（应用数学专业论文）拓扑空间上连续自映射的广义周期点与混沌态研究.pdf

? 。7 l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：庄里盘主耋日期：二。f o 年月j 日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：座睦螯 导师签名： 日期：刀d 年多月f 日 - 一 摘要 摘要 1 9 7 5 年，李天岩与y o r k e 在论文 p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ”【7 j 中首次给出了混 沌的严格数学定义，即l i y o r k e 混沌。此后，1 9 8 7 年周作领简化了l i y o r k e 混沌 的条件并且将其推广到紧度量空间上【8 】。2 0 0 2 年黄文与叶向东在紧度量空间上给 出了l i y o r k e 混沌的一系列等价描述以及l i y o r k e 混沌的判据【l 引。在此基础上， 人们自然要问： 问题怎样将l i y o r k e 混沌从度量空间进一步推广到拓扑空间并且在一般拓扑 空间上建立混沌的数学理论? 本文主要就此问题进行研究，得到了以下一系列结果： 1 、将以紧度量空间为底空间的动力系统的传递性、极小性、混合性等基本性 质推广到第一可数空间，第二可数空间，序列紧空间等一系列更广泛的空间中， 分别得到了以相应拓扑空间上传递系统、极小系统、弱混合系统的因子映射的等 价描述； 2 、在一般拓扑空间上推广了线段连续自映射的几类广义周期点的概念，着重 在序列紧空间上讨论了国一极限集的迭代性质及其相互关系，并在满足第一可数性 公理的拓扑空间上引入连续自映射的链回归点的概念，得到的主要结果是：国一极 限集非空有限当且仅当它是一个周期轨；在局部连通的序列紧空间上，如果任意 连通子空间，该子空间的边界为有限集合，则系统的每一个非游荡点都是链回归 点；如果空间上的连续子映射是同胚映射，则链回归点集是强不变集；对于连续 子映射迭代任意自然数次后的链回归点仍为原映射的链回归点同时，通过这些结 果可自然得到在( 可数) 紧度量空间上成立的相关推论； 3 、在以上已被推广的的拓扑动力系统的内容的基础上，在满足第一可数性公 理的空间上定义了关于连续自映射的邻近关系、渐近关系以及连续自映射对初值 的敏感依赖性质，并证明了这一系列定义在度量空间中与原定义等价，从而进一 步在第一可数空间上推广了l i y o r k e 混沌的概念； 4 、作为上述一系列结论的应用，本文在第二可数的b a i r e 空间上证明了以下结 果：如果含有不动点的系统是拓扑传递的，且每个传递点的渐近点集都是第一范畴 集，那么系统是稠密的l i y o r k e 混沌的；当空间还满足序列紧条件时，如果含有周期 摘要 点的系统是拓扑传递的，且每个传递点的渐近点集都是第一范畴集，那么系统是 l i y o r k e 混沌的此结果可作为l i y o r k e 混沌的判据，同时注意到紧度量空间是第 二可数的b a i r e 空间，故该结果是对紧度量空间中相关结果的推广。 最后，本文对所做工作进行了系统的总结，对混沌理论中还需要深入研究的 地方进行了展望，为将来的研究奠定了一定的基础。 关键词：拓扑动力系统，广义周期点，可数空间，b a i r e 空间，l i y o r k e 混沌 n h f r a b s t r a c t a bs t r a c t i n19 7 5 ，l ia n dy o r k ec o n s i d e r e da l lo n e - d i m e n s i o n a lc o n f i n u o u sm a pa n d o b t a i n e dt h ew e l l k n o w nr e s u l t , t h a ti s ， p e r i o d3i m p l i e sc h a o s 吵，r h e yf i r s t i n t r o d u c e dap r e e i s em a t h e m a t i cd e f i n i t i o no fc h a o so nar e a li n t e r v a l i n19 8 7 8 1 ，z h o u z u o i m gp r e d i g e s t e dt h ec o n d i t i o n so fl i - y o r k e sc h a o sa n dg e n e r a l i z e dt h ed e f i n i t i o no f l i - y o r k e