高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第一章 1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件 新人教A版必修2.ppt

第一章空间几何体1 1空间几何体的结构第1课时棱柱 棱锥 棱台的结构特征 一 空间几何体1 空间几何体定义 若只考虑物体的 而不考虑其他因素 那么由这些物体抽象出来的 就叫做空间几何体 形状和大小 空间图形 2 多面体和旋转体 平面多边形 多边形 公共边 定直线 封闭几何体 定直线 顶点 棱 面 轴 公共点 思考 多面体最少有几个面 几个顶点 几条棱 提示 多面体最少有4个面 4个顶点 6条棱 二 棱柱 棱锥 棱台的结构特征 平行 四边形 平行 abcdef a b c d e f 平行 其余各面 公共边 侧面 边数 三棱柱 四棱柱 侧面 侧棱 底面 顶点 多边形 一个公共顶 点 s abcd 多边形面 公共顶 公共边 公共顶点 点 abcd a b c d 判断 正确的打 错误的打 1 棱柱可以看作由平面图形平移得到 2 棱柱的侧面不一定都是平行四边形 3 棱台的上下底面互相平行 且各侧棱延长线相交于一点 提示 1 正确 棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体 2 错误 棱柱的侧面都是平行四边形 3 正确 由棱台的定义可知 答案 1 2 3 知识点拨 1 对多面体的理解多面体是由平面多边形围成的 这里的多边形包括它的内部的平面部分 2 旋转体与多面体的异同 1 相同点 两者都是封闭的几何体 包括表面及其内部的所有点 2 区别 多面体的表面是平面图形 而旋转体的表面有曲面 也可以有平面图形 3 透析棱柱的结构特征 1 有两个平面 底面 互相平行 2 其余各面都是平行四边形 3 每相邻两个平行四边形的公共边互相平行 4 常见的思维误区 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形 由这些面所围成的多面体不一定是棱柱 这是因为 其余各面都是平行四边形 并不等价于 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 如图 4 透析棱锥的结构特征 1 有一个面 底面 是多边形 2 其余各面 侧面 是有一个公共顶点的三角形 3 棱锥仅有一个顶点 它是各侧面的公共顶点 与底面多边形的顶点不同 与多面体的顶点 棱与棱的公共点 也不同 4 常见的思维误区 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥 这是因为 其余各面都是三角形 并不等价于 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 如图 5 透析棱台的结构特征 1 上下底面互相平行 且是相似图形 2 各侧棱延长线相交于一点 3 由棱台的特征 判断一个几何体是否为棱台的常用方法为还原棱锥法 延长各侧棱看能否还原成棱锥 如图所示的两个几何体就不是棱台 6 棱台的画法画棱台时 可先画一个棱锥 然后在它的一条侧棱上取一点 从这点开始 顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段 最后将多余的线段擦去 7 棱柱 棱锥 棱台之间的关系在运动变化的观点下 棱柱 棱锥 棱台之间的关系可以用下图表示出来 以三棱柱 三棱锥 三棱台为例 类型一棱柱的结构特征 典型例题 1 下列说法正确的是 a 棱柱的侧面都是矩形b 棱柱的侧棱都相等c 棱柱的各个面都是平行四边形d 棱柱的侧棱总与底面垂直 2 已知三棱柱有5个面 6个顶点 9条棱 四棱柱有6个面 8个顶点 12条棱 五棱柱有7个面 10个顶点 15条棱 由此可以推测n棱柱有个面 个顶点 条棱 解题探究 1 棱柱定义中的三个要点是什么 2 棱柱的面 顶点 棱是怎样定义的 探究提示 1 1 有两个平面 底面 互相平行 2 其余各面都是平行四边形 3 每相邻两个平行四边形的公共边互相平行 2 两个互相平行的面是底面 其余各面是侧面 相邻侧面的公共边叫做侧棱 侧面与底面的公共顶点叫做顶点 解析 1 选b 由棱柱的定义知 棱柱的侧面都是平行四边形 故a不正确 而平行四边形的对边相等 故侧棱都相等 所以b正确 对选项c 底面不一定是平行四边形 所以错误 棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直 故d不正确 2 n棱柱的底面是n边形 所以有两个底面和n个侧面 共n 2个面 2n个顶点 2n n 3n条棱 答案 n 22n3n 拓展提升 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 1 紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 两个面互相平行 其余各面是四边形 相邻两个四边形的公共边互相平行 求解时 首先看是否有两个平行的面作为底面 再看是否满足其他特征 2 多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除 变式训练 下面没有体对角线的一种几何体是 a 三棱柱b 四棱柱c 五棱柱d 六棱柱 解析 选a 三棱柱只有面对角线 没有体对角线 类型二棱锥 棱台的结构特征 典型例题 1 棱台不具有的性质是 a 两底面相似b 侧面都是梯形c 侧棱长都相等d 侧棱延长后交于一点 2 下列几种说法中正确的有 1 用一个平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2 棱台的侧面一定不会是平行四边形 3 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 a 0个b 1个c 2个d 3个 解题探究 1 棱台是如何定义的 2 棱锥和棱台有哪些结构特征 探究提示 1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫做棱台 2 棱锥具有以下特征 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台具有的特征有 1 上下底面互相平行 且是相似图形 2 各侧棱延长线相交于一点 解析 1 选c 棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的 棱锥的侧棱长不一定相等 所以棱台的侧棱长也不一定相等 a b d选项都正确 2 选b 必须用一个平行于底面的平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分才是棱台 故 1 不正确 棱台的侧面一定是梯形 故 2 正确 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台 因为各条侧棱不一定相交于一点 故 3 不正确 拓展提升 关于棱锥 棱台结构特征题目的判断方法 1 