高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）阶段复习课 第二章 点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

阶段复习课第二章 答案速填 确定平面的条件 异面直线 直线在平面内 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的性质定理 平面与平面平行的判定定理 若 l 则l 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的定义 若l l 则 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理 二面角 类型一空间点 直线 平面的位置关系1 公理的应用 1 证明共面问题 证明共面问题的方法一般有两种 一是由某些元素确定一个平面 再证明其余元素在这个平面内 二是分别由不同元素确定若干个平面 再证明这些平面重合 2 证明三点共线问题 通常证明这些点都在两个平面的交线上 即先确定出其中两点在某两个平面的交线上 再证明第三个点是这两个平面的公共点 则第三点必然在这两个平面的交线上 3 证明三线共点问题 证明空间三线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过这点 把问题转化为证明点在直线上的问题 2 空间中的点 线 面位置关系的判定 1 首先清楚线线 线面 面面的位置关系及分类标准 其次在判定时不但要根据位置关系的定义 还要根据具体的题目条件及线线 线面 面面的判定及性质定理 2 在判定点 线 面的位置关系时 要特别注意思维的严谨性 要注意线线 线面 面面判定及性质定理应用的前提条件 典例1 如图 已知平面 且 l 设梯形abcd中 ad bc 且ab cd 求证 ab cd l共点 相交于一点 证明 因为梯形abcd中 ad bc 所以ab cd是梯形abcd的两腰 所以ab cd必定相交于一点 设ab cd m 又因为ab cd 所以m 且m 所以m 又因为 l 所以m l 即ab cd l共点 类型二平行关系空间中平行关系之间的相互转化 典例2 2013 万州高二检测 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 1 b c h g四点共面 2 平面efa1 平面bchg 证明 1 因为g h分别是a1b1 a1c1的中点 所以gh b1c1 因为abc a1b1c1是棱柱 所以b1c1 bc 所以gh bc 所以b c h g四点共面 2 因为e f分别是ab ac的中点 所以ef bc 又ef 平面bchg bc 平面bchg 所以ef 平面bchg 因为四边形abb1a1是平行四边形 e g分别是ab a1b1的中点 所以四边形a1ebg是平行四边形 所以a1e gb 又a1e 平面bchg gb 平面bchg 所以a1e 平面bchg 又a1e ef e 所以平面efa1 平面bchg 类型三垂直关系1 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 2 证明线面垂直的方法 1 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 2 判定定理1 3 判定定理2 a b a b 4 面面平行的性质 a a 5 面面垂直的性质 l a a l a 3 面面垂直的证明方法 1 利用定义 在其中一个平面内找另一个平面的垂线 2 利用面面垂直的判定定理 证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 典例3 2013 安庆高一检测 如图 四棱锥p abcd的底面为矩形 且ab bc 1 e f分别为ab pc的中点 1 求证 ef 平面pad 2 若平面pac 平面abcd 求证 平面pac 平面pde 证明 1 取线段pd的中点m 连接fm am 因为f为pc的中点 所以fm cd 且fm cd 因为四边形abcd为矩形 e为ab的中点 所以ea cd 且ea cd 所以fm ea 且fm ea 所以四边形aefm为平行四边形 所以ef am 又am 平面pad ef 平面pad 所以ef 平面pad 2 设ac de相交于g 在矩形abcd中 因为ab bc e为ab的中点 所以又 dae cda 所以 dae cda 所以 ade dca 又 ade cde adc 90 所以 dca cde 90 由 dgc的内角和为180 得 dgc 90 即de ac 因为平面pac 平面abcd 因为de 平面abcd 所以de 平面pac 又de 平面pde 所以平面pac 平面pde 类型四空间角的计算1 两条异面直线所成的角 1 定义 直线a b是异面直线 经过空间一点o 分别作a a b b 相交直线a b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 2 范围 0 90 3 方法 平移法 在图中选一个恰当的点 通常是线段端点或中点 作a b的平行线 构造一个三角形 并解三角形求角 2 直线与平面所成的角斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角 求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影 即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足 通常是解由斜线段 垂线段 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形 3 二面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 二面角的大小用它的平面角来衡量 2 方法 定义法 在棱cd上找一点o 在两个面内分别作棱的垂线ao bo 则 aob为二面角 cd 的平面角 垂面法 过棱上一点作棱的垂面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 