高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用用课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 3直线与圆的方程的应用 类型一直线与圆的方程的实际应用 典型例题 1 2013 济宁高一检测 一辆卡车宽1 6m 要经过一个半圆形隧道 半径为3 6m 则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 a 1 4mb 3 5mc 3 6md 2 0m 2 某圆拱桥的示意图如图所示 该圆拱的跨度ab是36m 拱高op是6m 在建造时 每隔3m需用一个支柱支撑 求支柱a2p2的长 精确到0 01m 解题探究 1 题1中的条件放在圆中相当于已知哪些条件 2 与圆形有关的实际问题转化为数学问题的过程是什么 探究提示 1 已知圆的半径及弦长 2 建系 求点的坐标 求圆的方程 求得实际问题的结果 解析 1 选b 圆半径oa 3 6 卡车宽1 6 所以ab 0 8 所以弦心距ob 3 5 m 2 如图 以线段ab所在的直线为x轴 线段ab的中点o为坐标原点建立平面直角坐标系 那么点a b p的坐标分别为 18 0 18 0 0 6 设圆拱所在的圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 因为a b p在此圆上 故有解得故圆拱所在的圆的方程是x2 y2 48y 324 0 将点p2的横坐标x 6代入上式 解得y 24 5 39 m 答 支柱a2p2的长约为5 39m 拓展提升 建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则 1 若曲线是轴对称图形 则可选它的对称轴为坐标轴 2 常选特殊点作为直角坐标系的原点 3 尽量使已知点位于坐标轴上 建立适当的直角坐标系 会简化运算过程 变式训练 如图所示 一座圆拱桥 当水面在某位置时 拱顶离水面2m 水面宽12m 当水面下降1m后 水面宽为m 解析 如图所示 以圆拱拱顶为坐标原点 以过拱顶的竖直直线为y轴 建立直角坐标系 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 b 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 解得r 10 所以圆的方程为x2 y 10 2 100 当水面下降1m后 可设点a 的坐标为 x0 3 x0 0 将a 的坐标 x0 3 代入方程 求得x0 所以 水面下降1m后 水面宽为2x0 2 m 答案 2 类型二坐标法的应用 典型例题 1 在圆x2 y2 2x 6y 0内 过点e 0 1 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积为 a 5b 10c 15d 202 如图 直角 abc的斜边长为定值2m 以斜边的中点o为圆心作半径为n的圆 直线bc交圆于p q两点 求证 ap 2 aq 2 pq 2为定值 解题探究 1 过圆内某点的最长弦和最短弦分别是什么 2 与圆有关的平面几何问题能否转化为与圆的方程有关的问题求解 探究提示 1 过圆内某点的最长弦为过该点的直径 最短弦为与此直径垂直的弦 2 与圆有关的平面几何问题可通过建立适当的平面直角坐标系转化为与圆的方程有关的问题来求解 解析 1 选b 圆的方程化为 x 1 2 y 3 2 10 设圆心为g 易知g 1 3 最长弦ac为过e的直径 则 ac 最短弦bd为与ge垂直的弦 如图所示 易得 bg eg bd 2 be 所以四边形abcd的面积为s ac bd 2 如图 以o为坐标原点 以直线bc为x轴 建立平面直角坐标系 于是有b m 0 c m 0 p n 0 q n 0 设a x y 由已知 点a在圆x2 y2 m2上 ap 2 aq 2 pq 2 x n 2 y2 x n 2 y2 4n2 2x2 2y2 6n2 2m2 6n2 定值 拓展提升 用坐标法解决几何问题的思路用坐标法解决几何问题 要先建立适当的坐标系 用坐标表示出相应的几何元素 如点 直线 圆等 将几何问题转化为代数问题来解决 通过代数的运算得到结果 