sc h a o st oac o m p a c tm e t r i cs p a c e i n2 0 0 2 ，h u a n ga n dy eg a v es o m e e q u i p o l l e n c e so fl i y o r k e sc h a o s a n de s t a b l i s hs o m ec r i t e r i ao fc h a o so nc o m p a c t m e t r i cs p a c e s 13 1 t h e r e f o r e i ti sn a t u r a l l ya s k e d ： q u e s t i o n ：i fc a r l l i y o r k e sc h a o sb e g e n e r a l i z e df r o mam e t r i cs p a c et o a t o p o l o g i c a ls p a c e ? i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h ea b o v eq u e s t i o na n dw eh a v eo b t a i n e dt h e f o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 w eg e n e r a l i z e ds o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e ss u c h 嬲t a n s t i v i t y , m i n i m a l i t ya n d m i x i n gp r o p e r t yo ft o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m sb a s eo nc o m p a c tm e t r i cs p a c e st o c o u n t a b l es p a c e sa n ds e q u e n t i a l l yc o m p a c ts p a c e sa n de s t a b l i s he q u i p o l l e n c e so f t a n s t i v i t y , m i n i m a l i t ya n dm i x i n gp r o p e r t yo nt h e s es p a c e s 2 w es t u d yt h eg e n e r a l i z e dp e r i o d i cp o i n t ss u c ha sr e c u r r e n tp o i n t s ，n o n - w o n d e r i n gp o i n t s ， 一l i m i tp o i n t sa n dc h a i n r e c u r r e n tp o i n t so fc o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n g so n c o u n t a b l es p a c e sa n ds e q u e n t i a l l yc o m p a c ts p a c e s ，a n dw ep r o v et h a t ：l e tfb ea c o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n go nas e q u e n t i a l l ys p a c ex t h e n 国一l i m i ts e to fap o i n ti sa n o n e m p t yf i n i t es e ti f fi t i sap e r i o d i co r b i to ff i fxi sl o c a l l y - c o n n e c t e da n df o r e v e r yc o n n e c t e ds u b s e ta i nx ，彳一ai sf i n i t e ，t h e ne v e r yn o n w a n d e r i n gp o i n ti sa c h a i nr e c u r r e n tp o i n t i f i sh o m e o m o r p h i co nx ，t h e nt h es e to fc h a i nr e c u r r e n t p o i n