高中数学 2.3.2.1双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修21 .ppt

2 3 2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质 1 双曲线的简单几何性质 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c f1f2 2c x a x a y a y a 坐标轴 原点 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a a1a2 2a b1b2 2b a b 1 2 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线 标准方程为 x2 y2 a2 1 判一判 正确的打 错误的打 1 等轴双曲线的离心率为 2 方程 a 0 b 0 的渐近线方程为 3 离心率e越大 双曲线的渐近线的斜率绝对值越大 解析 1 正确 因为a b 所以所以 2 错误 由得所以渐近线方程为 3 正确 由 e 1 所以e越大 渐近线斜率的绝对值越大 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 双曲线的渐近线方程为 离心率e 2 双曲线x2 16y2 1的半实轴长为 半虚轴长为 3 焦点在x轴上 且焦距为4的等轴双曲线方程为 解析 1 由得故渐近线方程为由所以a2 1 b2 3 所以c2 a2 b2 4 故a 1 c 2 所以答案 2 由x2 16y2 1 得所以a2 1 b2 即a 1 b 答案 1 3 因为是焦点在x轴上的等轴双曲线 所以方程设为则2a2 4 所以a2 2 即双曲线方程为答案 要点探究 知识点双曲线的简单几何性质1 对双曲线渐近线的四点说明 1 随着x和y趋向于无穷大 双曲线将无限地与渐近线接近 但永远没有交点 2 由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值 但无法确定焦点位置 3 求渐近线的方程 常把双曲线方程右边的常数写成0 分解因式即得渐近线方程 若已知渐近线方程mx ny 0 求双曲线方程 常将双曲线方程设为求解 4 与双曲线 a 0 b 0 共渐近线的双曲线系方程可设为 0 a 0 b 0 2 离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线 a 0 b 0 为例 故当的值越大 渐近线的斜率越大 双曲线的开口越大 e也越大 所以e反映了双曲线开口的大小 即双曲线的离心率越大 它的开口就越大 知识拓展 共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线 与互为共轭双曲线 其性质如下 1 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 2 双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距 3 与具有相同渐近线的双曲线系方程为 k 0 微思考 1 双曲线的渐近线确定时 其标准方程能确定吗 提示 不能 每条双曲线对应惟一一组渐近线 但当渐近线确定时 它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上 也可能在y轴上 2 离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系 提示 不妨设双曲线的方程为 a 0 b 0 一条渐近线l方程 其倾斜角为 过f2 c 0 作f2m l于m 则所以om a 因此 即时练 求双曲线9x2 4y2 36的实轴长 虚轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 解析 将已知的方程先化为标准式 即由9x2 4y2 36得可知a 2 b 3 利用a c b的关系 得到然后得到实轴长2a 4 虚轴长2b 6 焦点坐标离心率渐近线方程 题型示范 类型一利用几何性质求双曲线的标准方程 典例1 1 2013 广东高考 已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f 3 0 离心率等于则c的方程是 2 2014 长春高二检测 已知双曲线过点它的渐近线方程为 求双曲线的标准方程 设f1和f2是该双曲线的左 右焦点 点p在双曲线上 且 pf1 pf2 55 求 f1pf2的余弦值 解题探究 1 题 1 由双曲线的离心率 能得到什么等量关系 2 题 2 由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么 由条件 pf1 pf2 55可想到什么 探究提示 1 已知离心率的值 可根据得出a的值 进而得出b的值 2 可分焦点在x轴上 y轴上分别设出方程 再由渐近线方程建立a b的关系求解 或利用共渐近线的双曲线方程求解 一般考虑双曲线的定义 pf1 pf2 2a 自主解答 1 选b 设c的方程为 a 0 b 0 由题意知则a 2 b2 c2 a2 5 所求方程为 2 方法一 当焦点在x轴上时 设双曲线的标准方程为 a 0 b 0 由题意得解得a2 9 b2 16 所以双曲线的方程为 当焦点在y轴上时 设双曲线的标准方程为 a 0 b 0 由题意得 无解 故双曲线的方程为 方法二 因为双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的方程为 由于在该双曲线上 代入方程解得m 1 所以所求双曲线方程为 由双曲线定义 pf1 pf2 6 在 f1pf2中 由余弦定理得 所以 方法技巧 巧设双曲线方程的六种常用方法 1 焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 a 0 b 0 