分析结果的几何意义 得到几何结论 变式训练 ab为圆的定直径 cd为圆的动直径 过点d作ab的垂线de 延长ed到点p 使 pd ab 求证 直线cp必过一定点 解题指南 由题意建立平面直角坐标系 将平面几何问题转化为解析几何知识求解 证明 以ab为x轴 圆心o为原点建立平面直角坐标系 设圆的半径为r 则a r 0 b r 0 设c x0 y0 则d x0 y0 所以p x0 y0 2r 当x0 0时 直线cp的方程为y y0 x x0 即x0 y r x y0 r 所以cp过直线y r 0和x 0的交点 即直线过定点 0 r 经验证当x0 0时 cp也过点 0 r 故直线cp必过一定点 与圆有关的最值问题 典型例题 1 已知点a 3 0 及圆x2 y2 4 则圆上一点p到点a距离的最大值是 最小值是 2 已知实数x y满足x2 y2 4x 1 0 则x y的最大值和最小值分别是 和 的最大值和最小值分别是 和 x2 y2的最大值和最小值分别是 和 解析 1 方法一 几何法 圆的半径为2 圆心到点a的距离为3 结合图形可知 圆上一点p到点a距离的最大值是3 2 5 最小值是3 2 1 方法二 代数法 设p x y 是圆上任意一点 则 pa 2 x 3 2 y2 x 3 2 4 x2 13 6x 因为 2 x 2 所以当x 2时 pa max2 25 则 pa max 5 当x 2时 pa min2 1 则 pa min 1 答案 51 2 1 设x y b 则y x b与圆x2 y2 4x 1 0有公共点 即所以故x y最大值为2 最小值为2 2 设 k 则y kx与x2 y2 4x 1 0有公共点 即所以 故最大值为 最小值为 3 圆心 2 0 到原点距离为2 半径r 故 2 2 x2 y2 2 2 由此x2 y2最大值为7 4 最小值为7 4 答案 拓展提升 利用直线与圆的方程解决最值问题的方法 1 由某些代数式的结构特征联想其几何意义 然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题 常涉及的几何量有斜率 截距 距离等 2 转化成函数解析式 利用函数的性质解决 易错误区 利用数形结合的解题误区 典例 方程 kx 2有惟一解 则实数k的范围是 a k b k 2 2 c k2d k2或k 3 解析 选d 由题意知 直线y kx 2与半圆x2 y2 1 y 0 只有一个交点 结合图形易得k2或k 误区警示 防范措施 1 数形结合的运用解答此类问题主要方法是数形结合 以形助数 通过对图形的分析来寻找解题思路 同时注意关键点的取舍 如本例漏掉相切的情况或相交时只有一个交点的情况而致错 2 注意隐含条件的挖掘本例中所给等式本身隐含着这一条件 若不注意挖掘则可能出现只根据直线与圆相切求解k而致错 类题试解 方程表示的曲线为 a 两个半圆b 一个圆c 半个圆d 两个圆 解析 选a 两边平方整理得 x 1 2 y 1 2 1 由 x 1 0得x 1或x 1 所以 x 1 2 y 1 2 1 x 1 或 x 1 2 y 1 2 1 x 1 所以为两个半圆 故选a 1 若直线y ax b通过第一 二 四象限 则圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的圆心位于第象限 a 一b 二c 三d 四 解析 选b 由于直线通过第一 二 四象限 所以a0 故圆心位于第二象限 2 若圆x2 y2 2x 4y 0的圆心到直线x y a 0的距离为则a的值为 a 2或2b 或c 2或0d 2或0 解析 选c 圆心为 1 2 利用点到直线的距离公式得化简得 a 1 1 解得a 0或a 2 3 过点m 1 2 的直线l将圆 x 2 2 y2 9分成两段弧 其中的劣弧最短时 直线l的方程为 解析 设圆心为n 2 0 由圆的性质得直线l mn时 形成的劣弧最短 由点斜式得直线l的方程为x 2y 3 0 答案 x 2y 3 0 4 圆x2 y2 16上的点到直线x y 3的距离的最大值为 解析 圆心到直线x y 3的距离为所以圆x2 y2 16上的点到直线x y 3的距离的最大值为答案 5 设村庄外围所在曲线的方程可用 x 2 2 y 3 2 4表示 村外一小路方程可用x y 2 0表示 则从村庄外围到小路的最短距离为 解析