高中数学 从力做的功到向量的数量积多媒体教学优质课件 北师大版必修4.ppt

5从力做的功到向量的数量积 1 知识目标 1 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 几何意义 2 体会平面向量的数量积与向量射影 也叫投影 的关系 3 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2 能力目标 学会借助实例分析 探究数学问题 体会由熟悉的物理知识 做功 得到向量的数量积的含义及其物理意义 几何意义 精解精析几个例题 帮助理解和巩固相应的知识 培养自己的逻辑思维能力 3 情感目标 通过本节内容的学习 认识向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系 进一步领悟数形结合的思想 同时通过熟悉的物理背景去理解向量的数量积 激发学习数学的兴趣 积极性和勇于创新的精神 1 任意两个向量都可以进行加 减运算 同时两个向量的和与差仍是一个向量 并且向量的加法运算满足交换律和结合律 由于任意两个实数可以进行乘法运算 我们自然会提出 任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢 如果可以 结果又如何呢 2 我们学过功的概念 即一个物体在力f的作用下产生位移s 如图 s 力f所做的功w可用下式计算 w f s cos 其中 是f与s的夹角 当0 90 时 w 0 即力f做正功 当 90 时 w 0 即力f不做功 当90 180 时 w 0 即力f做负功 从力所做的功出发 我们引入向量数量积的概念 两个非零向量和 作 则 叫做向量与的夹角 思考1如何定义向量的夹角 由于零向量的方向是任意的 为方便起见 规定零向量可与任一向量垂直 过点b作bb1垂直于直线oa 垂足为b1 则 cos 叫作向量在方向上的射影 也叫投影 当 为锐角时 cos 0 思考2什么是向量的射影 当 为钝角时 cos 当 为直角时 cos 0 0 o b a 当 180 时 cos b1 物理实例中 与位移s方向一致的分力f1的长度 f cos 即是力f在s方向上的射影 f s f2 f1 思考3平面向量的数量积的定义如何 已知两个向量与 它们的夹角为 我们把数量 cos 叫做与的数量积 或内积 记作 cos 注意 向量的数量积是一个数量 特别的 零向量与任一向量的数量积为0 例1 已知 3 4 与的夹角 150 求 解 cos 3 4 cos150 3 4 2 6 解 2 45 cos 2 cos45 2 已知 1 1 2 0 求 思考4数量积的几何意义是什么 特别提醒 1 2 若是单位向量 则 重要性质 1 若是单位向量 则2 3 4 5 当且仅当 时等号成立 思考5数量积的物理意义 反之成立吗 解答 不成立 解答 成立 练习 判断正误 3 若 0 则 2 若 则对任一非零向量 有 0 1 若 则对任一向量 有 0 4 若 0 则 中至少有一个为 5 若 则 6 若 则 当且仅当 时成立 7 对任意向量有 平面向量数量积的应用 例2在 abc中 设边bc ca ab的长度分别为a b c 证明 a b c 2bccosa b c a 2cacosb c a b 2abcosc 例2在 abc中 设边bc ca ab的长度分别为a b c 证明 a b c 2bccosa b c a 2cacosb c a b 2abcosc 证明设则 同理可证其他两式 我们把这个结果称为余弦定理 技巧点拨 1 将三角形的边用有向线段表示 2 根据向量的运算及向量的几何意义 写出向量之间的关系 3 通过平方和向量的数量积整理出所要的结果 例3证明菱形的两条对角线互相垂直 证明菱形abcd中 ab ad 由于 可得 0 所以 即菱形的两条对角线互相垂直 a b c d o 技巧点拨 1 取两个不共线的向量作基底 2 将要证明的向量用这两个向量表示 3 利用得到证明 例4已知单位向量 的夹角为60 求向量 的夹角 解 由单位向量 的夹角为60 得 又 设与的夹角为 由 可得 又所以 即向量与的夹角为 技巧点拨 1 以 为基底 计算的值 2 利用向量的夹角公式计算 技巧点拨 进行向量数量积计算时 既要考虑向量的模 又要根据两个向量方向确定其夹角 否 否 1 已知 与的夹角 求 本节