昆明理工大学2016级数值分析期末试卷-答案.pdf

第 1 页 共 5 页 2016 级硕士研究生试卷级硕士研究生试卷 数值分析数值分析 参考答案参考答案及评分标准及评分标准 A 卷卷 一 填空题 每空 2 分 共 30 分 1 设3 1416x 是准确值x 的近似值 则近似值x有 5 位有效数字 近似值x的相 对误差为 6 2 36 10 2 函数 20 f xx 在相对误差意义下计算 1 00 x 时函数值的条件数为 20 3 设 74 5231f xxxx 则 017 2 2 2 f 5 018 2 2 2 f 0 4 函数 3 f xx 在 1 1 上的最佳一致逼近二次多项式是 3 4 x 最佳平方逼近二次多项 式是 3 5 x 5 设 10099 9998 A 则 1 A 199 A 199 cond A 39601 6 求非线性方程 0f x根的牛顿迭代格式是 1 k kk k f x xx fx 收敛阶是 2 弦截 法的迭代格式是 11 1 k kkkk kk f x xxxx f xf x 收敛阶是 1 618 7 微分方程初值问题 00 yf x y y xy 要使其在区域 Dx yxa b yR 上存在唯 一解 则应该满足的利普希茨条件是 1212 0fx yfx yLyyL 二 计算题 各题 12 分 共 60 分 1 求一个次数不高于 4 次的多项式 xP 使它满足 1 1 0 0 0 0 PPP 1 1 P 1 2 P 并写出其余项表达式 解法一 由 0 0 0 1 1 1pppp 可得两点三次埃尔米特插值多项式 2 3 2 Hxxx 第 2 页 共 5 页 而 P x是不高于 4 次的多项式 故可设 22 3 1 P xHxAxx 由 2 1P 得 1 4 A 3 故 22222 11 2 1 3 44 P xxxxxxx 432 139 424 xxx 3 记余项表达式为 R xf xp x 因 0 1 2 是 R x的零点 且 0 1 是 2 重零点 故设 22 1 2 R xk x xxx 其中 k x是待定函数 设辅助推导函数 22 1 2 tf tp tk x ttt 可知 0 1 2 x都是函数零点 且 0 1 还是 2 重零点 3 根据罗尔定理 故有 5 0 0 2 于是推出 5 5 f k x 5 22 1 2 0 2 5 f R xxxx 3 解法二 本解法 判卷老师参考解法一酌情给分 由题意 P x x2 ax2 b x c 由插值条件得方程组 1 24 4 1234 1 cba cba cba 求解 得 a 1 4 b 3 2 c 9 4 所以 2222432 1391139 3 4244424 P xxxxxxxxx 余项表达式 同解法一 2 解线性方程组bAx 其中 12314 252 18 31520 Ab 3 2 1 x x x x 1 对A做杜利特尔分解LUA 第 3 页 共 5 页 2 通过求解yUxbLy 解线性方程组bAx 其中 3 2 1 y y y y 解 100123 210014 3510024 ALU 6 由 14 10 72 TLyby 3 又由 14 10 72 TUx 得解 1 2 3 Tx 3 3 有线性方程组Axb 中 1 3 1 2 32 a Aa a 求出使雅可比迭代格式收敛的a的取值范围 解 1 313 1 212 3232 aa AaaDLU aa 3 得到雅可比迭代矩阵 1 13 0 12 0 32 0 aa JDLU aa aa 3 求解雅可比迭代矩阵的特征值 2 2 13 126 0 32 aa EJ aaa aa 123 66 0 aa 第 4 页 共 5 页 3 进而得到收敛时 6 1J a a的范围是 6a 3 4 对给定积分 1 2 0 x e dx 用复合梯形公式计算时 若要求截断误差限不超过 6 10 应将积分 区间分成多少等分 解 复合梯形公式的余项 2 12 n ba Rfh fa b 3 由于 2 x f xe 则 2 4 x fxe 在区间 0 1 上为单调增函数 1ba 2 设区间分成n等分 则 hban 故对复合梯形公式 要求 2 11 12 n Rff n 226 11 410 12 e n 1 0 4 即 2 26 10 3 e n 1569 4n 因此 n 1570 即将区间 0 1 分成 1570 等分时 用复合梯形 公式计算 截断误差不超过 6 10 3 5 已知实验数据 0 1 4 ii x yi 如下表 i x 1 2 3 4 5 i y 4 4 5 6 8 8 5 用最小二乘法求形如 01 yaa x 的经验公式 并计算最小二乘误差 解 令xaaxS 101 1 0 1 x 故51 4 0 00 i 4 01 0 15 i i x 4 10 0 15 i i x 第 5 页 共 5 页 55 4 0 2 11 i ix 4 0 0 31 i i yy 4 1 0 105 5 ii i yx y 4 由法方程得线性方程组 01 01 51531 1555105 5 aa aa 解得 01 2 45 1 25aa 于是所求拟合曲线为 1 2 45 1 25S xx 4 最小二乘误差 4 2 21 0 0 090 20250 040 30250 040 6750 8216 ii i S xy 4 三 证明题 10 分 解微分方程初值问题 00 yf x y y xy 的梯形法 111 2 nnnnnn h yyf xyf xy 证明 其局部截断误差是二阶的 局部截断误差的主项是 3 1 12 n h yx 证 11111 2 nnnnnn