高中数学 111命题及其关系四种命题课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 了解命题的逆命题 否命题与逆否命题的意义 2 会分析四种命题的相互关系 核心扫描 1 写出命题的逆命题 否命题与逆否命题 重点 2 利用两个命题互为逆否命题的关系判定命题的真假 难点 1 1 1四种命题 1 1命题及其关系 命题的概念 1 定义 可以 的陈述句叫作命题 2 真假命题 命题中 的语句叫作真命题 的语句叫作假命题 3 命题的一般形式 命题的一般形式为 通常 命题中的p叫作 q叫作 想一想 判断命题真假的依据是什么 提示客观事实或已学过的公理 定理等 自学导引 1 判断真假 判断为真 判断为假 若p 则q 命题的条件 命题的结论 四种命题及其表示一般地 用p和q分别表示原命题的条件和结论 那么 对p和q进行 和 后 一共可以构成四种不同形式的命题 原命题 若p则q 逆命题 将条件和结论 换位 即若 则 否命题 条件和结论 换质 即分别否定 逆否命题 条件和结论 换位 又 换质 即分别 且位置 2 换位 换质 q p 否定 互换 想一想 在四个命题中 原命题是固定的吗 提示不是 原命题是人为指定的 是相对于其他三种命题而言的 可以把任何一个命题看作原命题 进而研究它的其他形式 四种命题的相互关系 1 四种命题的相互关系 3 2 四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系 原命题为真 它的逆命题 原命题为真 它的否命题 原命题为真 它的逆否命题 不一定为真 不一定为真 一定为真 命题的判断与构成 1 命题的判定 并不是任何语句都是命题 要判断一个句子是否为命题 关键在于能否判断真假 一般地 疑问句 祈使句 感叹句都不是命题 2 命题的构成 一般地 命题是由条件和结论两部分组成 有些命题中没有明确的条件和结论 即不是 若p 则q 的形式 为了找到命题的条件和结论 我们把命题改写成 若p 则q 的形式 其中p是命题的条件 q是命题的结论 名师点睛 1 命题真假的判断 1 命题分为真命题和假命题两种 一个命题要么是真命题 要么是假命题 不可能既是真命题又是假命题 2 若p 则q 形式的命题的真假判定方法 若由已知条件p经过正确的逻辑推理后能够推出结论q成立 则可判定命题 若p 则q 是真命题 否则就是假命题 另外 判定一个命题是假命题 只需举一个反例即可 如 x2是负数 是假命题 因为当x 0时 x2 0不是负数 3 数学中的公理 定理 公式等都是真命题 2 关于否命题 逆否命题中的 否定 将命题中的条件 结论进行否定时 要注意正面词语与它的否定词语的正确转换 在数学中 从集合的观点来解释 就是 取其补集为否定 例如 至多三个 3 其否定为 至少四个 3即 4 下表给出了一些常见的关键词及其否定形式 3 题型一命题及其真假的判定 判断下列语句是否是命题 若是 判断真假 并说明理由 2 若x r 则x2 4x 7 0 3 你是高一学生吗 4 一个正整数不是质数就是合数 5 x y是有理数 则x y也都是有理数 6 60 x 9 4 思路探索 判断一个语句是不是真命题 就是要看它是否符合 是陈述句 和 可以判断真假 这两个条件 例1 解 1 祈使句 不是命题 2 是真命题 因为x2 4x 7 x 2 2 3 0对于x r 不等式恒成立 3 是疑问句 不涉及真假 不是命题 4 是假命题 正整数1既不是质数 也不是合数 6 不是命题 这种含有未知数的语句 未知数的取值能否使不等式成立 无法确定 规律方法判断一个语句是否是命题 关键看两点 第一是否对一件事进行了判断 第二能否判断真假 一般地 祈使句 疑问句 感叹句等都不是命题 下列语句是否是命题 若是命题 试判断其真假 1 4是集合 1 2 3 的元素 2 三角函数是函数 3 2比1大吗 4 若两条直线不相交 则两条直线平行 解 1 是命题 且是假命题 2 是陈述句 并且可以判断真假 是命题 且是真命题 3 是疑问句 不是命题 4 是命题 且是假命题 变式1 把下列命题写成 若p则q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题与逆否命题 1 正数的平方根不等于0 2 当x 2时 x2 x 6 0 3 对顶角相等 思路探索 由原命题写出其他三个命题关键在于弄清命题的条件和结论 对于不是 若p 则q 形式的命题 则应先将命题改写成 若p 则q 的形式 再写出其他三种命题 在写出否命题和逆否命题时 还需对条件和结论进行否定 这就需要熟练掌握一些常见的词语和词语的否定 题型二四种命题及真假判断 例2 解 1 原命题 若a是正数 则a的平方根不等于0 逆命题 若a的平方根不等于0 则a是正数 否命题 若a不是正数 则a的平方根等于0 逆否命题 若a的平方根等于0 则a不是正数 2 原命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆命题 若x2 x 6 0 则x 2 否命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆否命题 