高中数学 章末归纳整合(九)课件 湘教版必修4.ppt

知识网络 章末归纳整合 1 数列的分类 要点归纳 学习数列应注意的问题 1 在学习时 应多结合实例 通过实例去理解数列的有关概念 数列与函数密切相关 多角度比较两者之间的异同 加深对两方面内容的理解 在解题或复习时 应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题 特别是对等差或等比数列的问题 运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论 不仅可以深化对数列知识的理解 而且可使这类问题的解答更为快速 合理 2 善于对比学习 学习等差数列后 再学等比数列时 可以等差数列为模型 从等差数列研究过的问题入手 再 2 探求出等比数列的相应问题 两相对照 可以发现 在这两种数列的定义 一般形式 通项形式 中项及性质中 用了一些相类似的语句和公式形式 但内容却不相同 之所以有这样的区别 原因在于 差 与 比 不同 通过对比学习 加深了对两种特殊数列本质的理解 会收到事半功倍的效果 3 要重视数学思想方法的指导作用 本章蕴含丰富的数学观点 数学思想和方法 学习时应给予充分注意 解题时多考虑与之相联系的数学思想方法 专题一求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中的解析式一样 有了解析式就可以研究函数的性质 而有了数列的通项公式便可以求出任何一项 所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口 常用的求数列通项公式的方法有 观察法 就是观察数列特征 找出各项共同的构成规律 归纳出通项公式 1 递推公式法 就是根据数列的递推公式 采用迭代 叠加 累乘 转化等方法产生an与a1 或sn 的关系 得出通项公式 3 2 方法点评已知数列的前n项和与数列通项的关系求通项时 要注意n 1与n 2两种情况的分类讨论 例1 已知数列 an 满足a1 1 an 3n 1 an 1 n 2 1 解 a1 1 a2 3 1 4 a3 32 4 13 2 证明由已知an an 1 3n 1 令n分别取2 3 4 n得a2 a1 31 a3 a2 32 a4 a3 33 an an 1 3n 1 例2 以上n 1个式子相加 得an a1 31 32 3n 1方法点评如果给出数列 an 的递推公式为an an 1 f n 型时 并且 f n 容易求和 这时可采用迭加法 例3 即an n n 1 当n 1时 a1 2适合上式 故an n n 1 n n 例4 方法点评根据已知条件构造一个与an有关的新的数列 通过新数列通项公式的求解求得 an 的通项公式 新的数列往往是等差数列或是等比数列 例如形如an pan 1 q p q为常数 的形式 往往变为an p an 1 构成等比数列 求an 通项公式 再求an 数列求和问题 是历年高考重点考查的内容之一 当然最基本的还是等差 等比数列的求和 直接利用前n项和公式来解决 我们一般称之为公式法 在此基础上 对于一些特殊的数列 我们有如下几种常用的求和方法 分组法 若数列 an 的通项公式形如an bn cn 也可是多项之和 而数列 bn cn 是等差或等比数列 那么 数列 an 的前n项和不就迎刃而解了吗 错位相减法 若数列 an 是通项公式形如an bn cn 而 bn 是等差数列 cn 是等比数列 则可采用此法 专题二数列求和 1 2 并项法 一般用于摆动数列的求和问题 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负项相消剩下首尾若干项 常见的拆项公式有 4 3 倒序相加法将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 它是等差数列求和公式的推广 以上是我们常用的几种求和方法 而每一种方法各有其适合的数列 观察通项公式的特点 是正确选用求和方法的关键 5 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 解 1 由题意 sn bn r 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以当n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 例5 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an与bn 解 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正数 an 3 n 1 d bn qn 1 例6 数列应用问题的学习已成为高中数学学习与研究的一个重要内容 现实生活中涉及银行利率 企业股金 产品利润 人口增长 工作效率 图形面积 曲线长度 堆积物品总数等实际问题 都需要用数列的知识加以解决 解答数列应用问题的核心是建立模型 解数列模型的应用题 要做到以下几点 1 认真审题 准确理解题意 认真筛选 收集和处理问题中提供的信息 善于把问题数学化 2 弄清题目中的主要已知事项 明确所求的结论是什么 3 将实际问题抽象为数列问题 将已知与所求联系起来 根据题意引出满足题意的数学关系式 4 在解数列应用题时 一般要经历 设 列 解 答 四个环节 专题三数列应用题 1 与等差数列有关的实际应用题有30根水泥电线杆 要运往1000米远的地方安装 在1000米处放一根 以后每50米放一根 一辆汽车每次只能运三根 如果用一辆汽车完成这项任务 完成任务后回到原处 那么这辆汽车的行程共为多少千米 例7 解如图所示 假定30根水泥电线杆存放在m处 则a1 ma 1000 a2 mb 1050 a3 mc 1100 a6 a3 50 3 1250 a30 a3 150 9 由于一辆汽车每次只能装3根 故每运一次只能到a3 a6 a9 a30 这些地方 这样组成公差为150 首项为1100的等差数列 令汽车的行程为s 则s 2 a3 a6 a30 2 a3 a3 150 1 a3 150 9 即这辆汽车的行程为35 5千米 方法点评对于与等差数列有关的应用题 要善于发现 等差 的信息 如 每一年比上一年多 少 一个比一个多 少 等 此时可化归为等差数列 明确已知a1 an n d sn中的哪几个量 求哪几个量 选择哪一个公式 2 与等比数列有关的实际应用题某人贷款5万元 分5年等额还清 贷款年利率为5 按复利计算 每年需还款多少元 精确到1元 解设每年还款x万元 第一年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 4万元 第二年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 3万元 第三年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 2万元 第四年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 万元 第五年偿还的x万元 还清贷款时仍为x万元 例8 于是x 1 0 05 4 x 1 0 05 3 x 1 0 05 2 x 1 0 05 x 5 1 0 05 5 方法点评一般地 当出现下列信息时 可化归为等比数列 1 增长率