高中数学 3.3 一元二次不等式及其解法课件 新人教B版必修5.ppt

3 3一元二次不等式及其解法 课标要求 1 掌握一元二次不等式的解法 2 了解三个 二次 的关系 会用三者关系解决问题 3 会解与一元二次不等式有关的恒成立问题 核心扫描 1 解简单的一元二次不等式 重点 2 利用三个 二次 的关系解决相关问题 难点 自学导引1 一元二次不等式 1 一元二次不等式的一般形式为或 其中a b c为常数且a 0 2 任何一个二次项系数为负数的一元二次不等式都可以通过 化成二次项系数为正数的一元二次不等式 2 一元二次不等式的解集设方程ax2 bx c 0 a 0 的实根为x1 x2且x10 a 0 的解集为 2 不等式ax2 bx c0 的解集为 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 两边同乘 1 x xx2 x x1 x x2 试一试 一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程之间有何关系 提示 想一想 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为r的含义是什么 提示当一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为r 则ax2 bx c 0恒成立 其对应函数y ax2 bx c的图象在x轴上方 即二次函数开口向上 与x轴无交点 所以a 0且 b2 4ac 0同时成立 名师点睛1 解一元二次不等式解一元二次不等式的基本步骤是 1 将所给出的一元二次不等式化为二次项系数为正的形式 即化成ax2 bx c 0 0的形式 2 计算 b2 4ac 判断方程根的情况 并求出根x1 x2 3 不等式大于0时 解集在 两根之外 即大于大根 小于小根 或解集为r 不等式小于0时 解集在 两根之间 或解集为 2 对高次不等式常用 穿根法 基本步骤为 1 将不等式化为标准形式 一端为0 另一端为一次因式 因式中x的系数为正 或二次不可约因式的乘积 2 求出各因式为0时的实数根 并在数轴上标出 3 自最右端上方起 用曲线从右至左依次由各根穿过数轴 遇奇次重根一次穿过 遇偶次重根穿而不过 奇过偶不过 4 记数轴上方为正 下方为负 根据曲线显现出的正数值的符号变化规律写出不等式的解集 题型一解一元二次不等式 例1 解下列不等式 1 x2 5x 14 2 x2 7x 6 3 4x2 4x 1 0 4 x2 6x 10 0 思路探索 按一元二次不等式的解法求解 解 1 原不等式可化为x2 5x 14 0 方程x2 5x 14 0的两个根是 2 7 所以不等式x2 5x 14 0的解集是 x x 7或x 2 2 原不等式可化为x2 7x 6 0 对应的二次方程为x2 7x 6 0 根为1 6 不等式x2 7x 6 0的解集为 x 1 x 6 规律方法一元二次不等式的解法一般按照 三步曲 第一步 化二次项的系数为正数 第二步是求解相应的一元二次方程的根 第三步 根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集 变式1 解下列不等式 1 2x2 3x 2 0 2 x2 4x 4 0 3 x2 2x 30 思路探索 将分式不等式转化成整式不等式直接求解 题型三二次不等式恒成立问题 例3 设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 2 对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 审题指导本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题及二次函数在区间内最值的求法 题后反思 含参数的二次不等式在某区间内恒成立 常有两种处理方法 是利用二次函数在区间上的最值来处理 是分离出参数再求函数的最值 变式3 不等式 m2 2m 3 x2 m 3 x 1 0对一切实数x恒成立 求m的取值范围 方法技巧分类讨论思想在解一元二次不等式中的应用解含参数的一元二次不等式时 仍按照一般不等式的方法求解 要注意参数的影响 要注意按字母的取值情况进行分类讨论 分类时要不重不漏 引起分类因素以及讨论的方法是 1 若二次项系数为字母a 则应分a 0 a 0 a0 0三种情况讨论 3 若一元二次方程的两个实根大小不确定 也应分三种情况讨论 示例 解下列关于x的不等式 a r 1 2x2 ax 2 0 2 x2 a a2 x a3 0 思路分析 由于题中有参数a 注意进行分类讨论 解答本题通过因式分解 结合二次图像分类讨论求解 2 将不等式x2 a a2 x a3 0变形为 x a x a2 0 当aa2 当0a2 解集为 x xa 当a 1时 有aa2 当a 0时 解集为 x x