2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 a 0 b 0 3 与双曲线共焦点的方程可设为 0 b2 a2 4 与双曲线具有相同渐近线的方程可设为 0 5 渐近线为y kx的双曲线方程可设为k2x2 y2 0 6 渐近线为ax by 0的双曲线方程可设为a2x2 b2y2 0 变式训练 已知双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 1 若双曲线过点求双曲线的标准方程 2 若双曲线的焦距是求双曲线的标准方程 解题指南 可设出双曲线方程的统一形式 0 然后再根据条件建立关于 的方程求解 解析 双曲线的渐近线方程为即设双曲线的方程为 0 1 因为双曲线过点所以所以故所求双曲线的标准方程为 2 若 0 则a2 9 b2 4 c2 a2 b2 13 由题设则 1 故所求双曲线的标准方程为若 0 则a2 4 b2 9 c2 a2 b2 13 由题设则 1 故所求双曲线的标准方程为 补偿训练 已知双曲线与椭圆x2 4y2 64共焦点 它的一条渐近线方程为求双曲线的标准方程 解题指南 根据渐近线设出双曲线方程的形式 根据题目条件代入求解 解析 方法一 由于双曲线的一条渐近线方程为则另一条为可设双曲线方程为x2 3y2 0 即由椭圆方程可知c2 a2 b2 64 16 48 双曲线与椭圆共焦点 则所以 36 故所求双曲线方程为 方法二 双曲线与椭圆共焦点 可设双曲线方程为由渐近线方程可得所以 28 故所求双曲线方程为 类型二双曲线的离心率 典例2 1 双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率为 2 2013 湖南高考 设f1 f2是双曲线c a 0 b 0 的两个焦点 p是c上一点 若 pf1 pf2 6a 且 pf1f2的最小内角为30 则c的离心率为 解题探究 1 题 1 由渐近线方程如何求离心率 2 题 2 条件 pf1 pf2 6a的作用是什么 探究提示 1 利用渐近线方程可得a b之间的关系 再由c2 a2 b2 可得a c之间的关系 即求得e的值 2 利用定义得 pf1 pf2 2a 借助于条件 pf1 pf2 6a 可求得 pf1 pf2 的值 自主解答 1 由已知得所以故即所以答案 2 不妨设 pf1 pf2 则 pf1 pf2 2a 又 pf1 pf2 6a 得 pf1 4a pf2 2a f1f2 2c 则在 pf1f2中 pf1f2 30 由余弦定理得 2a 2 4a 2 2c 2 2 4a 2c cos30 整理得所以答案 延伸探究 题 2 条件 若 pf1 pf2 6a 且 pf1f2的最小内角为30 改为 若pf1 pf2 且 pf1f2 30 结果如何 解析 在直角三角形pf1f2中 由题设可知 f1f2 2c pf2 c pf1 又 pf1 pf2 2a 所以故答案 方法技巧 求双曲线离心率的两种方法 1 直接法 若已知a c可直接利用求解 若已知a b 可利用求解 2 方程法 若无法求出a b c的具体值 但根据条件可确定a b c之间的关系 可通过b2 c2 a2 将关系式转化为关于a c的齐次方程 借助于转化为关于e的n次方程求解 变式训练 2014 四川高考 双曲线 y2 1的离心率等于 解析 答案 补偿训练 已知双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 p是双曲线上一点 且pf1 pf2 pf1 pf2 4ab 则双曲线的离心率是 解析 因为pf1 pf2 所以由得4c2 4a2 8ab 所以b 2a c2 5a2 故答案 类型三双曲线的渐近线及应用 典例3 1 2014 双鸭山高二检测 若双曲线的一条渐近线被圆 x 2 2 y2 4所截得的弦长为2 则该双曲线的实轴长为 a 1b 2c 3d 6 2 2014 长春高二检测 若双曲线的渐近线l方程为则双曲线焦点f到渐近线l的距离为 解题探究 1 题 1 由双曲线的标准方程如何得出渐近线方程 2 题 2 中点到直线的距离公式是什么 探究提示 1 可令标准方程中的1为0 然后因式分解即可得出渐近线方程 2 点p x0 y0 到直线ax by c 0的距离 自主解答 1 选b 由双曲线得渐近线方程为不妨取渐近线即圆 x 2 2 y2 4的圆心为 2 0 半径r 2 所以有 解得a 1 故实轴长为2 2 选d 由双曲线得渐近线方程为所以即m 5 所以双曲线方程为因此c2 9 5 14 不妨取焦点渐近线方程l 即所以f到l的距离 方法技巧 求双曲线渐近线方程的两种方法 变式训练 2014 邢台高二检测 以双曲线的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 a x2 y2 10 x 9 0b x2 y2 10 x 16 0c x2 y2 10 x 16 0d x2 y2 10 x 9 0 解析 选a 由双曲线得双曲线的一条渐近线为即4x 3y 0 a2 9 b2 16 所以c2 a2 b2 25 c 5 右焦点为 5 0 右焦点到渐近线的距离为 所以圆的方程为 x 5 2 y2 42 即x2 y2 10 x 9 0 补偿训练 已知双曲线c 的焦距为10 点p 2 1 在c的渐近线上 则c的方程为 解析 选a 设双曲线c 的半焦距为c 则2c 10 c 5 又因为c的渐近线为点p 2 1 在c的渐近线上 所以即a 2b 又c2 a2 b2 所以所以c的方程为故选a 易错误区 忽视双曲线焦点位置致误 典例 已知双曲线的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率e为 解析 当双曲线的焦点在x轴上时 因为渐近线方程为所以所以离心率当双曲线的焦点在y轴上时 因为渐近线方程为所以这时所以离心率故双曲线的离心率为或答案 或 常见误区 防范措施 1 条件要考虑全面对题目条件的分析要透彻 全面 一般情况下若只给出渐近线方程 焦距 离心率等条件 要注意焦点位置的讨论 如本例中分焦点在x轴