高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 一 二面角 半平面 半平面 二面角 的棱 l p ab q p l q 任取 垂直于 aob oa ob oa l ob l 平面角 直角 判断 正确的打 错误的打 1 两个平面相交可以形成四个大小互不相等的二面角 2 二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成 3 二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关 4 二面角的平面角的大小就是该二面角的大小 提示 1 错误 两个平面相交可以形成四个二面角 类比 对顶角 可知这四个二面角中相对的两个二面角分别对应相等 2 正确 从运动的观点可知此说法正确 3 错误 如果两个角的两条边对应平行 那么这两个角相等或互补 利用此结论和二面角的平面角的定义可知 3 说法错误 4 正确 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 答案 1 2 3 4 二 平面与平面垂直1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与平面 垂直 记作 直二面角 2 判定定理 垂线 l 知识点拨 1 平面几何中的角和二面角的对比 2 二面角和它的平面角的画法画二面角和它的平面角 最常用以下两种形式 1 直立式 如图所示 2 平卧式 如图所示 3 剖析平面与平面垂直的定义 1 两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况 例如正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的 2 两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点 都是通过所成的角是直角定义的 4 详解平面与平面垂直的判定定理 1 本质通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 即线面垂直 面面垂直 2 证题思路处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题 进一步转化为处理线线垂直问题来解决 类型一二面角及其大小的计算问题 典型例题 1 如图所示 在三棱锥s abc中 sbc abc都是等边三角形 且bc 1 sa 则二面角s bc a的大小为 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角a b1c b的正弦值 解题探究 1 如何利用二面角的平面角的定义作二面角的平面角 2 除了利用二面角的平面角的定义作二面角的平面角 还可以用哪些方法 探究提示 1 首先在二面角的棱上取一点 然后在两个半平面内分别作棱的垂线 即可得二面角的平面角 2 1 作与棱垂直的平面与二面角的两个半平面相交 则此平面与两个半平面的交线所成的角或补角即为二面角的平面角 2 过二面角的一个面内一点作另一面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或补角 即垂线法 解析 1 取bc的中点o 连接so ao 因为ab ac o是bc的中点 所以ao bc 同理可证so bc 所以 soa是二面角s bc a的平面角 在 aob中 aob 90 abo 60 ab 1 所以ao 1 sin60 同理可求所以 soa是等边三角形 所以 soa 60 所以二面角s bc a的大小为60 答案 60 2 过b作bf b1c 垂足为f 连接af 因为abcd a1b1c1d1是正方体 所以ab 平面bb1c1c 又b1c 平面bb1c1c 所以b1c ab 又b1c bf ab bf b 所以b1c 平面abf 又af 平面abf 所以b1c af 所以 afb是二面角a b1c b的平面角 设正方体的棱长为a 在rt b1bc中 b1bc 90 bb1 bc a 所以f是b1c的中点 所以bf 在rt abf中 abf 90 ab a 所以二面角a b1c b的正弦值为 互动探究 题2中 试画出平面ab1c与平面a1b1c1d1的交线 并作出这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角 解析 1 连接a1c1 2 过b1作ef a1c1交d1a1的延长线于点e 交d1c1的延长线于点f 3 过a1作a1g ef 垂足为g 连接ag 如图所示 平面ab1c与平面a1b1c1d1的交线是直线ef 这两个平面相交所产生的锐二面角的平面角是 aga1 拓展提升 1 求二面角的步骤 简称为 一作二证三求 2 作二面角的三种常用方法 1 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 