度高中数学 2.2.1圆的方程同步辅导与检测课件 苏教版必修2.ppt

2 2圆与方程2 2 1圆的方程 平面解析几何初步 1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 2 a b两镇相距10km 现要修建一游乐场 使其到两地距离的平方和为60 那么游乐场应修在何处 仅仅根据问题中的几个数据无法表示距离 如果将这个问题放在直角坐标系中来考虑 就很容易表示出各个距离了 首先以ab两镇所在的直线为x轴 以ab中点为原点建立直角坐标系 则a 5 0 b 5 0 设p x y 为游乐场的位置 则有 x 5 2 y2 x 5 2 y2 60 化简得x2 y2 5 你能说明一下游乐场应建在哪吗 1 在平面直角坐标系中 当 与 确定后 圆就唯一确定了 因此 确定圆的最基本要素是 2 在平面直角坐标系中 若一个圆的圆心为a a b 半径长为r 则圆的标准方程为 若点m x0 y0 在圆上 则点m的坐标就适合方程 即 反之 若点m x0 y0 的坐标适合方程 这就说明 与 的距离为r 即点m在圆心为a 半径为r的圆上 1 圆心半径圆心和半径2 x a 2 y b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2点m圆心 3 圆心在坐标原点 半径长为r的圆的方程为 4 若点m x0 y0 在圆x2 y2 r2内 则满足条件 若点m x0 y0 在圆x2 y2 r2外 则满足条件 同理 若点m x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2内 则满足条件 若点m x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2外 则满足条件 3 x2 y2 r24 x y r2x y r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 5 abc外接圆的圆心是 abc的外心 即 的交点 abc内切圆的圆心是 abc的内心 即 的交点 6 已知p1 x1 y1 p2 x2 y2 以p1p2为直径的圆的方程为 记忆规律 圆上动点横坐标与端点横坐标差的积 圆上动点纵坐标与端点纵坐标差的积 0 方程前后结构相同 5 abc三边垂直平分线 abc三内角平分线6 x x1 x x2 y y1 y y2 0 7 d2 e2 4f 0 d2 e2 4f 0 d2 e2 4f 08 d2 e2 4f 0 9 求圆的一般式方程常用 待定系数法 用 待定系数法 求圆的一般式方程的大致步骤是 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 圆的标准方程 圆的标准方程是由圆心坐标和半径确定的 所以已知圆心坐标和半径就能直接写出圆的方程 反之已知圆的标准方程也可以直接得到圆心坐标和半径 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 点在圆内 点在圆上 点在圆外 判断方法是将所给的点m与圆心c的距离跟半径r的大小比较 若cm r 则点m在圆上 若cm r 则点m在圆外 若cm r 则点m在圆内 求圆的方程的方法 求圆的方程有两种基本方法 1 直接法 即求出圆心坐标和半径 直接得到圆的标准方程 2 待定系数法 先设出圆的方程 再根据题目条件解出系数得到圆的方程 基本思路为 选用圆的方程两种形式中的一种 如果已知圆上的三个点的坐标 一般选用一般方程 如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系 一般选用标准方程 根据所给条件 列出关于d e f或a b r的方程组 解方程组 求出d e f或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求的圆的方程 求轨迹方程的基本步骤 建立适当直角坐标系 题目中已经涉及坐标系的不用建 设所求轨迹上点的坐标m x y 根据题意 列出方程f x y 0 化简方程 检验是否方程所有的解都满足题意 若有不满足的要删去多余的解 若有遗漏则应补上失去的解 转换法求轨迹方程 转换法一般是求与已知曲线相关曲线的方程 如求圆上一点与某一定点的中点的轨迹方程 转换法是利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的相关动点的关系 把所求动点转换为已知动点 圆的方程 设圆满足 截y轴所得的弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足 的所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 分析 设圆心 a b 半径r 然后利用平面几何知识解决问题 解析 设所求圆的圆心为p a b 半径为r 则p到x轴 y轴的距离分别为 b a 由题设知圆p被x轴截得的劣弧所对的圆心角为90 故圆p截x轴所得的弦长为r 所以 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab a2 4b2 2 a2 b2 2b2 a2 1 当且仅当a b时 上式等号成立 此时5d2 1 从而d取得最小值 规律总结 1 求圆的方程的一般步骤 选用圆的方程两种形式中的一种 如果已知圆上的三个点的坐标 一般选用一般方程 如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系 一般选用标准方程 根据所给条件 列出关于d e f或a b r的方程组 解方程组 求出d e f或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求的圆的方程 2 本题是解析几何和代数的一个综合题 实质是根据已知条件求最值问题 有机地将代数和几何联系在一起 利用圆的有关性质是解决本题的关键 变式训练 1 x2 y2 9 2 x 3 2 y 4 2 5 3 解法一 圆的半径r cp 5 圆心在点 8 3 圆的方程是 x 8 2 y 3 2 25 解法二 圆心为c 8 3 故设圆的方程为 x 8 2 y 3 2 r2 又 点p 5 1 在圆上 5 8 2 1 3 2 r2 r2 25 所求圆的方程是 x 8 2 y 3 2 25 动点的轨迹问题 如下图 已知o为坐标原点 p在圆c x 2 2 y2 1上运动 求线段op的中点m的轨迹方程 分析 点p运动引起m运动 而p点在已知圆上运动 点p的坐标满足方程 x 2 2 y2 1 建立点m与点p坐标之间的关系 就可以建立点m的坐标满足的条件 求出点m的轨迹方程 或利用圆的定义求出m点的轨迹方程 规律总结 1 代入法和定义法 是求轨迹方程的常用方法 注意熟练掌握 2 直接法求点的轨迹方程的步骤 建系设点 建立适当的直角坐标系 设曲线上任一点坐标为m x y 几何点集 写出满足题设的点m的集合p m p m 翻译列式 将几何条件p m 用坐标x y表示 写出方程f x y 0 化简方程 通过同解变形化简方程 查漏除杂 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线 重点检查方程表示的曲线是否有多余的点 曲线上是否有遗漏的点 该方法常用于解答与圆相关的应用性问题 变式训练 2 设圆的方程为x2 y2 4 过点m 0 1 的直线l交圆于a b两点 o是坐标原点 点p为ab的中点 当l绕点m旋转时 求动点p的轨迹方程 解析 与圆有关的最值问题 若实数x y满足 x 2 2 y2 3 则的最大值为 规律总结 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的性质 利用数形结合求解 一般地 形如形式的最值问题 可转化为动直线的斜率的最值问题 形如l ax by形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的最值问题 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p为圆上的动点 求d pa 2 pb 2的最大 最小值及对应的p点坐标 分析 设出p点坐标转化为求函数最值题 解析 若设p x0 y0 则d pa 2 pb 2 x0 1 2 y x0 1 2 y 2 x y 2 欲求d的最值 只需求 x y的最值 即求圆c上的点到原点的距离的平方的最值 故过原点o与圆心c的直线与圆的两个交点p1 p2即为所求 设过o c两点的直线交圆c于p1 p2两点 方法点拨 研究圆上的点到定点 或到定直线 的距离的最值问题 一般在点与定点的连线 点与直线的垂线 过圆心时寻求 解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外 还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换 化成关于sin 或cos 的函数 再利用正 余弦函数的有界性求解 基础巩固 点与圆位置关系的判定 1 点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则a的取值范围为 解析 由 1 a 2 1 a 2 4 2 2a2 4 a2 1 答案 1 1 能力升级 方程x2 y2 dx ey f 0表示