t so ffi ss 仃o n g l yi n v a r i a n t f o re a c hn a t u r a ln u m b e rn ，e v e r yc h a i nr e c u r r e n t p o i n to ff i sac h a i nr e c u r r e n tp o i n to ff 3 a s y m p t o t i cp a i r s a n dp r o x i m a lp a i r sa r eg e n e r a l i z e dt o af i r s tc o u n t a b l e t o p o l o g i c a ls p a c e t h e r e f o r e ，l i y o r k e sc h a o si sn a t u r a l l yg e n e r a l i z e dt oat o p o l o g i c a l s p a c e t h a ti sf i r s tc o u n t a b l e 4 b a s e do nt h ea b o v eg e n e r a l i z a t i o n s ，w ep r o v et h a t ：l e txb eab a i r es p a c et h a t i i i 1 t 一 目录 目录 第一章绪论1 1 1 动力系统及混沌理论的研究概况。1 1 2 选题依据2 1 3 预备知识介绍_ 2 1 3 1 本文使用的符号介绍2 1 3 2 本文涉及的基本定义3 1 3 3 本文涉及的基本引理5 1 4 本文结构简介6 第二章混沌理论的动力系统基础8 2 1 引理及其预备8 2 2 拓扑动力系统的传递性l l 2 3 拓扑动力系统的极小性1 4 2 4 拓扑动力系统的混合性1 5 2 5 因子映射的等价描述18 2 6 本章小结19 第三章拓扑动力系统的广义周期点2 0 3 1 引理及其预备2 0 3 2 序列紧空间上连续自映射的非游荡点2 8 3 3 序列紧空间上连续自映射的c o 极限点。3 0 3 4 一般拓扑空间上连续自映射的链回归点3 6 3 5 本章小结3 8 第四章第一可数空间上的l i - y o r k e 混沌3 9 4 1 引理及其预备3 9 4 2 混沌定义在第一可数空间中的推广4 2 4 3 第一可数空间中l i y o r k e 混沌的判据4 5 4 4 本章小结4 7 v 目录 工作建议4 9 ! ；1 ! ；：! 5 6 第一章绪论 第一章绪论 1 - 1 动力系统及混沌理论的研究概况 动力系统的研究可以追溯到牛顿时代，在牛顿的体系中，以时间为参变量的 微分方程占据了主导地位1 9 世纪末，法国数学家p o i n c a r e 将相空间的几何一系统 参数向量所有可能值的空间引入分析过程，将注意力从方程的单个解转移到所有 可能的解曲线及其相互关系上来随着p o i n c a r e 定性分析方法的引入，动力系统研 究的焦点从以微分方程定义系统的模式转到相空间与作用群上1 9 2 7 年，b i r k h o f f 在其著作动力系统【l 】中，以一般度量空间上的群作用作为动力系统研究众多动 力学性质最终两个重要的分支从研究中衍生出来：拓扑动力系统和遍历理论本 文的主要研究对象是拓扑动力系统 运用回复时间集以及局部化的思想来研究拓扑动力系统，是近年来研究工作 中的两个特点，运用回复时间集来研究动力系统起源于g o t t s c h a l k ，f u r s t e n b e r g 等 人的工作a k i n 则在他们的基础上发展了上述思想，形成了族的初步理论近来来， 族的理论被g l a s n e r , w e i s s 及叶向东，黄文等进一步拓展在拓扑动力系统方面有 许多优秀的专著，如文献 2 6 在以往对拓扑动力系统的研究中，其底空间一般假设为紧致度量空间，以半 群五作用于其上由于本文研究动力系统的基本性质是为了在比紧度量空间更一 般的拓扑空间中推广混沌的概念，故我们主要讨论在紧度量空间中已得的关于动 力系统结论是否能推广至更广泛的空间，比如序列紧空间，第一可数空间，第二 可数空间，可数紧空间等 从2 0 世纪6 0 年代以来，确定论的科学观开始动摇，人们开始探索科学上那 些不可预测的现象，使得混沌科学得到飞速发展1 9 7 5 年，李天岩与y o r k e 发表了 周期三蕴含混沌的文章，在数学上第一次引入了“混沌”这个名训。