若x2 x 6 0 则x 2 3 原命题 若两个角是对顶角 则它们相等 逆命题 若两个角相等 则它们是对顶角 否命题 若两个角不是对顶角 则它们不相等 逆否命题 若两个角不相等 则它们不是对顶角 规律方法本题主要考查四种命题的定义 分清原命题的条件与结论 利用四种命题的概念 是解题的关键 在写出四种命题时 若一个命题有大前提 则其他三种形式的命题的大前提始终保持不变 对于命题 若数列 an 是等比数列 则an 0 下列说法中正确的有 写出所有正确的序号 它的逆命题是真命题 它的否命题是真命题 它的逆否命题是假命题 它的否命题是假命题 答案 变式2 已知a b r 求证 若a3 b3 3ab 1 则a b 1 证明 原命题证明较困难改证它的等价命题 逆否命题 已知a b r 求证 若a b 1 则a3 b3 3ab 1 因为a b 1 所以a3 b3 3ab a b a2 ab b2 3ab a2 ab b2 3ab a b 2 1 因为逆否命题与原命题等价 所以原命题正确 规律方法 1 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题 2 证明中 准确写出原命题的逆否命题是解题的关键 题型三命题的等价性及其应用 例3 判断命题 已知a x为实数 如果关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 则a 1 的逆否命题的真假 解法一逆否命题 已知a x为实数 如果a 1 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 判断如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2开口向上 判别式 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 因为a 1 所以4a 7 0 即抛物线y x2 2a 1 x a2 2与x轴无交点 所以关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 故逆否命题为真 变式3 法二先判断原命题的真假因为a x为实数 且关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 又因为原命题与其逆否命题等价 所以逆否命题为真 法三利用集合的包含关系求解命题p 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0有非空解集 命题q a 1 q b a a 1 因为a b 所以 若p 则q 为真 所以 若p 则q 的逆否命题 若非q 则非p 为真 即原命题的逆否命题为真 14分 已知集合a x x 2 4mx 2m 6 0 b x x 0 若命题 a b 是假命题 求实数m的取值范围 规范解答 因为 a b 是假命题 所以a b 设全集u m 4m 2 4 2m 6 0 题型四命题的综合应用 例4 题后反思 本题若从正面分析 首先要使 0 然后分两个负根 一正根一负根 一负根一零根 三种情况求并集再与 0求交集 这样解题十分繁琐 故采用 正难则反 思想简化解题过程 已知非空集合a x x2 4mx 2m 6 0 b x x 0 若命题 a b 是真命题 求实数m的取值范围 变式4 化归与转化思想 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式 将问题通过变换加以转化 进而达到解决问题的思想 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式变换的过程 化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题 常见的转化有 等与不等的相互转化 正与反的相互转化 特殊与一般的相互转化 整体与局部的相互转化 高维与低维的相互转化 数与形的相互转化 函数与方程的转化 方法技巧化归与转化思想 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 对命题 若a b 0 则f a f b f a f b 1 写出逆命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出其逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 思路分析 1 判断一个命题的真假时 首先要弄清楚命题的结构 即它的条件和结论分别是什么 然后联系其他相关的知识 经过逻辑推理来判定 2 要说明一个命题为真命题 必须由条件及相关知识 通过严格的逻辑推理得到结论 而要证明一个命题为假命题 只需举一个反例即可 示例 解 1 逆命题 若f a f b f a f b 则a b 0 为真命题 用间接法证明 假设a b 0 则a b b a f x 在 上为增函数 则f a f b f b f a f a f b f a f b 这与题设相矛盾 所以逆命题为真命题 2 逆否命题 若f a