典例4 2013 成都高一检测 如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的一动点 1 证明 pbc是直角三角形 2 若pa ab 2 且当直线pc与平面abc所成角的正切值为时 求直线ab与平面pbc所成角的正弦值 解析 1 因为ab是 o的直径 c是圆周上不同于a b的一动点 所以bc ac 因为pa 平面abc 所以bc pa 又pa ac a 所以bc 平面pac 所以bc pc 所以 pbc是直角三角形 2 如图 过a作ah pc于h 因为bc 平面pac 所以bc ah pc bc c 所以ah 平面pbc 所以 abh是直线ab与平面pbc所成角 因为pa 平面abc 所以 pca即是pc与平面abc所成角 因为又pa 2 所以所以在rt pac中 所以在rt abh中 即ab与平面pbc所成角的正弦值为 类型五转化与化归思想的应用转化与化归思想在本章的应用转化思想是一个极其重要的数学思想 在立体几何中这一思想显得尤为重要 它是学好本章的关键所在 本章的转化思想主要体现在以下几个方面 1 文字语言 图形语言 符号语言的互相转化 本章出现的定理和性质都是以文字形式给的 证明之前必须先把它们转化为图形语言 再转化为符号语言 这是一种学习立体几何的基本功训练 不可等闲视之 2 空间问题与平面问题的互相转化 处理立体几何问题 往往转化为平面问题来解决 要注意积累转化手段 例如 通过截面 展开 射影等手段 将空间中分散的条件集中到同一平面上来 3 线线 线面 面面 之间的互相转化 立体几何问题的有关证明中 面面垂直 通常转化为 线面垂直 而 线面垂直 通常转化为 线线垂直 二面角 和 线面角 通常转化为 线线角 典例5 如图 矩形abcd中 ad 平面abe ae eb bc 2 f为ce上的点 且bf 平面ace ac bd交于点g 1 求证 ae 平面bce 2 求证 ae 平面bfd 3 求三棱锥c bgf的体积 解析 1 因为ad 平面abe ad bc 所以bc 平面abe 因为ae 平面abe 所以ae bc 又因为bf 平面ace 所以ae bf 又因为bc bf b bc bf 平面bce 所以ae 平面bce 2 依题意可知 g是ac中点 由bf 平面ace知 ce bf 而bc be 所以f是ec的中点 所以在 aec中 fg ae 又因为fg 平面bfd ae 平面bfd 所以ae 平面bfd 3 由 2 知ae fg 又因为ae 平面bce 所以fg 平面bce 即fg 平面bcf 因为g是ac的中点 f是ce的中点 所以fg ae且fg ae 1 又知在rt bce中 跟踪训练 1 2013 佛山高二检测 已知a b c d是空间中的四条直线 若a c b c a d b d 那么 a a b或c db a b c d中任意两条都有可能平行c a b 且c dd a b c d中至多有两条平行 解析 选a 若a b 则c与d的位置关系不定 若a与b相交 则c与d都垂直于a与b确定的平面 所以c d 若a与b异面 则在空间中取一点o作a a b b 则a 与b 相交确定一个平面 c与d都垂直于这个平面 于是c d 2 2013 运城高一检测 如图 直线pa垂直于圆o所在的平面 abc内接于圆o 且ab为圆o的直径 点m为线段pb的中点 现有以下结论 bc pc om 平面apc 点a到平面pbc的距离就是 pac的pc边上的高 二面角p bc a的大小不可能为45 其中正确结论的个数为 a 3b 2c 1d 0 解析 选a 因为直线pa垂直于圆o所在的平面 abc内接于圆o 且ab为圆o的直径 点m为线段pb的中点 则 bc pc 成立 om 平面apc 成立 点a到平面pbc的距离就是 pac的pc边上的高 成立 二面角p bc a的大小不可能为45 不成立 3 已知l是一条直线 是两个不同的平面 若从 l l 中选取两个作为条件 另一个作为结论 试写出一个你认为正确的结论 解析 可以构成以下三个结论 1 若l l 则 正确 由l 知 过l作平面与 相交于直线m 因为l 所以m 所以 2 若l 则l 错误若l 则l 或l 3 若 l 则l 错误 若 l 则l与 相交 平行或l 答案 若l l 则 4 如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc bac 90 ab ac d e分别是bc ab的中点 ac ad 设pc与de所成的角为 pd与平面abc所成的角为 二面角p bc a的平面角为 则 的大小关系是 解析 因为d e分别是bc ab的中点 所以de ac 所以pc与de所成的角为 pca 即 因为pa 平面abc 所以pd与平面abc所成的角为 pda 即 过a作ah bc 垂足为h 连接ph 易证bc 平面pah 所以 pha是二面角p bc a的平面角 即 因为ab ac 所以ad ah 又ac ad 所以ac ad ah 所以所以tan tan tan 所以 答案 5 2013 哈尔滨高一检测 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc 且aa1 ab bc ac a 点e是棱ab的中点 1 求证 bc1 平面a1ce 2 求三棱锥e a1cc1的体积 解析 1 连接ac1交a1c于点f 连接ef 因为e是ab的中点 f是ac1的中点 所以ef bc1 又因为ef 平面a1ce bc1 平面a1ce 所以bc1 平面a1ce 2 过e作eg ac于g 因为aa1 平面abc eg 平面abc 所以aa1 eg 因为eg ac ac aa1 a 所以eg 平面aa1c1c 在等边 abc中 e是ab中点 eg ac ab a 6 2013 焦作高一检测 如图所示 正三棱锥a bcd bad 30 ab a 平行于ad bc的截面efgh分别与ab bd dc ca交于e f g h四点 1 证明 四边形efgh为矩形 2 设p是ad上一点 当ap为何值时 平面pbc 平面efgh 解析 1 因为bc 平面efgh bc 平面abc 平面abc 平面efgh eh 所以bc eh 同理bc fg 所以eh fg 同理可得ad