高中数学 1.1.2 数列的函数特征同步课件 北师大版必修5.ppt

1 了解递增数列 递减数列 常数列的概念 重点 2 掌握判断数列增减性的方法 重点 3 利用数列的增减性求最大项 最小项 难点 从数列表示的角度理解数列的函数特性 数列是一种特殊函数 其定义域是正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值 0000 0000 如果数列的通项公式an f n 能否利用函数y f x 的单调性判断数列的增减性 提示 不能 因为数列an f n 是定义域为正整数集的函数 它的图像是一系列孤立的点 而函数y f x 的图像不一定是一系列孤立的点 可能是一条连续不断的曲线 确定数列的增减性 确定数列的增减性的方法判断数列是递增数列还是递减数列 关键是比较相邻两项an 1与an的大小 常见的比较方法有两种 一是作差比较法 1 an 1 an 0 an 1 an 数列 an 是递增数列 2 an 1 an 0 an 1 an 数列 an 是递减数列 3 an 1 an 0 an 1 an 数列 an 是常数列 二是作商比较法 若数列的通项公式为根式形式 用作商法比作差法更简便一些 在利用作商比较法时 要确保数列的每一项都不是零 再确认相邻两项的正负 然后进行比较 例1 已知数列 an 的通项公式为an 8n 判断数列 an 的单调性 审题指导 解决本题的关键是正确采取比较的方式 比较an 1与an的大小 也可用函数的观点判断 规范解答 方法一 根据题意可知则an 1 an n 1 2 8 n 1 n2 8n 由数列的定义域为正整数集可知 当00 数列是递增数列 方法二 由于本题数列的通项公式为an n2 8n对应的函数是f x x2 8x 定义域为正整数集 根据函数的单调性可知 对称轴是x 8 所以当0 n 8时数列是递减数列 当n 8时 数列是递增数列 变式训练 判断数列 n2 5n 的单调性 解析 方法一 根据题意可知an n2 5n 则an 1 an n 1 2 5 n 1 n2 5n 2n 6 由数列的定义域为正整数集可知 an 1 an 0 所以数列 n2 5n 是递增数列 方法二 由于本题数列的通项公式为an n2 5n对应的函数是f x x2 5x 定义域为正整数集 对称轴是 根据函数的单调性可知 数列 n2 5n 是递增数列 误区警示 在利用函数的单调性判断数列的单调性时 一定要注意函数与数列的区别是数列的定义域为正整数集 然后根据函数的对称轴和单调性进行判断 数列的函数性质的应用数列是特殊的函数 由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知 数列的通项an与n的关系公式就是函数f x 的解析式 所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途径 数列的函数性质的应用 例2 设函数f x log2x logx2 0 x 1 数列 an 满足f 2n n n 1 求数列 an 的通项公式 2 判断数列的单调性 审题指导 解决本题的关键是把函数的解析式通过关系式转化求解得到数列的通项公式 然后再根据通项公式进行作差 判断与零的大小或者作商判断与1的大小 从而判断数列的单调性 规范解答 1 f log2 log2 an 所以an 2n 2nan 1 0 所以an 因为x 0 1 所以 0 1 所以an 0 所以an 2 方法一 an 1 an n 1 所以 即数列 an 是递增数列 方法二 又 anan 数列 an 是递增数列 互动探究 若把题目中的函数改为f x 2x 2 x 数列 an 满足f log2an 2n n n 其他不变 你会求解吗 解题提示 仿照例题通过f log2an 2n求得数列 an 的通项公式 然后作差或者作商证明单调性 解析 1 f x 2x 2 x f log2an 2n an 0 2 方法一 又 an 0 an 1 an 数列 an 是递减数列 方法二 an 1 an即an 1 an 0 an 1 an 数列 an 是递减数列 求数列的最大项和最小项的方法数列的项与项数之间构成特殊的函数关系 因此 涉及数列性质如单调性 最值问题等均可仿照求函数单调性 最值问题的方法来研究 求数列的最大项和最小项的方法有两种 数列的最大项和最小项问题 方法一 利用判断函数增减性的方法 先判断数列的增减情况 再求数列的最大项或最小项 方法二 设an是最大项 则有对任意n