则 aob为二面角 l 的平面角 2 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 aob为二面角 l 的平面角 3 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的a点向另一个平面作垂线 垂足为b 由点b向二面角的棱作垂线 垂足为o 连接ao 则 aob为二面角的平面角或其补角 如图 aob为二面角 l 的平面角 变式训练 已知rt abc 斜边bc 点a ao o为垂足 abo 30 aco 45 求二面角a bc o的大小 解析 如图所示 在平面 内 过o作od bc 垂足为d 连接ad 设oc a 因为ao bc 所以ao bc 又因为ao od o 所以bc 平面aod 而ad 平面aod 所以ad bc 所以 ado是二面角a bc o的平面角 由ao ob oc 知ao ob ao oc 又 abo 30 aco 45 所以ao a ac ab 2a 在rt abc中 bac 90 所以所以 ado 60 即二面角a bc o的大小是60 类型二平面与平面垂直的定义及应用 典型例题 1 如图 abc是等腰直角三角形 bac 90 ab ac 1 将 abc沿斜边bc上的高ad折叠 使平面abd 平面acd 则折叠后bc 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e是aa1的中点 求证 平面c1bd 平面bde 解题探究 1 两个平面垂直的定义是什么 由面面垂直是否可以证明线线垂直 2 平面c1bd与平面bde相交所形成的二面角的平面角是否容易作出 据此如何选择证明面面垂直的方法 探究提示 1 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 由面面垂直可以证明线线垂直 即作出直二面角的平面角是直角 2 根据等腰三角形的性质较容易作出平面c1bd与平面bde相交所形成的二面角 据此可以用面面垂直的定义证明两个平面垂直 即证明两个平面相交所成的二面角的平面角是直角 解析 1 因为ad bc 所以ad bd ad cd 所以 bdc是二面角b ad c的平面角 因为平面abd 平面acd 所以 bdc 90 在 bcd中 bdc 90 所以答案 1 2 设ac bd o 则o为bd的中点 连接c1o eo c1e 因为eb ed 点o是bd的中点 所以bd eo 因为c1b c1d 点o是bd的中点 所以bd c1o 所以 c1oe即为二面角c1 bd e的平面角 因为e为aa1中点 设正方体的棱长为a 所以c1o2 eo2 c1e2 所以c1o oe 所以 c1oe 90 所以平面c1bd 平面bde 互动探究 若题1中将 abc沿与ac平行的中位线de折叠 使平面bde 平面acde 试求bc 解析 因为be de ae de 所以 aeb是二面角a de b的平面角 因为平面bde 平面acde 所以be 平面acde 所以be ec 在 bce中 bec 90 拓展提升 面面垂直定义的两个作用 1 证明面面垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角 然后证明此平面角是直角 2 证明线线垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角 然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角 类型三平面与平面垂直判定定理及应用 典型例题 1 如果直线l m与平面 满足 l l m m 那么必有 a 且l mb 且m c m 且l md 且 2 已知pa 矩形abcd所在平面 如图所示 图中互相垂直的平面有 a 1对b 2对c 3对d 5对 3 2013 淮阴高二检测 在四面体abcd中 cb cd ad bd 且e f分别是ab bd的中点 求证 1 直线ef 平面acd 2 平面efc 平面bcd 解题探究 1 应用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的关键是什么 2 要证面面垂直关系首先要分析出什么位置关系 3 用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的基本步骤是什么 探究提示 1 应用判定定理证明面面垂直的关键是证明线面垂直关系 2 首先要分析题中的线面垂直关系 3 首先根据题意分析哪个平面的垂线容易证明 然后证明线面垂直 最后说明该直线在某平面内得到两个平面垂直 解析 1 选a 因为m m 所以 因为l m 所以l m 所以a正确 记 n 因为l l 所以l n 根据以上分析可画出草图如下 其中平面 可绕直线l转动 所以m 都是不成立的 所以b c d都是错误的 2 选d 因为da ab da pa 