7 1 之后，不 同领域的科学家基于自己对混沌的理解，给出了许多混沌的不同定义，下一小节中 我们将详细给出这些定义2 0 0 2 年，叶向东，黄文等在讨论l i - y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌、正熵以及混合性之间的相互关系后证明了在紧度量空间上，d e v a n e y 混沌、 正熵以及混合性都蕴含l i y o r k e 混沌【6 】 电子科技大学硕士学位论文 1 2 选题依据 首先连续自映射的周期点集、非游荡点集、回归点集、0 3 极限点集及其相关 性质的是拓扑动力系统研究的重要内容之一关于这些点集的研究，上世纪8 0 年 代以张景中、熊金城、周作领以及c o v e me m 和n i t e c k iz 等为代表的国内外学 者在实线段上连续自映射的研究中作出了重要贡献【1 4 。2 6 】1 9 9 3 年，叶向东将对实线 段推广到一种称为“树”的特殊偏序集【2 7 1 此后，人们对连续树映射的动力系统行 为进行研究【2 8 。3 0 1 ，得到了一些很好的性质随着动力系统的研究向高维空间和抽象 空间方面不断延伸，人们已经想到：在一般拓扑空间上引入动力系统的概念【3 2 1 并 在“遗传可分解可链连续体”这种特殊紧度量空间上研究连续自映射的动力学性质 3 3 - 3 4 】然而，近二十多年来，人们已经获得的实线段上连续自映射和连续树映射的 动力系统性质哪些能够推广到一般拓扑空间的连续自映射呢? 本文主要在序列紧 空间上讨论了连续自映射广义周期点的重要性质，并利用点集拓扑的方法与技巧 证明了一系列相关结果 对混沌定义的研究一直是混沌学以及动力系统领域中的重要课题，上世纪7 0 年代，l i y b r k e 【7 】首次通过对线段连续自映射的研究给出混沌的数学定义，1 9 8 9 年， d e v a n e y 9 】在度量空间上定义了混沌，1 9 9 2 年，j b a n k s 等五人【1 0 】将d e v a n e y 混沌定义 的三个条件缩减为两个，1 9 9 4 年，m v e l l e k o o p 等【1 2 】在此基础上证明了区间上拓扑传 递性即意味着d e v a n e y 混沌2 0 0 2 年，黄文、叶向东【l3 】证明了在紧度量空间 中。d e v a n e y 混沌意味着l i y o r k e 混沌随着混沌理论的研究向高维空间和抽象空 间方面不断延伸，我们想到能不能在比度量空间更广泛的拓扑空间上引入l i - y o r k e 混沌的定义以及各种相关概念、性质，并在前人的基础上研究l i 。y o r k e 混沌映射存 在的条件? 本文就上述问题进行讨论，首先将度量空间中邻近点、渐近点的概念推广 到满足第一可数性公理的空间上，以此为基础定义了l i y o r k e 意义下的混沌，并研 究抽象拓扑空间上l i y o r k e 混沌的判据 1 3 预备知识介绍 1 3 1 本文使用的符号介绍 x 表示拓扑空间，a 或e 表示x 的子空间；n ( x ) 表示空间中点x 的邻域系； 若x 为一个度量空间，则用d 表示空间x 上的度量，记为度量空间( x ，d ) ；b 。( x ) 2 第一章绪论 表示度量空间( x ，d ) 中以点x 为心，以正数占为半径的开球；i 表示线段；当映射 厂：xj 彳是一个连续映射时，称厂为x 上的一个连续自映射并且用厂2 ( x ) 表示 厂( 厂( 工) ) ，f 3 ( x ) 表示f ( f 2 ( x ) ) ，f “( 功表示f ( f 驴1 ( 功) 特别地，厂。表示线段，上 的恒等映射f ( 门，p ( f ) ( 或n ，( 厂) ) ，r ( f ) ( 或r e c c f ) ) ，q ( 厂) 以及矿( 门分别表 示连续映射厂的不动点集，周期点集，回归点集以及。极限集c o ( x , f ) 表示点x 关 于厂的缈极限集，r e 表示回复时间集未说明的符号与参考文献【6 ，1 3 ，3 5 中的 符号保持一致的含义 1 3 2 本文涉及的基本定义 下面我们给出文献 3 2 3 中，一般拓扑空间上连续自映射的周期点定义，并补充 定义周期轨，回归点，非游荡点，极限点，链回归点等概念 定义1 3 1 【3 2 】设x x ，厂是空间z 上的一个连续自映射，点x 称为是厂的一 个周期点，如果存在自然数玎，使得厂”( 功= x ；设n 为自然数，点x 称为是厂的一 个刀周期点，如果厂”( 石) = z ，但f ( z ) x ，当后= 1 ，2 ，刀一1 ； 称 厂。