高中数学 第三章三角恒等变形课件 北师大版必修4 .ppt

三角函数式的化简与证明由于三角函数式中包含着各种不同的角 不同的函数种类以及不同的式子的结构形式 因此在三角函数式的化简与证明中 我们需从三个方面去考虑 1 明确化简 证明 的要求 三角函数种数尽量少 项数尽量少 次数尽量低 尽量使分母不含三角函数式 尽量使被开方数不含三角函数式 能求出值的应尽量求出值 2 熟悉化简 证明 的方法 1 直接应用公式 包括公式的正用 逆用和变形用 2 常用切化弦 异名化同名 异角化同角等 3 掌握化简 证明 的技巧 1 注意特殊角与特殊值的互化 2 注意角的变换技巧 3 注意 1 的代换 例1 已知求的值 审题指导 本题看似是求值问题 但实质是考查式子的化简 先根据角的范围得出tan 的值 再利用公式化简带入求值 规范解答 解得tan 3或又又 三角函数求值三角函数的求值是三角恒等变形中最重要也是最典型的问题 是考试中必不可少的考查点 因此我们必须熟悉这类问题的考查形式和解决的技巧方法 常见的求值类型如下 1 给角求值 解决的关键是正确地分析角 已知角与未知角 之间的关系 准确地选用公式 注意转化为特殊值 2 给值求值 解决的关键是分析已知式与待求式之间角 名称 结构的差异 有目的地将已知式 待求式的一方或两方加以变换 找出它们之间的联系 最后求待求式的值 3 给值求角 解题的关键是求出该角的某一三角函数值 讨论角的范围 求出该角 求值问题中要特别注意考虑角的范围 解题过程中往往忽视角的范围而出现增根 例2 1 已知求sin 和cos 的值 2 已知x 0 求cotx的值 审题指导 1 利用同角三角函数基本关系式和角的变换求值 2 可以利用平方关系求值 也可以利用 1 的代换求值 规范解答 1 因为所以又因为所以因为所以 2 由所以又因为x 0 所以sinx 0 cosx 0 sinx cosx 2 1 2sinxcosx所以联立 解得所以 三角恒等变形的综合运用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型 1 以三角恒等变形为主要的化简手段 考查三角函数的性质当给出的三角函数关系式较为复杂 我们要先通过三角恒等变换 将三角函数的表达式变形化简 将函数表达式变形为或等形式 然后再根据化简后的三角函数 讨论其图像和性质 2 以向量运算为载体 考查三角恒等变形这类问题往往利用向量的知识和公式 通过向量的运算 将向量条件转化为三角条件 然后通过三角变换解决问题 有时还从三角与向量的关联点处设置问题 把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查 向量的综合问题中要熟悉向量的有关运算 这是正确进行三角变换的保证 例3 已知向量 1 当时 若求x的值 2 定义函数求f x 的最小正周期及最大值 规范解答 由知则则t 最大值为此时 三角恒等变形的思想方法数学思想方法是解决数学问题的关键 三角恒等变形中相关公式的推导和应用也离不开数学思想方法 本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法 将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式 即 从而推导出两角和的余弦公式 然后利用诱导公式实现正弦向余弦的转化 推导出两角和 差 的正弦公式 以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想 应用该思想解决了三角函数式化简 求值 证明中角的变换 函数名称变换问题 解决了三角函数最值问题 例4 函数f x 1 2a 2acosx 2sin2x的最小值为g a a r 1 求g a 的表达式 2 若求a的值及此时f x 的最大值 规范解答 1 由f x 1 2a 2acosx 2sin2x 2cos2x 2acosx 2a 1 当时 当时 g a f x min 1 4a 当时 g a f x min 1 2 由得 若a 2 则有即与a 2矛盾 若 2 a 2 则有即a 1或a 3 舍去 时a 1 此时 当cosx 1时f x 取得最大值为5 1 的值为 a 1 b c 2 d 解析 选a 原式 易错提醒 本题常因找不出55 与5 之间的关系而出现不会求解的思维误区 2 函数f x 2sinxcosx是 a 最小正周期为2 的奇函数 b 最小正周期为2 的偶函数 c 最小正周期为 的奇函数 d 最小正周期为 的偶函数 解析 选c 本题考查三角函数的性质f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 3 已知 是第三象限角 则cos 的值是 解析 选a 又 是第三象限角 4 在 abc中 cosacosb sinasinb 则 abc为 a 锐角三角形 b 直角三角形 c 钝角三角形 d 无法判定 解析 选c cosacosb sinasinb cos a b 0 cosc 0 cosc 0 c为钝角 5 已知那么sin 的值为 cos2 的值为 解析 答案 6 求值 tan20 tan40 tan20 tan40 解析 原式答案 7 函数在区间上的最小值为 解析 答案 1 8 已知函数f x 2sinxcosx cos2x x r 1 求f x 的最小正周期和最大值 2 若 为锐角 且求tan2 的值 解析 1 f x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x