高中数学 4.1 函数应用课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数应用 第四章 诸葛亮与二分法二分法是数学里非常经典的方法 不管是初等数学 高等数学 计算数学 几乎都有它的影子 学了计算机的同学就更不会陌生 虽然二分法的数学理论最初起源于16世纪 不过其思想萌芽却是早已有之 道德经 里的 无中生有 一生二 二生三 三生万物 就是一种二分思想 相传诸葛亮一日与众将士闲聊 向他们出了这样一道题 你从1 1024中任意选择一个数字 然后我问你十个问题 而你只能选择回答 是 与 不是 就一定可以猜出你选的数字是什么 一位将士选好数字后 诸葛亮开始问 你选的数字是否大于512 不是 是否大于256 如此问了十个问题以后 诸葛亮说 你选的数字一定是1 众将士当然是惊奇不已 这方法其实很简单 他每次将1024个数字分半 这样分了10次以后 就将每一个数字分完 因为210 1024 所以任何一个数字都能用这种方法确定 比如数字51 是否大于512 不是 是否大于256 不是 是否大于128 不是 是否大于64 不是 是否大于32 是 数字一定是在64和32之间 是否大于48 是 数字一定是在64和48之间 是否大于56 不是 数字一定是在56和48之间 是否大于52 不是 数字一定是在52和48之间 是否大于50 是 数字一定是在52和50之间 那你猜的数字一定是51了 符合条件的数字只有51 1函数与方程 第四章 课前自主预习 课堂典例讲练 易错疑难辨析 课后强化作业 二次函数是我们很熟悉的一类函数 以前我们曾研究过其图像与性质 请大家画几个函数的图像 画草图即可 1 y x2 2x 3 2 y x2 2x 1 3 y x2 2x 3 画完以后 请说出你能知道的知识 如果我们把二次函数与其相关的方程 x2 2x 3 0 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0放在一起观察 又会有什么发现呢 你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗 情境引入导学 1 函数的零点我们把函数y f x 的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点 2 零点存在定理一般地 如果函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 即至少存在一个c a b 使得f c 这个c就是方程f x 0的解 横坐标 f a f b 0 0 知能自主梳理 3 函数零点的性质对于图像是连续不间断的函数 其函数零点具有下列性质 1 当函数图像通过零点 不是二重零点 时 其函数值的符号 填 改变 或 不改变 2 在相邻的两个零点之间所有的函数值保持 填 同号 或 异号 4 二分法每次取区间的中点 将区间 再经比较 按需要留下其中一个 的方法称为二分法 改变 同号 一分为二 小区间 答案 b 预习效果展示 2 函数f x lnx 1的零点所在的大致区间为 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 答案 b 解析 因为在给出的区间中 只有f 2 f 3 0 而在其余区间两个端点处的函数值均同号 3 下列函数中能用二分法求零点的是 答案 c 解析 从图像上看 a的函数无零点 b d中的函数都是不变号零点 不能运用二分法 故选c 4 用二分法求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点2 5 那么下一个有根区间是 答案 2 2 5 解析 由计算器可算得f 2 1 f 3 16 f 2 5 5 625 f 2 f 2 5 0 所以下一个有根区间是 2 2 5 5 函数f x x2 ax b有零点 但不能用二分法求出 则a b的关系是 答案 a2 4b 0 解析 二次函数有零点 但不能用二分法求出 则有 a2 4 1 b 0 即a2 4b 0 求函数的零点 规律总结 1 函数零点的求法 解方程f x 0 所得实数解就是f x 的零点 解三次以上的高次方程时 一般需要因式分解 2 对于不能用求根公式的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点 答案 d 函数的零点与方程根的关系 已知函数f x ax b有一个零点是2 求g x bx2 ax的零点 思路分析 先由f x 的零点求a b的关系 再求g x 的零点 规律总结 1 函数y f x 的零点就是对应方程f x 0的根 2 二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表 若函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 