( x ) ，k = o ，1 ，2 ，以) 为厂的n 一周期轨，如果点xg f 的一个以一周期点 定义1 3 2 设厂是空间x 上的一个连续自映射，点x 称为是厂的一个回归点， 如果v u ( z ) ，存在自然数n ，使得厂”( x ) u 定义1 3 3 设厂是空间x 上的一个连续自映射，点z 称为是厂的一个非游荡 点，如果v u n ( x ) ，3 y u 以及自然数刀，使得厂靠( 少) u 定义1 3 4 设厂是空间x 上的一个连续自映射，点y x 称为点x x 关于厂的 一个国极限点，如果序列x ，( 功，f 2 ( x ) ，有一个子序列f ”- ( x ) ，厂”z ( 工) 收敛于 点) ，点x x 关于厂的全体( - 0 极限点构成的集合记为缈( x ，厂) 定义1 3 5 设厂是空间x 上的一个连续自映射，点x 称为是厂的一个链回归 点，如果对任意u ( 厂( x ) ) ，存在有限个点x o ，而，x m x ，使得x ，u ， x o = x 。= x ，并且对任意整数0 f m - 1 ，存在u i n c f ( x f ) ) ，有x 州u f 成立 下面介绍度量空间中的混沌定义事实上，混沌在不同的学科领域有不同的定 义，在数学理论中，常用的定义有l i - y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌、周作领的混沌和 s s 混沌，分别介绍如下： 1 9 7 5 年，l i y o r k e 最早提出的混沌定义如下： 定义1 3 6 t 7 】设厂：1 专，是连续自映射，是闭区间，且厂的周期点集肋( 厂) 的 周期集等于自然数集，又存在不可数集cx r r ( 厂) ，满足： 3 电子科技大学硕士学位论文 ( 1 ) 1 i m s u p l f ”( x ) 一厂”( y ) i 0v x ，y s o x y ； ( 2 ) 1 i m i n f f ”( x ) 一“( y ) i = 0 v x ，y s ox y ； ( 3 ) 1 i m s u p f ”( 工) - f ”( p ) l 0v x s o ，v p p e r ( f ) 则称厂是l i y o r k e 混沌的 l i y o r k e 混沌的一个直接有用的结果就是：在线段上的连续自映射，若存在3 周期点则该映射是混沌的 1 9 8 9 年d e v a n e y 给出了度量空间中混沌的定义： 定义1 3 7 t 9 】设x 为一个度量空间，映射厂：x 专x 称为在x 上是混沌的，若 下列条件成立： ( 1 ) 厂是拓扑传递的；即对x 中的任意开集u 和矿总存在一个自然数n ，使得 厂( u ) n v 矽 ( 2 ) 周期点在工中稠密，即对周期点集p ( f ) 有p ( f ) = x ( 3 ) 厂对初始条件是敏感依赖的，即存在占 0 ，对彳中任意不相等的两点z ，y ， 满足：存在万 0 ，使d ( x ，y ) 占 针对d e v a n e y 提出的混沌定义，早在1 9 9 2 年j b a n k s 等人就证明了在度量空 间中，由定义中的性质( 1 ) ( 2 ) 可以推出性质( 3 ) 1 0 】，随后a s s a f l v 与g a d b o i s 证明了 在度量空间中条件( 3 ) 是仅有的多余，即由条件( 1 ) ( 3 ) 不能推出( 2 ) ，有条件( 2 ) ( 3 ) 不 能推出( 1 ) 【1 1 】1 9 9 4 年，m v e l l k o o p 及r b e r g l u n d 在前人工作的基础上证明了：在 区间上，仅有拓扑传递性就意味着d e v a n e y 混沌【1 2 】 在紧致度量空间中，d e v a n e y 混沌是比l i y o r k e 混沌更强的混沌在文献 1 3 】 中，黄文与叶向东证明了在紧度量空间上由d e v a n e y 混沌可以推出l i y o r k e 混沌， 即令z 是一个紧度量空间，厂：x x 是一个拓扑传递的映射，x 为无限集表明 每一个渐近类( 或对每一个x x 的稳定集形5 ( x ) ) 是第一类的，并且它的渐近关系 也是第一类的进一步，证明了如果渐近关系在这个数域的某一点的邻域中是稠密 的那么厂就是l i y o r k e 意义下的混沌在应用中，得到如果厂包含一个周期点，或 是2 一散射的，那么厂是l i y o r k e 意义下的混沌从而，d e v a n e y 混沌比l i y o r k e 混沌更强这一重要结果在海内外的混沌理论研究中有着举足轻重的地位，引发了 很多新的研究方向 而对l i - y o r k e 混沌定义，1 9 8 7 年周作领也对其定义进行了简化，得到了周作 领的混沌定义： 定义1 3 8 t 8 j 设f ：x x 是连续映射，x 是一紧度量空间，只要存在x 的不 4 第一章绪论 可数的不规则子集s ，对任意x ，ye s 满足 ( 1 ) l i m i n f d ( f ”( x ) ，f ”( j ，) ) = 0 ； ( 2 ) 当x y 时，l i m s u p d ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 0 则称厂为l i - y o r k e 意义下的混沌 若x , y x ，对于任意实数t 和正整数n ，令 六( 厂，x ，y ，f ) = c a r d i d ( f ( 功，厂。