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数学教案提公因式法 教学设计 提公因式法(一) 教学目标 1使学生了解因式分解的意义理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系 2使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式 3通过学生自行探求解题途径培养学生观察、分析和创新能力深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点： 因式分解的概念及提公因式法 教学难点： 正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系 教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律 二、新课 1新课引入：用类比的方法引入课题 在学习分数时我们常常要进行约分与通分因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)例如把15分解成35把42分解成237 在第七章我们学习了整式的乘法几个整式相乘可以化成一个多项式那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法 2因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子并计算出其结果(老师按学生所说在黑板写出几个) 如：m(a+b+c)ma+mb+mc 2xy(x2xy+1)=2x2y4x2y2+2xy (a+b)(ab)a2b2 (a+b)(m+n)am+an+bm+bn (x5)(2x)x2+7x10等等 再请学生观察它们有什么共同的特点 特点：左边整式整式；右边是多项式 可见整式乘以整式结果是多项式而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积我们就把这种多项式的变形叫做因式分解 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式 如：因式分解：ma+mb+mcm(a+b+c) 整式乘法：m(a+b+c)ma+mb+mc 让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别 联系：同样是由几个相同的整式组成的等式 区别：这几个相同的整式所在的位置不同上式是因式分解；下式是整式乘法两者是方向相反的恒等变形二者是一个式子的不同表现形式一个是多项式的表现形式一个是两个或几个因式积的表现形式 例1下列各式从左到右些是因式分解（投影） (1)x2xx(x1)() (2)a(ab)a2ab() (3)(a+3)(a3)a29() (4)a22a+1a(a2)+1() (5)x24x+4(x2)2() 下面我们学习几种常见的因式分解方法 3提公因式法： 我们看多项式：ma+mb+mc 请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式是各项都含有的公共的因式 又如：a是多项式a2a各项的公因式 ab是多项式5a2bab2各项的公因式 2mn是多项式4m2np2mn2q各项的公因式 根据乘法的分配律可得 m(a+b+c)ma+mb+mc 逆变形便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mcm(a+b+c) 这说明多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式这种分解因式的方法叫做提公因式法 定义：一般地如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面将多项式写成因式乘积的形式这种分解因式的方法叫做提公因式法 显然由定义可知提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式让学生观察上面的公因式的特点找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母而且各字母的指数取次数例2指出下列各多项式中各项的公因式： (1)ax+ay+a(a) (2)3mx6mx2(3mx) (3)4a2+10ah(2a) (4)x2y+xy2(xy) (5)12xyz9x2y2(3xy) 例3把8a3b212ab3c分解因式 分析：分两步：第一步找出公因式；第二步提公因式 先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2 解：8a3b212ab3c=4ab22a24ab23bc=4ab2(2a23bc) 说明： (1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取 (2)开始讲提公因式法时最好把公因式单独写出以显提醒；强调提公因式；强调因式分解 例4把3x26xy+x分解因式 分析：先引导学生找出公因式x强调多项式中x=x1 解：3x26xy+x =x3xx6y+x1 x(3x6y+1) 说明：当多项式的某一项恰好是公因式时这项应看成它与1的乘积提公因式后剩下的应是11作为项的系数通常可以省略但如果单独成一项时它在因式分解时不能漏掉这类题常常有些学生犯下面的错误3x26xy+x=x(3x6y)这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样这样可以检查是否漏项 课堂练习：（投影） 把下列各式分解因式： (l)2R+2r； (2) (3)3x3+6x2； (4)21a2+7a； (5)15a2+25ab2； (6)x2y+xy2xy 例5把4m3+16m226m分解因式 分析：此多项式第一项的系数是负数与前面两例不同应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了所以应先提负号转化然后再提公因式提号时注意添括号法则 解：4m3+16m226m (4m316m2+26m) 2m(2m28m+13) 说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时应先观察第一项系数的正负负号时运用添括号法则提出负号此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式 课堂练习：（投影） 把下列各式分解因式： (1)15ax20a； (2)25x8+125x16； (3)a3b2+a2b3； (4)x3y3x2y2xy； (5