高中数学 2.5 夹角的计算课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 5夹角的计算 第二章 本节重点 异面直线所成的角 线面角 二面角与向量夹角的关系 本节难点 如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角 s1 s2 s1 s2 cos s1 s2 n1 n2 n1 n2 cos n1 n2 cos n a 4 由于两条直线所成的角 线面角都是锐角或直角 因此可直接通过绝对值来表达 故可直接求出 而二面角的范围是 0 有时比较难判断二面角是锐角还是钝角 因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断 故这是求二面角的难点 5 异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角 而向量夹角的范围为 0 所以从范围上讲 这两个角并不一致 但却有着相等或互补的关系 所以它们的余弦值相等或互为相反数 向量夹角为0和 时除外 异面直线所成的角 点评 1 向量法求异面直线所成的角的特点是程序化 即建坐标系 设点 求向量 考查数量积 2 方法二是求两异面直线所成的角的一般方法 通常是平移变异面直线为相交直线 然后解三角形 在求两条直线所成的角时 容易忽略了两直线所成角的范围 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时 若向量夹角为锐角 或直角 则等于异面直线所成的角 若向量夹角为钝角 则它的补角等于异面直线所成的角 答案 c 1 证明 de 平面acd 2 求二面角b ad e的大小 求二面角的大小 点评 本题考查空间中线面关系的判定 空间角的求法 在判断空间中直线位置关系时 常用勾股定理逆定理来证明线线垂直 求二面角的平面角是高考重点 可用空间向量来解决 还有面积法 异面直线法 作三垂线定理法等要灵活应用 1 证明 平面pod 平面pac 2 求二面角b pa c的余弦值 解析 解法1 1 连接oc 因为oa oc d是ac的中点 所以ac od 又po 底面 o ac 底面 o 所以ac po 因为od po是平面pod内的两条相交直线 所以ac 平面pod 而ac 平面pac 所以平面pod 平面pac 点评 先求出两个平面的法向量 再利用向量夹角公式求角 则该角或它的补角就等于二面角的平面角 一般用坐标运算进行 求完后要结合题意来判断求出的二面角是它的补角还是该角 1 证明 ab a1c 2 若平面abc 平面aa1b1b ab cb 2 求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值 直线与平面的夹角 解析 1 取ab中点o 连接co a1b a1o ab aa1 baa1 60 baa1是正三角形 a1o ab ca cb co ab co a1o o ab 平面coa1 ab a1c 如图 在三棱锥p abc中 apb 90 pab 60 ab bc ca 平面pab 平面abc 1 求直线pc与平面abc所成的角的大小的正切值 2 求二面角b ap c的大小的正切值 解析 解法一 1 设ab的中点为d ad的中点为o 连结po co cd 由已知 pad为等边三角形 所以po ad 解法二 1 设ab的中点为d 作po ab于点o 连结cd 因为平面pab 平面abc 平面pab 平面abc ad 所以po 平面abc 所以po cd 由ab bc ca 知cd ab 设e为ac中点 则eo cd 从而oe po oe ab 如图 以o为坐标原点 ob oe op所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系o xyz 综合应用 1 当bd的长为多少时 三棱锥a bcd的体积最大 2 当三棱锥a bcd的体积最大时 设点e m分别为棱bc ac的中点 试在棱cd上确定一点n 使得en bm 并求en与平面bmn所成角的大小 解析 1 解法1 在如图1所示的 abc中 设bd x 0 x 3 则cd 3 x 由ad bc acb 45 知 adc为等腰直角三角形 所以ad cd 3 x 2 解法1 以d为原点 建立如图a所示的空间直角坐标系d xyz 解法2 由 1 知 当三棱锥a bcd的体积最大时 bd 1 ad cd 2 如图b 取cd的中点f 连接mf bf ef 则mf ad 由 1 知ad 平面bcd 所以mf 平面bcd 如图c 延长fe至p点使得fp db 连bp dp 则四边形dbpf为正方形 所以dp bf 取df的中点n 连接en 又e为fp的中点 则en dp 所以en bf 因为mf 平面bcd 又en 面bcd 所以mf en 又mf bf f 所以en 面bmf 又bm 面bmf 所以en bm 2014 天津理 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的中点 1 证明 be dc 2 求直线be与平面pbd所成角的正弦值 3 若f为棱pc上一点 满足bf ac 求二面角f ab p的余弦值 解析 解法一 依题意 以点a为原点建立空间直角坐标系 如图 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 由e为棱pc的中点 得e 1 1 1 方法二 1 证明 如图 取pd中点m 连接em am 误解 以d为坐标原点 da的长为单位长度 建立如图所示的直角坐标系 正解 以d为坐标原点 da的长为单位长度 建立如图所示的空间直角坐标系 点评 在解题过程中 犯了两个错误 一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理 错误地认为直线与平面内一条直线垂直就线面垂直 一个是混淆了线面角的定义 错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角 例6 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角a bd1 c的大小 误解 以d为原点建立如图所示的坐标系 设正方体的棱长为1 点评 这位同学在解题过程中 犯了两个错误 一个是解题步骤不严谨 一个是用法向量n1 n2求二面角的大小时 n1 n2 与二面角的关系是相等或互补 此题就是 n1 n2 的补角 答案 b 答案 c 解析 如图所示 取直线ca cb cc1分别为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系 答案 d 二 填空题4 在正四面体abcd中 相邻两个平面夹角的余弦值为 解析 如图 取bc的中点e 连结ae de abcd是正四面体 bc ae bc ed aed为二面角a bc d的平面角 三 解答题6 2014 陕西理 四面体abcd及其三视图如图所示 过棱ab的中点e作平行于ad bc的平面分别交四面体的棱bd dc ca于点f g h 1 证明 四边形efgh是矩形 2 求直线ab与平面efgh夹角 的正弦值 解析 1 由该四面体的三视图可知 bd dc bd ad