高考数学总复习 第七章 第七节双曲线(一)课件 文.ppt

第七节双曲线 一 第七章平面解析几何 考纲要求 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 理解数形结合的思想 课前自修 知识梳理 一 双曲线的定义1 我们把平面内与两个定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 用符号表示为 af1 af2 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距 2 双曲线的第二定义 属知识拓展 平面内 到定点f c 0 或f 0 c 的距离与到定直线l x 的距离之比是常数的动点的轨迹叫做双曲线 这个定点是双曲线的焦点 这条定直线叫做双曲线的准线 其中常数叫做双曲线的离心率 二 双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时 双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 其中焦点坐标为f1 c 0 f2 c 0 且c2 a2 b2 当双曲线的焦点在y轴上时 双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 其中焦点坐标为f1 0 c f2 0 c 且c2 a2 b2 当且仅当双曲线的中心在坐标原点 其焦点在坐标轴上时 双曲线的方程才是标准形式 三 双曲线的几何性质 基础自测 2 ab 0 是 曲线ax2 by2 1为双曲线 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由ab0 b0 由此可知a与b符号相反 则方程表示双曲线 反之亦然 故选c 答案 c 3 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq在左支上 若 pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长是 14 8 考点探究 考点一 求双曲线的标准方程 例1 设双曲线与椭圆 1有共同的焦点 且与椭圆相交 一个交点的纵坐标为4 求双曲线的方程 思路点拨 由于椭圆的焦点坐标为 0 3 且双曲线与椭圆具有相同的焦点 知双曲线的焦点也为 0 3 从而知所设双曲线的形式应为 1 围绕定义产生的问题 要注意 af1 af2 2a的三个量之间的关系 本题抓住 交点a 在双曲线上 必须满足定义 从而应用定义求出双曲线方程中的基本量 点评 利用定义法来求解双曲线的标准方程时 一定要抓住题设所给出的独立条件建立a b c之间的等量关系 再利用c2 a2 b2运用方程的思想来求解 从而得到a b的值 但需注意首先应判断焦点的位置 以便于采用哪种形式的方程 变式探究 1 1 正三角形abc的面积为4 顶点a在y轴上 顶点b c在x轴上 则以b c为实轴顶点 a为虚轴一个端点的双曲线方程是 2 2011 长沙市二模 设椭圆c1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 考点二 双曲线定义的运用 例2 2011 沈阳市模拟 如图所示 f为双曲线c 1的左焦点 双曲线c上的点pi与p7 i关于y轴对称 则的值是 a 9b 16c 18d 27 解析 设双曲线的右焦点为f 因为双曲线c上的点pi与p7 i i 1 2 3 关于y轴对称 所以 p1f p6f p2f p5f p3f p4f 由双曲线的定义知 p1f p1f 6 p2f p2f 6 p3f p3f 6 所以 p1f p1f p2f p2f p3f p3f 18 故选c 答案 c 点评 当已知条件涉及双曲线的焦点时 优先考虑能否可用定义来解决 若能 它往往会起到降低难度 思路简洁的效果 2 1 2012 保定市质检 已知m 2 0 n 2 0 pm pn 3 则动点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线左边一支c 双曲线右边一支d 一条射线 2 设点p是双曲线 1上一点 双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 若 pf1 3 则 pf2 等于 变式探究 解析 1 pm pn 3 pn 点p的轨迹为双曲线的右支 故选c 2 由渐近线方程可得a2 4 a 2 根据双曲线定义 pf1 pf2 4 即3 4 pf2 7 答案 1 c 2 7 pf2 考点三 利用双曲线定义求轨迹方程 例3 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析 如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之差是常数2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到c2的距离大 到c1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 其轨迹方程为x2 1 x 1 变式探究 3 已知 abc中 c 2 0 b 2 0 sinb sinc sina 则顶点a的轨迹方程是 解析 由正弦定理及sinb sinc sina得 ac ab bc bc 由双曲线的第一定义知 顶点a的轨迹是以c b为焦点 长轴长为2的双曲线的右支 c 2 a 1 b2 c2 a2 3 顶点a的轨迹方程为x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 考点四 根据方程中的参数取值判断曲线的类型 例4 已知a 0 p 试探究随a值的变化 方程x2sina y2cosa 1所表示的曲线 解析 1 a 0时 为两直线y 1和y 1 2 a 时 为两直线x 1和x 1 3 0 a 时 为焦点在x轴上的椭圆 4 a 时 半径为的圆 5 a 时 焦点在y轴上的椭圆 6 a p时 焦点在x轴上的双曲线 点评 本题主要考查圆 椭圆 双曲线方程的形式和分类讨论思想 变式探究 4 1 若k r 则方程 1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是 a 3 2d k 2 2 2011 福州市模拟 方程 1表示曲线c 给出以下命题 曲线c不可能为圆 若14 若曲线c为焦点在x轴上的椭圆 则1 t 其中真命题的序号是 写出所有正确的命题的序号 解析 1 由题意可知 解得 3 k 2 故选a 答案 1 a 2 本节的重点是双曲线的定义 方程 难点是理解参数a b c e的关系 关键是准确理解和掌握有关概念 灵活地运用数形结合 函数与方程的思想及等价转化的思想 为此在复习中应注意以下几点 1 双曲线的定义用代数式表示为 mf1 mf2 2a 其中2a f1f2 时 动点轨迹不存在 2 双曲线中有一个重要的rt oab 如图 它的三边长分别是a b c 易见c2 a2 b2 若记 aob q 则e 3 参数a b是双曲线的定形条件 两种标准方程中 总有a 0 b 0 双曲线焦点位置决定标准方程的类型 a b c的关系是c2 a2 b2 在方程ax2 by2 c中 只要ab 0且c 0 就是双曲线的方程 4 在运用双曲线的第二定义时 一定要注意是动点p到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e 若使用的焦点与准线不是对应的 则上述之比就不再是常数了 感悟高考 品味高考 1 2012 大纲全国卷 已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 a b c d 2 设圆c与两圆 x 2 y2 4 x y2 4中的一个内切 另一个外切 1 求圆c的圆心轨迹l的方程 2 已知点m f 0 且p为l上动点 求 mp fp 的最大值及此时点p的坐标 2 由已知可求得过m f的直线l方程为y 2 x 将其代入l的方程得15x2 32x 84 0 解得x1 x2 故可求得l与l的交点坐标分别为t1 t2 因t1在线段mf外 t2在线段mf内 故 mt1 ft1 mf 2 mt2 ft2 mf 2 若p不在直线mf上 在 mfp中有 mp fp mf 2 故