( y ) ) 0 ，使得f ( f ，x ，y ，t ) = 0 ； ( 2 ) 对于v t 0 ，有，( 厂，z ，y ，t ) = 1 如果存在不可数集d c x 使得d 中任何不同两点都是s s 混沌点偶，则称厂是 s s 混沌的 基于前人的这些工作，要研究拓扑空间上混沌定义的推广，特别是l i y o r k e 意 义下混沌的判据，就可以从多种途径出发，本文进一步细化到第二可数拓扑空间上 的动力系统的混沌判据，主要是找到在拓扑空间上的拓扑传递系统能生成l i - y o r k e 混沌的一些判据 本文所涉及到的关于点集拓扑学中的相关概念与内容都来自于文献 3 5 和 3 6 ， 为方便起见，罗列如下： 定义1 3 1 0 【3 5 】空间x 称为是满足第一可数性公理( t h ef i r s ta x i o mo f c o u n t a b i l i t y ) 的，如果x 的每一点z 都有一个可数邻域基( ac o u n t a b l eb a s eo ft h e n e i g b o u r h o o d s ) 定义1 3 1 1 3 5 , 3 6 空间x 称为是紧空间( 可数紧空间) ，如果x 的每个开覆盖( 可 数开覆盖) 都有有限子覆盖；空间彳称为是序列紧空间，简称列紧空间，如果x 中每 个点列都有一个收敛的子列 定义1 3 1 2 1 3 5 , 3 6 1 设( x ，p ) ，( y ，仃) 为度量空间，映射f ：x y 称为是一致连 续的，如果对任意占 0 ，都存在万 0 ，对任意点x a ，x 2 x ：p ( x l ，x 2 ) 万，恒 有t r ( f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) ) g 1 3 3 本文涉及的基本引理 引理1 3 1 3 5 , 3 6 满足第一可数性公理的空间x 中，每一点都有一个单调递降的可 5 电子科技大学硕士学位论文 数邻域基即，v x x ，了 u ) ：。c ( 功使得乩cu + 。( v n n ) 并且 v 形( 功，3 n n ，有以cw 引理1 3 2 t 3 5 3 6 1 紧空间是可数紧空间：可数紧空间是序列紧空间 引理1 3 3 t 3 6 】紧的h a u s d o r f f 空间是b a i r e 空间；完备度量空间是b a i r e 空间； b a i r e 空间中可数个开稠子集的交仍稠密 引理1 3 4 t 删设厂是第二可数空间x 上的连续自映射，如果厂是拓扑传递的， 即t r a n r 矽，则t r a n r 是中稠密的g 集 1 4 本文结构简介 本论文主要讨论了拓扑动力系统的传递性、极小性、混合性等基本性质，拓 扑空间上连续自映射的广义周期点极其基本性质，以及第一可数空间上的l i y o r k e 混沌全文共分五章 第一章首先介绍了动力系统及混沌理论的发展概况及现状，引出研究拓扑动 力系统及混沌的意义，介绍了全文使用的符号、基本定义及基本引理 第二章将以紧度量空间为底空间的动力系统的传递性、极小性、混合性等基 本性质推广到更广泛的空间中，分别给出了以一般拓扑空间为底空间的传递系统、 极小系统、弱混合及系统上因子映射的等价描述 第三章在一般拓扑空间上推广了线段连续自映射的几类广义周期点的概念， 着重在序列紧空间上讨论了它们的迭代性质及其相互关系，并且，通过这些结果 可自然得到在( 可数) 紧度量空间上成立的相关推论，得到的主要结果是：在满足第 一可数性公理序列紧空间中，若任意真子空间的补集与该真子空间的差为有限集， 则空间中点是非游荡点的充分必要条件是对于该点的任意领域，存在领域中一点， 使得对领域中这个点迭代充分大的次数后能得到已知点；缈一极限集非空有限当且 仅当它是一个周期轨；任意空间上连续自映射的链回归点是闭集 第四章首先将度量空间中邻近点、渐近点的概念推广到满足第一可数性公理 的空间上，以此为基础定义了l i y o r k e 意义下的混沌，作为此定义的应用，我们在第 二可数的b a i r e 空间上证明了以下结果：如果含有不动点的系统是拓扑传递的，且每 个传递点的渐近点集都是第一范畴集，那么系统是稠密的l i y o r k e 混沌的；当空间还 满足序列紧条件时，如果含有周期点的系统是拓扑传递的，且每个传递点的渐近点 集都是第一范畴集，那么系统是l i 。