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自动控制原理作业 4 参考答案自动控制原理作业 4 参考答案 1、 已知某系统的开环传递函数为 试绘制系统开环对数幅频特性和开环对数相频特性图，用对数判据分析闭环稳定性，求出相位裕量和增益裕量。 解解：由题目给定的传递函数可知，系统的转折频率依次为 0.023，0.053，1.48，1.6，2.27，30.3 和 50。低频段渐近 线为水平线，高度为 24dB。系统相频特性为 和 ()对照表如下： 开环对数颇率特性如图 1 所示。由图可知，在 L() 0 的频段内，()对180o线有 1 次正穿越，而系统开环 传递函数有两个位于右半 s 平面的极点；即 p = 2。正负穿越次数之差为 图 1 故闭环系统稳定。 可算得 c = 7. 243rad/s， 相位裕量 = 53o， 相位穿越频率 g =32. 3rad/s， 增益裕量 Kg = 13. 5dB。 2、 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如题 2 图所示，试确定系统的开环传递函数，并求出相角稳定裕 量，画出对应的对数相频特性，分析闭环系统的稳定性。 题 2 图 解：解：(1) 由题 2 图可知，低频段渐近线斜率为 40dB/dec，表明系统有两个 s = 0 的极点；并可以确定各转角频率对 应的典型环节类型：在 = 2 处，斜率变化 20dB/dec，为一阶徽分环节；在 = 10 处，斜率变化 20dB/dec， 为惯性环节；在 = 0. 1 处，L() = 60dB，斜率为 40dB/dec，据此可得到系统的开环增益 K。因为 所以 K = 10。系统的开环传递函数为 (2) 求穿越频率和相位裕量： 系统的相位裕量为 (3) 相频特性为 根据不同频率计算相角，可以画出对数相频特性曲线，如图 2 所示。 图 2 (4) 开环传递函数无右半 s 平面极点；在 L() 0 的频段内，()对180o线没有穿越；故闭环系统稳定。 3、 已知某最小相位系统的开环传递函数为 其中 1 2 3 0 和 K* 0 (b) K* 0 时，若 0.47K* 2.13，极坐标图可以逆时针包围(1, j0)点两 圈，闭环稳定。而当 K* 2.13。 6、 已知三个控制系统的开环频率特性函数的极坐标图如题 6 图所示，图中负实轴上的黑点坐标为 1。对应的开环 传递函数分别为 试用奈魁斯特稳定性判据讨论这三个系统的闭环稳定性。 题 6 图 解：解：(1) 系统开环稳定(p = 0)，题 6 图(a)的极坐标图顺时针包围(1, j0)点两周(N = 2)，z = N + p = 2，故闭环系统不稳 定，有两个右半 s 平面的极点； (2) 系统开环稳定(p = 0)，题 6 图(b)的极坐标图顺时针和逆时针各包围(1, j0)点 1 圈(N = 0)，z = N + p = 0，故闭 环系统稳定； (3) 系统开环传递函数有一个右半 s 平面的极点(p = 1)，题 6 图(c)的极坐标图逆时针包围(1, j0)点 1 圈(N = 1)， z = N + p = 0，故闭环系统稳定。 7、 设某反馈控制系统开环频率特性函数的极坐标图如题 7 图所示，开环放大倍数为 K = 500，右半 s 平面无开环传 递函数的极点和零点。试确定使系统闭环稳定的 K 值范围。 题 7 图 解：解：(1) 设该系统的开环传递函数为 ssKGsG p )()( o ,其中 K 为开环放大系数， 为系统型数，Gp(s)为有理分式， 分子分母都是常数项为 1 的 s 多项式，1)(lim 0 sGp s 。由题 7 图可知， = 2。记极坐标图与负实轴交点处对应 的频率为 1、2和 3，且 321，则有 当 K 变化时，极坐标图与负实轴交点的各个角频率不变，但交点位置沿负实轴移动。设 K = K1时，极坐标图在 1处与实轴交于1 (即题 7 图中与负实轴相交于50 的点向右移到1)，则有 同理可得极坐标图在 2与实轴交于1 的增益为 K2 = 25，极坐标图在 3处处与实轴交于1 的增益为 K3 =10000。 图 6 表示 K 变化时的 4 种极坐标图。 图 6 上述各种情况下的闭环稳定性分析如下： (a) K 10000 时，N = 2，z = 2，闭环系统不稳定，有两个右半 s 平面的极点； (b) 25 K 10000 时，N = 0，z = 0，闭环系统稳定； (b) 10 K 25 时，N = 2，z = 2，闭环系统不稳定，有两个右半 s 平面的极点； (d) 0 K 10 时，N = 0，z = 0，闭环系统稳定。 综上所述，使闭环系统稳定的 K 值范围为：0 K 10 和 25 K 10000。 8、 设某单位反馈控制系统的开环传递函数为 2 o )1(100)(sssG ,试绘制该系统的极坐标图，并确定使相位裕量 等于 45o时的 值。 解：解：(1) 开环频率特性函数为： 1o 180(22222 o 1100)1(100)()1(100)( tgj ejjjjG = 0+ 时， jejG j o 180 o )( ； +时，000)( o 90 o jejG j 。 曲线与坐标轴无有限值交点极坐标图如图 7 所示。 图 7 (2）以原点为圆心作单位圆，则极坐标图与单位圆交点处的幅值为：11100)( 222