高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A版选修22 .ppt

3 2复数代数形式的四则运算3 2 1复数代数形式的加减运算及其几何意义 复数的加 减法法则及几何意义与运算律 z1 z2 z3 1 判一判 正确的打 错误的打 1 复数与向量一一对应 2 复数与复数相加减后结果只能是实数 3 因为虚数不能比较大小 所以虚数的模也不能比较大小 解析 1 错误 复数与复平面上的点一一对应 则复数与以原点为起点的向量一一对应 而不是与向量一一对应 2 错误 复数与复数相加相减后依然是复数 可能为实数 也可能为虚数 3 错误 虚数的模是实数 实数可以比较大小 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 计算 3 5i 3 4i 2 5 6i 2 2i 3 3i 3 已知向量对应的复数为2 3i 向量对应的复数为3 4i 则向量对应的复数为 解析 1 3 5i 3 4i 6 i 答案 6 i 2 原式 5 2 3 6 2 3 i 11i 答案 11i 3 答案 1 i 要点探究 知识点1复数的加法 减法运算对复数加法 减法运算的五点说明 1 一种规定 复数的代数形式的加法法则是一种规定 减法是加法的逆运算 特殊情形 当复数的虚部为零时 与实数的加法 减法法则一致 2 运算律 实数加法的交换律 结合律在复数集中仍成立 实数的移项法则在复数中仍然成立 3 运算结果 两个复数的和 差 是唯一确定的复数 4 适当推广 可以推广到多个复数进行加 减运算 5 虚数单位i 在进行复数加减运算时 可将虚数单位i看成一个字母 然后去括号 合并同类项即可 微思考 1 两个复数的和是个什么数 它的值唯一确定吗 提示 仍然是个复数 是一个确定的复数 2 若复数z1 z2满足z1 z2 0 能否认为z1 z2 提示 不能 如2 i i 0 但2 i与i不能比较大小 即时练 已知复数z1 3 4i z2 3 4i 则z1 z2 a 8ib 6c 6 8id 6 8i 解析 选b z1 z2 3 4i 3 4i 3 3 4 4 i 6 知识点2复数加减运算的几何意义对复数加减运算的两点说明 1 复数的加法 根据复数加法的几何意义知 两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数 2 复数的减法 根据复数减法的几何意义 两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数 知识拓展 注意类比思想方法的运用 复数与向量有着天然的联系 要注意向量知识在复数学习中的催化作用 微思考 1 类比绝对值 x x0 的几何意义 说明 z z0 z z0 c 的几何意义 提示 z z0 z z0 c 的几何意义是复平面内点z到点z0的距离 即 zz0 z z0 2 既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则来运算 是不是就有z1 z2 z2 z1 呢 提示 因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间的对应关系 式子z1 z2 z2 z1 的左边是复数 而右边是向量 因此不能说z1 z2与z2 z1与相等 即时练 复数z1 1 2i z2 3 5i分别对应复平面内a b两点 则a b两点的距离为 解析 复数z1 1 2i z2 3 5i分别对应复平面内a b两点的坐标为 1 2 3 5 则 ab 答案 题型示范 类型一复数的加法 减法运算 典例1 1 若z1 2 i z2 3 ai 复数z1 z2所对应的点在实轴上 则a a 2b 2c 1d 1 2 计算 1 2i 2 i 2 i 1 2i 1 i i2 1 2i 1 2i 解题探究 1 复数z1 z2的值是多少 实轴上的点所对应复数的虚部是多少 2 题 2 中 各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多少 中的i2等于多少 探究提示 1 z1 z2 5 a 1 i 实轴上点的纵坐标为0 则实轴上的点所对应复数的虚部是0 2 各小括号内的复数所对应的实部分别是1 2 2 1 虚部分别是2 1 1 2 中的i2等于 1 自主解答 1 选c 由z1 z2 5 a 1 i所对应的点在实轴上得a 1 2 原式 1 2 2 1 2 1 1 2 i 2 原式 1 i 1 1 2i 1 2i 1 1 1 1 1 2 2 i 2 i 方法技巧 复数加减运算法则的记忆 1 复数的实部与实部相加减 虚部与虚部相加减 2 把i看作一个字母 类比多项式加减中的合并同类项 变式训练 计算 1 1 2i 3 4i 5 6i 2 5i 3 4i 1 3i 解析 1 原式 