的财富现值最大化。 资金的管理政策r 可以用( o ，z ) 来表示，o ( i ) 表示的是到时间t 从现金转移 到投资的积累，而z ( o 表示的是在时间( 0 ，t ) 范围内销售债券所产生的资金，他 到投资的积累，而z “) 表示的足在时问( o ，t ) 范围内销售债券所产生的资金，他 考虑再保险的分红产品红利研究 们要符合这样一个方程：w ( t ) = z + x ( t ) 一q ( t ) + z ( f ) ，这样q ，z ，w 在任何时刻都取 决于再保险的安排( 邑k ) 。如果用b ( t ) 来表示时间t 的投资，那么原保险人公司就 要使彗m p ”p ( f ) + w ( f ) ) 最大化了。 为了计算方便，作者假设原保险人投资都在没有风险的债券上面并能够获得 y 的收益，这样 召p ) = e r t 君( o ) + ( 1 6 疆e r ( t - , ) 矗q ( s ) 一( 1 + d 埙。7 p 时砭孑( j ) 。 利用这个过程作者证明了这样一个事实：从长期来看，在任何可取再保险安 排下，最后时刻的现金的现值是0 。 那么原保险人的目标方程中包括了再保险的安排候七) 和现金管理策略( 0 ，z ) 蝉( 亭，七) 2 ( 1 - 6 乒呒e - r s d q ( s ) l o + a ) e l f oe - r d z ( s ) 。 通过这个目标方程可以得到作者假设目标下对于原保险人的最优的再保险策 略。 同时作者又假设了再保险人的目标：实现长期期望折现收益最大。这里再保 险人的收益作者就用再保险费减去赔款得到了。因为再保险份额的安排是有原保 险人计划的，因此再保险人面临的决策就是一个保费附加系数k 的值的计划了。 如果这个值计划高了，将会使原保险人对再保险的需求减少，如果计划少了，将 会面临损失的风险。 在这种情况下，再保险人的目标方程就是 叩( 导k ) 一e ce - a x 2 ( t ) 1 ， 接下来的作者的目标就是求得该方程值最大的( 亭，七) 。 这篇文章的动态模型特别是最后的目标方程对于研究再保险是一个典范，作 者将时间概念引入再保险中来，并且给出其积分的形式，为今后建立决策向量用 于再保险策略研究提供了借鉴。 d ew a e g e n a e r e 和fd e l b a e n 9 】同样也研究了再保险动态模型，他们研究的是 一个比例停止损失再保险。其中有三个过程变量，一个是冠，表示原保险人期望 剩余的损失，是由总的损失减去再保险人所承担的损失决定的；一个就是v ，表 示剩余损失的方差；( 丘) 。，。则表示的是最优再保险比例，它也是一个连续的过程 变量，作者目标就是解出使y ( b ) 最小的( 丘) 。 札 在作者模型中的索赔是一个复合泊松分布，那么风险过程就用s ，：萝x ；表 爿 示， 来表示s ，的标准差，通过变换后作者最后得到 8 硕士学位论文 p ，( 力一r ， + y ) 最方，在( q ，誊，p ) 概率空问中，利用m a r k t r v 次组概念作者 证明了只一b 一p s o = i s , 接下来作者从三步来完成对剩下风险的评估：首先，作者认为一些关于剩余 风险很关键的信息都在原保险人剩余损失的条件期望之中，条件就是保险人掌握 当时所面临的风险信息和过程a 原保险人剩余的损失就是= s r j ( s ，一x ) ，r 的 条件期望就是 r f = e f s r j ( s f z ) i 言，1 = h ( t ，s 。) 。 h ( t ，砷一b 一。 ( x ) ( 功一五一j ( x x ) 。 其次，作者认为这个条件期望并不能给予原保险人所有的剩余风险的信息， 并且给出第二个用来评估剩余风险的标准，也就是原保险人剩余损失的方差。这 个方差的表达式如下v = 品一j ( s r - x ) + l 奠】- e e i = i ；。卜砰= k ( f ，s ) 一砰， k ( t ，s ，) = b 一，k ( x ) ，后( x ) = ( x j ( x 一y ) + ) 2 。 最后，作者还给出了评估剩余损失的第三个标准，这个标准就包括了计算最 优的再保险策略。这个最优策略包括了一个连续时间的随机过程( l ；o ss s t ) ，这 个过程建立在剩余损失在时问t 的方差y f 墨1 最小，如果在时间t s 丁选择的保险 份额和工一样。 这篇文章的动态模型引入了期望剩余这个随机过程，这个期望剩余可以作为 评价再保险策略的标准。 