高中数学 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性课件 新人教A版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修1 集合与函数概念 第一章 1 1 1集合的概念 1 3函数的基本性质 第一章 1 1 1集合的概念 1 3 2奇偶性第一课时函数的奇偶性 第一章 1 1 1集合的概念 课标展示1 理解函数的奇偶性及其几何意义 会判断函数的奇偶性 2 了解奇函数和偶函数图象的对称性 温故知新旧知再现1 轴对称图形 如果一个图形上的任意一点关于某一条 的对称点仍是这个图形上的点 就称该图形关于该直线成轴对称图形 这条直线称作该轴对称图形的 2 中心对称图形 如果一个图形上的任意一点关于某一 的对称点仍是这个图形上的点 就称该图形关于该点成中心对称图形 这个点称作该中心对称图形的 3 点p a b 关于y轴的对称点为p 关于原点的对称点p 直线 对称轴 对称中心 a b a b 点 新知导学1 偶函数和奇函数 任意 f x f x y轴 原点 名师点拨 1 奇函数和偶函数的定义中的 任意 是指定义域中所有的实数 由于f x 与f x 有意义 则 x与x同时属于定义域 即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 2 函数f x 是偶函数 对定义域内任意一个x 都有f x f x 0 f x 的图象关于y轴对称 3 函数f x 是奇函数 对定义域内任意一个x 都有f x f x 0 f x 的图象关于原点对称 2 奇偶性 奇偶性 归纳总结 基本初等函数的奇偶性如下 自我检测1 函数y f x x 1 a a 1 是奇函数 则a等于 a 1b 0c 1d 无法确定 答案 c 2 下列条件 可以说明函数y f x 是偶函数的是 a 在定义域内存在x使得f x f x b 在定义域内存在x使得f x f x c 对定义域内任意x 都有f x f x d 对定义域内任意x 都有f x f x 答案 d 3 函数y x是 a 奇函数b 偶函数c 奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 答案 a4 函数f x x2 2mx 4是偶函数 则实数m 答案 0 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 2 f x x3 3x x 4 4 3 f x x 2 x 2 函数奇偶性的判断 典例探究 1 解析 1 函数f x x 1的定义域为实数集r 关于原点对称 因为f x x 1 x 1 f x x 1 即f x f x f x f x 所以函数f x x 1既不是奇函数又不是偶函数 2 因为函数的定义域不关于原点对称 即存在 4 4 4 而4 4 4 所以函数f x x3 3x x 4 4 既不是奇函数又不是偶函数 3 函数f x x 2 x 2 的定义域为实数集r 关于原点对称 因为f x x 2 x 2 x 2 x 2 f x 所以函数f x x 2 x 2 是偶函数 领悟整合 分段函数的奇偶性应分段说明f x 与f x 的关系 只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时 才能判断函数的奇偶性 否则该分段函数既不是奇函数又不是偶函数 规律总结 函数奇偶性判断的方法 1 定义法 2 图象法 即若函数的图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 此法多用在解选择填空题中 1 设定义在r上的函数f x x 则f x a 是奇函数 又是增函数b 是偶函数 又是增函数c 是奇函数 又是减函数d 是偶函数 但不是减函数 1 答案 1 d 2 奇函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数 奇函数 定义域为r 关于原点对称 但f x x4 x x4 x f x x4 x x4 x 故其不具有奇偶性 定义域为r 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 故该函数为奇函数 2 已知偶函数f x 图 1 和奇函数g x 图 2 在y轴右边的一部分图象 试根据偶函数和奇函数的性质 分别作出它们在y轴左边的图象 奇 偶 函数图象的对称性 2 解析 1 根据偶函数图象关于y轴对称的性质 画出函数在y轴左边的图象 如图 1 2 根据奇函数的图象关于原点对称的性质 画出函数在y轴左边的图象 如图 2 规律总结 由函数奇偶性的对称性质 找到函数的最高 低点与x轴y轴的交点作出对称 1 如图 是奇函数y f x 的部分图象 则f 4 f 2 2 如图 是偶函数y f x 的部分图象 比较f 1 与f 3 的大小的结果为 答案 1 2 2 f 3 f 1 解析 1 奇函数的图象关于原点对称 且奇函数f x 图象过点 2 1 和 4 2 必过点 2 1 和 4 2 f 4 f 2 2 1 2 2 偶函数f x 满足f 3 f 1 f 3 f 1 点评 1 可由奇函数的性质 先去掉函数记号 f 内的负号 f 4 f 2 f 4 f 2 f 4 f 2 2 1 2 已知f x x5 ax3 bx 8 且f 2 10 则f 2 等于 a 26b 18c 10d 10 利用函数奇偶性的定义求值或参数 1 若函数f x ax2 bx 3a b是偶函数 定义域为 a 1 2a 则a b 2 设函数f x 是奇函数 若f 2 f 1 3 f 1 f 2 3 则f 1 f 2 3 若f x m 2 x2 3mx 1为偶函数 则它的单调递增区间是 3 2 因为f x 是奇函数 所以f x f x 所以f 2 f 2 f 1 f 1 所以 f 2 f 1 3 f 1 f 2 3 即2 f 1 f 2 6 f 1 f 2 3 3 因为f x m 2 x2 3mx 1为偶函数 所以 3m 0 解得m 0 所以f x 2x2 1 它的单调递增区间是 0 已知函数y f x 的图象关于原点对称 且当x 0时 f x x2 2x 3 试求f x 在r上的表达式 并画出它的图象 根据图象写出它的单调区间 分析 由函数图象关于原点对称可知y f x 是奇函数 利用奇函数性质可求得解析式 利用函数的奇偶性求解析式 先画出函数在y轴右边的图象 再根据对称性画出y轴左边的图象 如下图 由图象可知函数f x 的单调递增区间是 1 1 单调递减区间是 1 0 0 1 规律总结 利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f x f x 或f x f x 成立 但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x 然后把x转化为 x 另一个已知区间上的解析式中的变量 通过适当推导 求得所求区间上的解析式 已知函数f x 为偶函数 且当x0时 f x 答案 x 1 解析 x 0时 x 0 f x x 1 又 f x 为偶函数 f x x 1 4 误区警示易错点忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性 5 错因分析 要判断函数的奇偶性 必须先求函数定义域 看定义域是否关于原点对称 有时还需要在定义域制约条件下将f x 进行变形 以利于判定其奇偶性 2013 2014武汉模拟 已知函数f x x2 2ax b是定义在区间 2b 3b 1 上的偶函数 求函数f x 的值域 错解 f x 是偶函数 f x f x 即a 0 f x x2 b 从而得到函数的值域为 b 4b2 b 或 b 3b 1 2 b 错因分析 错解忽略了函数的定义域关于原点对称这一条件 即 2b 3b 1 0 正解 f x 是偶函数 f x f x 即a 0 又定义域为 2b 3b 1 2b 3b 1 0 b 1 f x x2 1 x 2 2 函数f x 的值域为 1 5 1 函数f x x4 x2 a 是奇函数b 是偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 既不是奇函数也不是偶函数 答案 b 解析 定义域是r f x x 4 x 2 x4 x2 f x 所以函数是偶函数 答案 d 解析 定义域是 1 1 不关于原点对称 所以该函数既不是奇函数又不是偶函数 答案 b 解析 由于f x f x 则f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 4 若函数y f x 为奇函数 则下列坐标表示的点一定在函数f x 的图象上的是 a a f a b a f a c