举反例法结合棱锥 棱台的定义举反例直接判断关于棱锥 棱台结构特征的某些说法不正确 2 直接法 变式训练 试判断下列说法正确与否 由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥 两个底面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体是棱台 解题指南 要判断说法为假时 可以举反例 或借助于周围的实物判断 解析 不正确 由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱 不正确 两个底面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体 侧棱不一定相交于一点 所以不一定是棱台 类型三空间几何体的平面展开图 典型例题 1 如图是三个几何体的平面展开图 则原几何体应为 1 2 3 2 在以o为顶点的三棱锥中 过o的三条棱两两的交角都是30 在一条棱上有a b两点 oa 4 ob 3 以a b为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周 绳和侧面无摩擦 求此绳在a b之间的最短绳长 解题探究 1 已知展开图 如何确定原几何体的形状 2 求题2中的绳子在a b之间的最短绳长可如何转化 探究提示 1 若是给出多面体的平面展开图 来判断是由哪一个多面体展开的 则可把上述过程逆推 2 可把该几何体的三个侧面展开为平面图 转化为平面上两点之间的距离 线段最短求解 解析 1 如图 故 1 是五棱柱 2 是五棱锥 3 是三棱台 答案 1 五棱柱 2 五棱锥 3 三棱台 2 作出三棱锥的平面展开图 如图 a b两点间的最短绳长就是线段ab的长度 oa 4 ob 3 aob 90 所以ab 5 即此绳在a b间最短的绳长为5 互动探究 若题2中 a b两点重合且oa ob 4 以a为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周回到a 绳和侧面无摩擦 最短绳长为多少 解析 因为 aob 90 oa ob 4 所以ab 4 即此绳在a b间最短的绳长为4 拓展提升 立体图形的展开及其应用 1 立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的好方法 2 解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征 进行空间想象 或制作平面展开图进行实践 3 多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题 因此解决这类问题的方法就是先把多面体侧面展开成平面图形 再用平面几何的知识来求解 变式训练 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示 a b c是展开图上的三点 在正方体盒子中三角形的形状为 填 等边三角形 等腰三角形 或 直角三角形 解析 由图知 分别连接a b c三点 ab bc ca是正方体盒子的面对角线 所以 abc为等边三角形 答案 等边三角形 棱柱间的关系 典型例题 1 若一个平行六面体的四个侧面都是正方形 则这个平行六面体是 a 正方体b 正四棱锥c 长方体d 直平行六面体 2 下列命题中正确的个数是 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 a 1b 2c 3d 4 解析 1 选d 四个侧面都是正方形 底面可以是菱形也可以是正方形 故a b c都不对 2 选a 不正确 除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体 不正确 当底面是菱形时就不是正方体 不正确 是两条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面 故不一定是直平行六面体 正确 因为对角线相等的平行四边形是矩形 由此可以推断此时的平行六面体是直平行六面体 拓展提升 几种常见四棱柱间的关系 易错误区 棱柱 棱锥 棱台结构特征理解不清而致误 典例 对棱柱而言 下列说法正确的序号是 1 有两个平面互相平行 其余各面都是平行四边形 2 所有的棱长都相等 3 棱柱中至少有2个面的形状完全相同 4 相邻两个面的交线叫做侧棱 解析 1 正确 根据棱柱的定义可知 2 错误 因为侧棱与底面上棱长不一定相等 3 正确 根据棱柱的特征知 棱柱中上下两个底面一定是全等的 棱柱中至少有两个面的形状完全相同 4 错误 因为底面和侧面的交线不是侧棱 答案 1 3 误区警示 防范措施 1 准确理解概念对于概念的关键词要深入理解 把握好概念的内涵和外延 如本例的棱柱的侧棱的概念 是指相邻侧面的公共边 而底面与侧面的交线就不是侧棱 2 准确把握几何体的结构特征对于棱柱 棱锥 棱台的结构特征 要结合定义对比掌握 如本例中对于棱柱而言 所有侧面都是平行四边形 但不一定是长方形 只有直棱柱各个侧面才是长方形 类题试解 如图所示 对几何体的说法正确的序号为 1 这是一个六面体 2 这是一个四棱台 3 这是一个四棱柱 4 此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到 5 此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到 解析 1 正确 因为有六个面 属于六面体 2 错误 因为侧棱的延长线不能交于一点 所以不正确 3 正确 如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱 4 5 都正确 如图所示 答案 1 3 4 5 1 在棱柱中满足 a 只有两个面平行b 所有面都平行c 所有面都是平行四边形d 两底面平行 且各侧棱也相互平行 解析 选d 底面是平行四边形的四棱柱 有三对互相平行的平面 故a错误 棱柱的相邻侧面不平行 故b错误 三棱柱 五棱柱等棱柱 底面不是平行四边形 故c错误 d正确 2 下列命题中正确的是 a 棱柱的底面一定是平行四边形b 棱锥的底面一定是三角形c 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥d 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 解析 选d 棱锥 棱柱的底面是多边形即可 故a b不正确 过棱锥的顶点的平面可以将棱锥分成两个棱锥 故c不正确 3 下列图形中 不是三棱柱的展开图的是 解析 选c 根据三棱柱的结构特征知 a b d中的展开图都可还原为三棱柱 但是c中展开图还原后的几何体没有下底面 故不是三棱柱的展开图 4 四棱台有个顶点 个面 条边 解析 四棱台有8个顶点 6个面 12条边 答案 8612 5 如图 这是一个正方体的表面展开图 若再把它折回成正方体后 有下列说法 点h与点c重合 点d与点m与点r重合 点b与点q重合 点a与点s重合 其中正确的序号是 解析 若将正方体的六个面分别记