y o r k e 混沌的本章在已有结果的基础上进行了很 大的创新，提高和扩展了以往的结果 6 第一章绪论 第五章对全文做出了总结，并指出了全文的创新点和后续工作建议，为将来 的研究奠定了一定的基础 7 电子科技大学硕士学位论文 第二章混沌理论的动力系统基础 2 1 引理及其预备 本章讨论拓扑动力系统的基本性质，从而为第四章讨论混沌打下基础一般而 言，拓扑动力系统研究的是拓扑群在拓扑空间上作用的定性性质文献 6 在紧度量 空间中介绍了拓扑动力动力系统的基本概念，并着重讨论了半离散动力系统的传 递性、极小性、混合性以及其他回复属性等，在这一章中我们将在一般拓扑空间 中重新定义这些基本概念，并分别在以后各节中推广文献 6 中所描述的各种动力 性质现在首先给出一般拓扑空间中拓扑动力系统的定义如下： 定义2 1 1 设x 是一个拓扑空间，g 为拓扑群，如果：g xjx 连续且满 足： ( 1 ) 对任意x z ，有( e ，x ) = x ，其中e 为g 的单位元； ( 2 ) 对任意x x 和蜀，9 2 g ，矽( 9 1 ，矽( 9 2 ，x ) ) = 矽( 蜀9 2 ，功成立 那么就称( 彳，g ，矽) 为一个拓扑动力系统 一般地，也直接用( z ，g ) 记一个拓扑动力系统此时容易证明对于每个g g ， 痧( g ，) ：x 专x ，xh ( g ，x ) 为同胚为方便计，有时将矽( g ，z ) 简记为g ( x ) 当x 为 单点集时，称系统( x ，g ) 为平凡系统 定义2 1 2 如果g = r 为实数加群，称( 彳，尺) 为一个流如果g = z 为整数加 群，那么称( x ，z ) 为一个离散动力系统 设厂：x x 为一个同胚，可以定义矽：z x x ，使得矽( ，z ，石) = f 4 ( x ) 于 是( x ，z ，矽) 表示离散动力系统反之，如果( x ，z ，矽) 为一个离散动力系统，那么 f ：xj x ，xh 矽( 1 ，x ) 为一个同胚，且对任意x x 及n z ，有矽( ”，石) = 厂”( x ) 正 因为如此，一般直接以( z 厂) 表示离散动力系统 定义2 1 3 如果g 是非负整数加法半群z + ，那么称( x ，z + ，) 为一个半离散动 力系统 利用类似的讨论可以看出，一个半离散动力系统可以由一个连续映射生成在 本文中，我们讨论的主要对象就是半离散动力系统 定义2 1 4 设( x ，g ) 为动力系统对任意x x ，称o r b ( x ，g ) = k ( 功：g g ) 为 x 的轨道设e 为z 的子集 r 第二章混沌理论的动力系统基础 定义2 1 5 如果对任意g g ，g ( g ) = 位( 工) ：x e ) se ，则称e 为不变集 定义2 1 6 如果e x 为闭的不变集，则将群作用限制在e 上也成为一个动力 系统，称之为( 彳，g ) 的子系统，记为( e ，g ，) 对任意x x ，易见o r b ( x ，g ) 为闭的不变集，进而( o r b ( x ，g ) ，g ) 是( 彳，g ) 的一 个子系统这是一个常用的构造新动力系统的方法设( x ，g ) 和( y ，g ) 为两个动力 系统，定义它们的乘积系统为( x y ，g ) ，其中任意g g ，g ( x ，y ) = ( g ( z ) ，g ( y ) ) 任 意多个系统的乘积系统可以类似的定义 就像别的数学分支一样，拓扑动力系统的一个中心问题便是系统的分类于是 一个自然的问题是：两个拓扑动力系统何时是“一样的”? 在一般拓扑学中，两个拓 扑空间如果同胚，那么我们认为它们是一样的；而在代数中，两个群如果为同构 的，那么认为它们是一样的，在拓扑动力系统中，有如下定义 定义2 1 7 设( 五，g ，办) 和( 置，g ，办) 为两个拓扑动力系统如果存在一个连续 满射7 ：五_ 五，使得石( g ( z ) ) = g ( z r ( x ) ) ，g ，v x 墨，那么就称( 五，g ，么) 为( 置，g ，欢) 的一个扩充，或者称( 五，g ，改) 是( x l ，g ，破) 的一个因子此时称万为一 个因子映射或称为半共轭如果万为同胚，就称( 墨，g ，磊) 和( 置，g ，政) 为共轭的 在拓扑动力系统中，两个系统如果是拓扑共轭的，我们就认为它们是一样的 于是，寻求共轭不变量是拓扑动力系统的一个重要主题 在本文中我们讨论的是半离散动力系统，即群互作用下的系统故我们所指的 拓扑动力系统是指偶对( 彳，n ，其中z 为拓扑空间，厂：x 寸x 为连续映射，由于 此时为半群作用，所以一些概念会与上面的定义在叙述上有所不同，定义如下： 定义2 1 8