n 且n 2均成立 解不等式组即可 在用函数的有关知识解决数列问题时 特别是比较大小时 一定要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件 例3 在数列 an 中 an n 1 n n n 1 求证 数列 an 先递增 后递减 2 求数列 an 的最大项 审题指导 解决本题的关键是证明第一问 在第一问证明后 第二问就很容易解决了 证明的思路有两种 一是作差比较 二是作商比较 从而判断数列的单调性 规范解答 方法一 1 即整理得解得n9 数列 an 从第1项到第9项递增 从第10项起递减 2 由 1 知a9 a10 最大 方法二 1 假设数列 an 中存在最大项 an 1 an n 2 n 1 n 1 n n 当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 9时 an 1 ana11 a12 数列 an 从第1项到第9项递增 从第10项起递减 2 由 1 知a9 a10 最大 变式训练 已知数列 an 的通项公式为an n n 则数列的最小项是 a 第3项 b 第4项 c 第5项 d 第6项 解析 选b 由于数列对应的函数是y x 0 在x 4处最小 所以数列的最小项为第四项 故选b 例 已知an n n 则在数列 an 的前50项中 最大项与最小项分别是 a a1 a50 b a50 a1 c a21 a20 d a20 a21 审题指导 根据题意 对数列的通项公式进行化简 利用对应的函数的单调性画出简图 求出函数的最值 从而求得数列的最小项和最大项 规范解答 选c 方法一 通项公式是关于n的假分式 也是反比例函数 因此可以考虑转化为带分式 因此可以根据分母的单调性判断 an 的单调性 再根据单调性判断最大 最小项 当1 n 20时 n 单调递增且n 0 an 递减 a1最大 a20最小 当21 n 50时 n 单调递增且n 0 an 递减 a21最大 a50最小 a21 1 a1 a20 1 a50 故选c 方法二 注意到方法一中 对应于函数作出这个函数大致的图像 如图 当x n x 1 50 时 f 20 最小 f 21 最大 即a21最大 a20最小 故选c 变式备选 已知数列 an 的通项公式是 n n 则数列的最大项是 a 第12项 b 第13项 c 第12项或第13项 d 不存在 解析 选c an 0 且 当n 时 144 156 169 最大项为第12项或第13项 又 第12项或第13项最大 故选c 典例 12分 一个数列的通项公式为an 30 n n2 1 问 60是否为这个数列中的项 2 当n分别为何值时 an 0 an 0 an 0 3 当n为何值时 an有最大值 并求出最大值 审题指导 本题的解决关键是用函数的观点思考解决数列问题 三问逐步深入递进 首先第一问判断是否是数列的项 代入验证判断求出的n是否为正整数即可 第二问和第三问 结合二次函数进行判断求解 规范解答 1 令30 n n2 60 即n2 n 90 0 n 10或n 9 舍 2分 60是这个数列的第10项 即a10 60 4分 2 令30 n n2 0 即n2 n 30 0 n 6或n 5 舍 即当n 6时 an 0 6分结合数列 an 的图像可知当n等于1 2 3 4 5时 an 0 当n 6且n n 时 an 0 8分 3 an 30 n n2 又 n n 故当n 1时 an有最大值 其最大值为30 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 解析 1 由n2 5n 4 0 解得n 1或n 4 由数列 an 的图像及n n 可知 n 2 3时 an为负数 数列中有两项是负数 2 an n2 5n 4 n 2 可知对称轴方程为n 2 5 又 n n 故n 2或3时 an有最小值 其最小值为22 5 2 4 2 1 已知an 1 an 3 则数列 an 是 a 递增数列 b 递减数列 c 常数列 d 摆动数列 解析 选b an 1 an 3 0 由递减数列的定义知b选项正确 故选b 2 一次函数f x kx 5 若数列 an 的通项公式为an f n 是一个递增数列 则k的值 a k0 c k 0 d 不能确定 解析 选b 由于数列是递增数列 则对应的函数是递增函数 所以k 0 3 an 中 an n2 9n 100 则最小的项是 a 第4项 b 第5项 c 第6项 d 第4项或第5项 解析 选