又因为pa ab a 所以da 平面pab 同理ab 平面pad 又dc ab bc ad 所以dc 平面pad bc 平面pab 所以平面abcd 平面pad 平面abcd 平面pab 平面pbc 平面pab 平面pdc 平面pad 平面pab 平面pad 3 1 因为e f分别是ab bd的中点 所以ef是 abd的中位线 所以ef ad 因为ef 平面acd ad 平面acd 所以直线ef 平面acd 2 因为ad bd ef ad 所以ef bd 因为cb cd f是bd的中点 所以cf bd 又ef cf f 所以bd 平面efc 因为bd 平面bcd 所以平面efc 平面bcd 互动探究 题2中 若abcd是正方形 则互相垂直的平面会增加吗 若增加 试进行证明 解析 会增加 平面pbd 平面pac 证明如下 若abcd是正方形 则bd ac 又bd pa pa ac a 所以bd 平面pac 又bd 平面pbd 所以平面pbd 平面pac 拓展提升 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤 变式训练 如图 棱柱abc a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形 b1c a1b 证明 平面ab1c 平面a1bc1 证明 因为bcc1b1是菱形 所以b1c bc1 又b1c a1b 且bc1 a1b b 所以b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 所以平面ab1c 平面a1bc1 规范解答 平面与平面垂直的判定问题 典例 条件分析 规范解答 1 由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 2分又因为dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 3分由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 4分又因为dc bc c 所以dc1 平面bdc 6分 因为dc1 平面bdc1 所以平面bdc 平面bdc1 8分 2 设棱锥b dacc1的体积为v1 ac 1 由题意得 10分又三棱柱abc a1b1c1的体积v 1 所以 v v1 v1 1 1 11分所以平面bdc1分此棱柱为两部分体积之比为1 1 12分 失分警示 防范措施 1 选准线面垂直关系证明面面垂直首先考虑用判定定理 此时要根据题目条件恰当选择哪个平面的垂线更容易证明 例如本题中平面bdc的垂线dc1可以由题目条件证明 2 重视线段之间的长度关系线段的长度关系往往可以反映出三角形或四边形的形状 进而可以推出某些角的大小 例如本题中 acd和 a1c1d都是等腰直角三角形 由此可推出 cdc1 90 3 巧用割补法求几何体的体积求不规则几何体的体积通常要用割补法转化为规则几何体的体积问题 例如本题中不规则几何体的体积 棱柱的体积 棱锥b dacc1的体积 类题试解 2013 潍坊高一检测 如图 圆锥的轴截面sab为等腰直角三角形 q为底面圆周上一点 1 若qb的中点为c 求证 平面soc 平面sbq 2 若 aoq 120 qb 求圆锥的表面积 解析 1 因为sq sb oq ob c为qb的中点 所以qb sc qb oc 因为sc oc c 所以qb 平面soc 又因为qb 平面sbq 所以平面soc 平面sbq 2 因为 aoq 120 qb 所以 boq 60 即 obq为等边三角形 所以ob 因为 sab为等腰直角三角形 所以sb 1 以下角 异面直线所成角 直线和平面所成角 二面角的平面角 可能为钝角的有 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 选b 异面直线所成角是锐角或直角 直线和平面所成角是锐角或直角或0 角 二面角的平面角可能是钝角 2 自二面角棱l上任选一点o 若 aob是二面角 l 的平面角 则必须具有条件 a ao bo ao bo b ao l bo lc ab l ao bo d ao l bo l 且ao bo 解析 选d 根据二面角的相关概念进行分析判断 在棱的同一点分别在两个半平面作棱的垂线 3 已知a b c a b a c 则 a b c 与 相交d 以上都有可能 解析 选d b c a b a c 若b c相交 则a 从而判断 又 或 与 相交时 可以存在a b a c 所以以上都有可能 4 正方体abcd a1b1c1d1的六个面中 与平面abcd垂直的面的个数是 解析 与面abcd垂直的面有 面abb1a1 面bcc1b1 面cdd1c1 面daa1d1 共4个 答案 4 5 如图所示 在三棱锥p abc中 pa 平面abc abc 90 该三棱锥中的四个面中与平面pab垂直的平面有 解析 因为pa 平面abc bc 平面abc 所以b