2 3 再保险策略风险类研究基础模型 y o r a mk r o l l 和d a v i dn y e 8 1 的模型将破产和收益作为再保险策略安排两个变 量，作者认为再保险安排就是要在防止出现破产或崩溃的前提下实现收益的最大 化，通常在某些模型方差不便估计的情况下，引入破产这个因素可以使得模型的 求解更加便捷一些。 作者所建立的模型如下： w b r + ( 1 一a q ) p + s b 盖一o q ) l ， 其中w 是在一定时期的财富，b 表示在风险的资产，r 表示( 1 + 无风险资产 利率) ，a 再保险净风险附加，q 是保险人所购买的比例再保险，p 表示的是积累 的保费，s 是初始的保险公司所有者权益，x 是( 1 + 风险资产收益率) ，l 是总的 理陪，l 和保费p 有一定的比例关系。 9 考虑再保险的分红产品红利研究 管理者在这里就有两个选择变量；再保险的数额q ，以及投资在风险资产和 无风险资产的比例。作者在特征方程肘伽帅y ( ) ，e ( ) = 的条件下，通过变换解 出q ；在肋。昱) ，y ) = k ) 解出口”，这两个解分别就是前面所说管理人的两个目标的表现。 除了得到两种情况下的q 值外，作者还试图验证了一下它的可行性和利用数 据进行更加直观的分析。并且计算出了g 对风险价格r 一怛( x ) 一r ) 6 ( 曲的偏导 数，通过这个关系，可以测试出风险资产的回报变化和最优再保险策略的影响， 其结果是：当风险资产收益变化较大的时候，也只能得到相对较小的口+ 的变化。 而通过购建1 0 x 可以得到再保险策略对于再保险价格的反映，也可以被认 为是再保险对于价格的一个需求函数。这个结果在印为正数时永远是负的，也就 是最优再保险策略和价格是一个减函数的关系，作者说明了当a 为1 0 5 时，也就 是说再保险人收取5 的净风险附加，q = o 3 5 1 ，而当a 增：i i i i i i1 2 0 时，口减少 到了0 3 5 1 。当然这些结论的前提是a 要大于1 。 作者利用帕l o v ) 来表示再保险与承保风险的关系并且得出当风险的方差 从5 0 到1 0 0 0 ( 期望为1 0 ) 能够引起4 5 的再保险的增加，这说明即便风险是不 一样的险种，依然能够适用作者的模型。 m a r e kk a l u s z k a i ”】利用基于再保险人享有索赔期望和方差的一个保费规则来 研究最优再保险问题。作者认为在份额再保险中，再保险人对于总的索赔x 的分 享可以用r ( z ) = 硝来表示，在p = d 2 r ( x ) 条件下，最小的d 2 ( z r ( 盖) ) 会在r q 上获得，这里p 就是再保险费用，d 2 u 就表示u 的方差，p 在整个文中一赢是一 个正数。 对于停止损失再保险，再保险形式可以甩r ；( x ) = ( x 一6 ) + 来表示，b 在这里 就是一个参数，和以前的文章一样伍一6 ) + = m a x ( x b ；0 ) 。自留额方程就可以通过 最小化下面这个方程求得：d 2 ( 肖一r ( z ) ) = m i n 。，条件就是p = o + f 1 ) e r ( x ) 。 犀，0 ，表示的是安全附加系数。 作者的目的就是要通过保费计算准则下的最优再保险安排，他共给出了两种 保费计算准则，一个是标准差准则， p = e r ( x ) + f l d r ( x ) ， 一个是方差准则p = e r 伍) + f l d 2 r 【x ) 。 都可以用e r ( x ) 一f ( p ，d r ( j ) ) 这种形式来表示的。这样f 就要受下面条件的 限制：，( p 0 ) = p ，f ( p ，t ) 在时间t 是一个非增的、凹的、可微的函数。自留方 程r 如果满足下面的条件就可以被认为是最优的再保险安排：最小化 d ( x r ( z ) ) ，并且服从e r ( x ) = i ( p , d r 曙) ) ，0 s r 0 ) 工。 1 0 硕士学位论文 通过变换和计算，作者可以得出最优自留方程应该服从这样一个形式： r ( 工) = 靠( 工一扫) + ，0 sa s l , b 0 a 在文章中作者是分全球化再保险和本地再保险两种不同情况讨论的，在全球 再保险下，再保险风险是r 一丑暖) ，所要求的是分出者的最小风险，由x r 的方 差来表示，并且要满足 r 豫( ，) ，r ( f ) 一f f e e r = ，(