4 2i 5 6i 1 8i 2 原式 5i 4 i 4 4i 误区警示 注意运算格式及范围避免出错 1 在进行复数减法运算时要注意格式 两复数相减所得结果依然是一个复数 其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差 注意中间用 号 如z1 a bi z2 c di z1 z2 a c b d i 而不是z1 z2 a c b d i 2 复数中出现字母时 首先要判断其是否为实数 再确定复数的实部与虚部 最后把实部与虚部分别相加 补偿训练 计算 a bi 2a 3bi 3i a b r 解析 原式 a 2a b 3b 3 i a 4b 3 i 类型二复数的加法 减法运算的几何意义 典例2 1 在复平面内 平行四边形abcd 顶点顺序为abcd 的三个顶点a b c对应的复数分别是1 3i i 2 i 则点d对应的复数为 2 已知z1 z2 c z1 z2 1 z1 z2 求 z1 z2 解题探究 1 点a b c的坐标分别是多少 向量与向量是否相等 2 由复数的几何意义可知 z1 z2 z1 z2在复平面上对应的点分别为z1 z2 z 则它们与原点构成了一个什么样的图形 探究提示 1 顶点a b c的坐标分别是 1 3 0 1 2 1 由平行四边形abcd知 向量与向量相等 2 在复平面内画出图形可知为平行四边形 自主解答 1 设d x y 类比向量的运算知所以有复数 i 1 3i 2 i x yi 得x 3 y 5 所以d对应的复数为3 5i 答案 3 5i 2 设复数z1 z2 z1 z2在复平面上对应的点分别为z1 z2 z 由 z1 z2 1知 以oz1 oz2为邻边的平行四边形是菱形 在 oz1z中 由余弦定理 得 所以 oz1z 120 所以 z1oz2 60 因此 oz1z2是正三角形 所以 z1 z2 z2z1 1 延伸探究 若把题 2 中的条件 z1 z2 改为 z1 z2 1 则 z1 z2 等于多少 解析 设复数z1 z2在复平面上对应的点分别为z1 z2 由 z1 z2 1 z1 z2 1知 以oz1 oz2为邻边的平行四边形是菱形oz1zz2 oz为对角线 oz1z2为正三角形 由余弦定理 得 z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 z1 z2 cos oz1z 因为 z1oz2 60 所以 oz1z 120 所以 z1 z2 方法技巧 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 1 技巧 形转化为数 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形 对于一些复数运算也可以给予几何解释 使复数作为工具运用于几何之中 2 常见结论 在复平面内 z1 z2对应的点分别为a b z1 z2对应的点为c o为坐标原点 则四边形oacb 为平行四边形 若 z1 z2 z1 z2 则四边形oacb为矩形 若 z1 z2 则四边形oacb为菱形 若 z1 z2 且 z1 z2 z1 z2 则四边形oacb为正方形 变式训练 如图所示 平行四边形oabc的顶点o a c分别表示0 3 2i 2 4i 求 1 表示的复数 2 对角线表示的复数 3 对角线表示的复数 解题指南 1 中注意向量的起点与终点 2 注意把向量用向量表示 3 借助向量的运算 解析 1 则对应的复数为 3 2i 即 3 2i 2 所以对应的复数为 3 2i 2 4i 5 2i 3 所以对应的复数为 3 2i 2 4i 1 6i 补偿训练 复数z1 1 2i z2 2 i z3 1 2i 它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点 求这个正方形的第四个顶点对应的复数 解析 设复数z1 z2 z3在复平面内所对应的点分别为a b c 正方形的第四个顶点d对应的复数为x yi x y r 如图 则 x yi 1 2i x 1 y 2 i 1 2i 2 i 1 3i 因为所以 x 1 y 2 i 1 3i 所以解得故点d对应的复数为2 i 易错误区 复数运算中思维不严谨而致误 典例 设x 0 2 复数z1 cosx isinx对应的点在第一象限中直线y x的左上方 z2 1 i 则 z1 z2 的取值范围是 解析 由已知得z1 z2 cosx 1 sinx 1 i 所以 z1 z2 因为复数z1 cosx isinx对应的点在第一象限中直线y x的左上方 且x 0 2 所以解得所以故所以答案 常见误区 防范措施 1 题目条件的充分利用解题时 要仔细审题 建立条件与所求之间的联系 实现题目条件向结论的正确转化 如本例根据已知条件 将 z1 z2 化为三角函数式 再化简求值 2 注意条件的挖掘已知复