高中数学 1.4 导数在实际生活中的应用配套教学课件 苏教版选修22.ppt

高中数学选修 1 4导数在实际生活中的应用 新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用 利用导数求最值的方法 可以求出实际生活中的某些最值问题 1 几何方面的应用 2 物理方面的应用 3 经济学方面的应用 面积和体积等的最值 利润方面最值 功和功率等最值 例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积是多少 解 设箱底边长为xcm 箱子容积为v x2h 则箱高 v 60 x 3x 2 令v 0 得x 40 x 0 舍去 得v 40 16000 答 当箱底边长为x 40时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 当x 0 40 时v x 0 当x 40 60 时v x 0 v 40 为极大值 且为最大值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解 设桶底面半径为r 因为s r 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐高与底的直径相等时 所用材料最省 3 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用材料最省 提示 s 2 rh 2 r2h v r r2 s 2 r2 r sr r3 v r 0s 6 r26 r2 2 rh 2 r2h 2r 例3在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为 外电阻r为多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 解 电功率p i2r 其中i 为电流强度 则 p e r r 2r 由p 0 解得 r r 列表分析 当r r时 p取得极大值 且是最大值 最大值为p 答 当外电阻r等于内电阻r时 电功率最大 最大电功率是 例4强度分别为a b的两个点光源a b 它们间的距离为d 试问在连接这两个光源的线段ab上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 解 如图 设点p在线段ab上 且p距光源a为x 则p距光源b 为3 x 0 x 3 p点受a光源的照度为 其中 k为比例常数 p点受b光源的照度为 从而 p点的总照度为 解得x 2 故当0 x 2时 i x 0 当2 x 3时 i x 0 因此 x 2时 i取得极小值 且是最小值 答 在连结两光源的线段ab上 距光源a为2处的照度最小 例5在经济学中 生产x单位产品的成本称为成本函数 记为c x 出售x单位产品的收益称为收益函数 记为r x r x c x 称为利润函数 记为p x 1 设c x 10 6x3 0 003x2 5x 1000 生产多少单位产品时 边际成本c x 最低 2 设c x 50 x 10000 产品的单价p 100 0 01x 怎样定价可使利润最大 解 1 c x 3 10 6x2 0 006x 5 g x g x 6 10 6x 0 006 0 解得 x 1000 而g x 在x 0上仅有一个极小值 故x 1000时边际成本最低 2 p x r x c x x 100 0 01x 50 x 10000 0 01x2 50 x 10000 x 2500 而p x 最大 此时p 100 25 75 答 生产1000个单位产品时 边际成本最低 当生产的单价为75时 利润最大 四 课堂练习1 将正数a分成两部分 使其立方和为最小 这两部分应分成 和 2 在半径为r的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时 它的面积最大 3 有一边长分别为8与5的长方形 在各角剪去相同的小正方形 把四边折起作成一个无盖小盒 要使纸盒的容积最大 问剪去的小正方形边长应为多少 4 一条水渠 断面为等腰梯形 如图所示 在确定断面尺寸时 希望在断面abcd的面积为定值s时 使得湿周l ab bc cd最小 这样可使水流阻力小 渗透少 求此时的高h和下底边长b 五 回顾反思 1 解有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实