函数零点个数的判断 判断函数f x x 3 lnx的零点的个数 思路分析 构造函数y lnx和函数y x 3 从而将原问题转化为判断这两个函数图像交点的个数问题 也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断 规范解答 解法1 在同一平面直角坐标系中画出函数y lnx y x 3的图像 如图所示 规律总结 判断函数零点的个数的方法主要有 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图像 利用图像判定方程根的个数 对于函数f x x2 mx n 若f a 0 f b 0 则函数f x 在区间 a b 内 a 一定有零点b 一定没有零点c 可能有两个零点d 至多有一个零点 分析 利用二次函数在区间 a b 内的图像确定 答案 c 解析 如图 若函数f x 的图像及给定的区间 a b 如图 1 或图 2 所示 可知a错 若如图 3 所示 可知b错 d错 c对 函数零点的性质 答案 b 规律总结 这是最基本的题型 所用的方法也是基本方法 只要判断区间 a b 的端点值的乘积是否有f a f b 0 并且看函数f x 的图像在 a b 上是否是连续曲线即可 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题 只需用零点的性质依次检验所提供的区间 即可得到答案 方程 x 1 x 2 x 3 x 0的一个实数根所在的大致区间不可能是 a 3 2 b 2 1 c 0 2 d 2 4 答案 d 解析 设f x x 1 x 2 x 3 x 则其图像是连续曲线 又知f 3 30 所以f x 在 3 2 内有零点 即原方程在 3 2 内有实数解 同理原方程在 2 1 0 2 内也必有实数解 而在区间 2 4 上恒有f x 0 所以f x 在 2 4 内没有零点 故选d 函数零点的应用 若函数y ax2 x 1只有一个零点 求实数a的取值范围 思路分析 由分类讨论思想分为a 0 a 0两种情况分别对一次函数 二次函数加以判断 关于x的方程ax2 2 a 3 x 2a 14 0有两实根 且一个大于4 一个小于4 求a的取值范围 分析 令函数g x ax2 2 a 3 x 2a 14 分a 0 a 0 a 0讨论 列出关于a的不等式 求得a的范围 二分法求函数零点的近似值 试判断方程x3 3x 5 0在区间 0 3 内是否有实数解 若有 求出该解的近似值 精确到0 01 思路分析 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在 0 3 内有实数解 然后再利用二分法求出其近似值 规范解答 设函数f x x3 3x 5 由于f 0 50 因此f 0 f 3 0 所以方程的解又必在区间 1 2 内 故可取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐次计算 将方程的解所在的区间依次求出 列表如下 由上表可知 区间 1 15234375 1 154296875 中的每一个数都精确到0 01 都等于1 15 所以1 15就是方程精确到0 01的近似解 规律总结 二分法求解步骤 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 初始区间的选择不宜过大 否则将增加运算的次数 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断a b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度 若是 得零点的近似解 否则 重复 2 4 步 特别注意要运算彻底 用二分法求函数y x3 3的一个正零点 精确到0 01 分析 选定区间 1 2 用二分法逐次计算 验证区间两端点值精确到0 01后相等 取正零点 解析 记f x y x3 3 由于f 1 20 因此可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 见表如下 因为区间 1 44140625 1 443359375 内的所有值 若精确到0 01都是1 44 所以1 44就是所求函数一个精确到0 01的正零点的近似值 已知当m r时 函数f x m x2 1 x a a z 恒有零点 求a的值 错解 令mx2 x a m 0恒有解 0 即1 4m m a 0恒成立 即4m2 4am 1 0恒成立 m r 1 16a2 16 0 解得 1 a 1 正解 1 当m 0时 f x x a 0 得x a 恒有解 此时a r 且a z a z 2 当m 0时 f x 0 即mx2 x m a 0恒有解 1 1 4m m a 0恒成立 即4m2 4am 1 0恒