高中数学 128二次函数的图象和性质—对称性课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 1 2 8二次函数的图象和性质 对称性 掌握函数的奇偶性的定义和判断方法 理解奇函数和偶函数的图象的特点 掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类 1 2 3 奇 偶函数的定义 1 如果对一切使f x 有定义的x f x 也有定义 并且 成立 则称f x 为偶函数 2 如果对一切使f x 有定义的x f x 也有定义 并且 成立 则称f x 为奇函数 奇 偶函数的图象特征偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形 奇函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形 自学导引 1 2 f x f x f x f x y轴 原点 缺少一次项的二次函数y ax2 c是偶函数 其图象是以 为对称轴的轴对称图形 如果函数f x 有一条平行于y轴的对称轴 对称轴和x轴交点的坐标是 s 0 则对任意的h 有 反之亦然 4 y轴 f s h f s h 轴 六 x轴 x0 0 上 恒正 3 如 0 图象和x轴交于两点 x1 0 和 x2 0 这里x1 x2 是方程 的两个不等实根 对应于x 图象在x轴下方 当x在 之外时 图象在x轴上方 ax2 bx c 0 x1 x2 x1 x2 判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢 提示由定义知 若x是定义域内的一个元素 x也一定是定义域内的一个元素 所以函数y f x 具有奇偶性的一个必不可少的条件是 定义域在x轴上所示的区间关于原点对称 即 如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称 这个函数一定不具有奇偶性 例如 函数f x x3在r上是奇函数 但在 2 1 上既不是奇函数也不是偶函数 自主探究 1 有没有既是奇函数又是偶函数的函数 提示有 如f x 0 x 5 5 2 解析结合图象知选项为d 答案d 预习测评 二次函数y x2 6x k的图象的顶点在x轴上 则k的值为 a 9b 9c 3d 3解析 y x 3 2 k 9 k 9 0 k 9 答案a设函数f x x 1 x a 为偶函数 则a 答案 1 2 3 若函数y x2 a 2 x 3 x a b 的图象关于直线x 1对称 则b 答案6 4 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称的 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数 若函数的定义域是关于原点对称的 再判断f x f x 之一是否成立 名师点睛 1 判断函数奇偶性的常用方法 图象法 奇 偶 函数等价于它的图象关于原点 y轴 对称 性质法 利用性质来判断 即利用奇 偶函数的和 差 积 商的奇偶性 以及复合函数的奇偶性来判断 即 1 在公共定义域内 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 2 对于复合函数f x f g x 若g x 为偶函数 则f x 为偶函数 若g x 为奇函数 f x 为奇函数 则f x 为奇函数 若g x 为奇函数 f x 为偶函数 则f x 为偶函数 3 4 警示在判断函数的奇偶性时 容易忽视函数的定义域是否关于原点对称这一前提条件 从而导致做无用功 即浪费时间和精力 又判断失误而出错 已知f x 为r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 3x 1 1 求f x 的解析式 2 作出函数f x 的图象 解 1 设x0 由已知有f x 2 x 2 3 x 1 2x2 3x 1 所以 f x 2x2 3x 1 又f 0 0 题型一函数奇偶性的应用 例1 典例剖析 点评利用奇 偶函数图象的对称性 可以画出图象的另一半 从而可以减少工作量 本题容易将f 0 0遗漏掉 变式1 即f x f x f x 是偶函数 3 由题易知函数f x 的定义域 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 f x x 1 x x 1 x f x f x f x f x 为奇函数 点评 1 判定函数的奇偶性 首先要检验其定义域是否关于原点对称 然后再严格按照奇偶性的定义经过化简 整理 再与f x 比较得出结论 2 分段函数的奇偶性应分段证明f x 与f x 的关系 只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性 已知二次函数f x 同时满足下列条件 f 1 x f 1 x f x 的最大值为15 f x 0的两根的立方和等于17 求f x 的解析式 题型二二次函数的对称性 例2 点评二次函数图象的对称性非常重要 只要知道了对称轴 单调性和最值就非常简单 对称性还可以推广到一般函数 已知函数f x 则f x 关于x a对称的充要条件是f a x f a x 还可以变形为f x f 2a x 变式2 已知一个二次函数y ax2 bx c 当x 1时 函数有最小值 1 方程ax2 bx c 0的两根 满足 2 2 4 求这个二次函数的解析式 题型三综合问题 例3 点评从本题中可以看出 二次函数与一元二次方程之间有着密切的关系 一元二次方程ax2 bx c 0就是二次函数y ax2 bx c当y 0时的情形 不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0对一切x r恒成立 求a的取值范围 解法一 1 当a 2时 f x 4 0恒成立 2 当a 2时 f x a 2 x2 2 a 2 x 4 0对一切x r恒成立 f x 有最大值且最大值为负 即 变式3 由 1 2 知 a的取值范围是 2 2 法二当a 2时 不等式显然成立 当a 2时 若不等式成立 即f x a 2 x2 2 a 2 x 4 0对x r恒成立 必有a 2 0 且 4 a 2 2 4 a 2 4 0 解得 2 a 2 综上得 2 a 2 a的取值范围是 2 2 误区警示判断函数奇偶性时 因忽略定义域而出错 例4 错因分析错解中没有判断函数f x 的定义域是否关于原点对称 而直接应用定义判断奇偶性 正解 函数f x 的定义域为 x 1 x 1 不关于原点对称 故此函数既不是奇函数又不是偶函数 纠错心得判断所给函数的奇偶性时 在求出函数的定义域以前 不能化简函数的解析式 否则会导致函数的定义域发生变化 得到错误结论 在奇函数与偶函数的定义域中 都要求x d x d 这就是说 一个函数不论是奇函数还是偶函数 它的定义域都一定关于坐标原点