高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课件 文.ppt

第一节函数及其表示 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单应用 课前自修 知识梳理 一 映射的概念1 映射的定义 设a b是两个非空集合 如果按照对应法则f 对于集合a中的任意一个元素 在集合b中都有 的元素和它对应 那么这样的对应叫做集合a到集合b的映射 记作f a b 2 一一映射 在集合a到集合b的映射中 若b中的任意一个元素在a中有唯一的元素与它对应 那么这样的映射叫做从集合a到集合b的一一映射 唯一 3 象与原象 对于给定的一个集合a到集合b的映射 且a a b b 元素a与元素b对应 那么元素b叫做元素a的 元素a叫做元素b的 设原象a组成的集合为m 则m与a的关系为 设与原象a对应的象b组成的集合为c 则c与b的关系为 二 函数的概念1 函数的定义 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有唯一确定的数f x 与它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 象 原象 m a c b 其中x叫做自变量 自变量x的取值范围 数集a 叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 所有函数值构成的集合c 叫做这个函数的值域 显然值域c b 2 用映射的观点来定义 如果a b都是非空的数集 那么从a到b的映射f a b叫做a到b的函数 原象的集合a叫做函数的 象的集合c叫做函数的值域 显然值域c b 注意 两种定义虽然表述不同 但其实质是相同的 定义域 3 函数的三要素 在这三要素中 由于 可由 和 唯一确定 故也可说函数只有两要素 4 两个函数能成为同一函数的条件是 定义域与对应法则都相同 三 函数的表示1 函数的表示方法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法和图象法三种 1 解析法 就是把两个变量的函数关系 用一个等式表示 这个等式叫做函数的解析表达式 简称解析式 2 列表法 就是列出表格来表示两个变量的函数关系 3 图象法 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 定义域 对应法则 值域 值域 定义域 对应法则 2 函数解析式的常用求法 1 配凑法 2 换元法 3 待定系数法 4 赋值法 四 函数定义域的确定1 定义域是函数的灵魂 因此在研究函数时一定要遵循 定义域优先 的原则 而确定函数的定义域的原则是 1 当函数y f x 是用表格给出时 函数的定义域是指表格中实数x的集合 2 当函数y f x 是用图象给出时 函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合 3 当函数y f x 是用解析式给出时 那么函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合 4 若y f x 是由实际问题给出时 则函数的定义域由实际问题的意义确定 2 由解析式表示的函数的定义域的求法 1 若f x 是整式 则函数的定义域是实数集r 2 若f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于0的实数集 3 若f x 是二次 偶次 根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合 4 若f x 是对数式 则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合 5 若f x 是指数式 则零指数幂的底数不等于零 6 若f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 7 含参问题的定义域要分类讨论 五 分段函数1 分段函数的定义 在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数 叫做分段函数 它是一类较特殊的函数 2 分段函数是一个函数 而不是几个函数 若函数为分段函数 则分别求出每一段上的解析式 再合在一起 3 因分段函数在其定义域内的不同子集上 其对应法则不同而分别用不同的式子来表示 因此在求函数值时 一定要注意自变量的值所在的子集 而代入相应的解析式去求函数值 不要代错解析式 4 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函数的值域的并集 基础自测 1 2012 广东执信中学测试 与函数y 10lg x 1 的图象相同的函数是 a y b y x 1c y x 1 d y 解析 y 10lg x 1 x 1 x 1 y x 1 x 1 y 10lg x 1 与y 是同一个函数 它们的图象相同 故选a 答案 a 2 2013 揭阳一中 潮州金山中学联考 设f x 则f 6 a 8b 7c 6d 5 解析 f 6 f f 11 f 8 f f 13 f 10 7 故选b 答案 b 解析 f 2 f 1 2 2 1 2 1 4 故选d 答案 d 4 2013 东莞市城南中学月考 若函数f x 则f x 的定义域是 解析 1 log2x 0 所以log2x 1 得0 x 2 即定义域为 0 2 答案 0 2 考点探究 考点一 对函数概念的准确理解 例1 下列各组函数中 表示同一个函数的是 a y 与y x 1b y lgx与y lgx2c y 1与y x 1d y x与y logaax a 0且a 1 思路点拨 从函数的三要素的角度来判断是否为同一个函数 只有定义域和对应法则相同的函数才是同一个函数 解析 选项a b中 定义域不同 选项c中 值域不同 只有选项d中的两个函数的三要素相同 故选d 答案 d 变式探究 1 2012 天津市模拟 下列四组函数中 其函数图象相同的是 d 例2 2011 北京市海淀区检测 设m x 2 x 2 n y 0 y 2 函数f x 的定义域为m 值域为n 则f x 的图象可以是 解析 a项定义域为 2 0 d项值域不是 0 2 c项对任意x的值 都有两个y值与之对应 它不是函数的图象 b项符合题设条件 故选b 答案 b 变式探究 2 2012 南昌市模拟 下图的 四个图象各表示两个变量x y的对应关系 其中表示y是x的函数关系的有 解析 由函数定义可知 任意作一条直线x a 则与函数的图象至多有一个交点 对于本题而言 当 1 a 1时 直线x a与函数的图象仅有一个交点 当a 1或a 1时 直线x a与函数的图象没有交点 选项中表示y是x的函数关系的有 答案 考点二 求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域 思路点拨 本题要求给出解析式的函数的定义域 其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合 于是可转化为解不等式或不等式组 点评 要求给出解析式的函数的定义域 其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合 于是可转化为解不等式或不等式组 因此要熟练掌握如下几种情况 1 含有分式的 分母不等于0 2 有偶次根式的 被开方式大于等于0 3 含有对数式的 真数大于0 底数大于0且不等于1 4 指数式中 若指数为0 则底数不等于0 5 要熟练基本初等函数的定义域 变式探究 3 2012 深圳市松岗中学模拟 函数y 的定义域为 解析 0 0 x 3 1 3 x 4 函数定义域为 3 4 答案 3 4 例4 1 已知f x 的定义域是 0 4 则f x2 的定义域为 f x 1 f x 1 的定义域为 2 已知f x2 的定义域为 0 4 则f x 的定义域为 思路点拨 函数f x 的定义域为 a b 则函数f g x 的定义域由不等式a g x b解出 解析 1 f x 的定义域为 0 4 又f x2 以x2为自变量 0 x2 4 2 x 2 故f x2 的定义域为 2 2 f x 1 f x 1 以x 1 x 1为自变量 于是有 1 x 3 故f x 1 f x 1 的定义域为 1 3 2 f x2 的定义域为 0 4 0 x 4 0 x2 16 故f x 的定义域为 0 16 答案 1 2 2 1 3 2 0 16 变式探究 4 若函数y f x 的定义域为 则f log2x 的定义域为 考点三 求函数的解析式 例5 1 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 2 若 求函数f x 的解析式 3 已知f x 2f x 3x 2 求f x 的解析式 解析 1 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 f x 2x 7 2 用x代换x 得f x x2 2 即为所求的函数f x 的解析式 3 以 x代x后所得等式与原等式组成方程组解得f x 3x 即为所求函数f x 的解析式 点评 1 题已知f x 为一次函数 可用待定系数法 2 题用配凑法 3 题用方程组法 变式探究 5 1 已知f x2 5x 则f x 2 已知f x 为二次函数 且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 f x 的解析式为 解析 1 用换元法 略 2 用待定系数法 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 答案 1 x 0 2 f x x2 x 3 考点四 分段函数 例6 2012 江西卷 设函数f x 则f f 3 等于 a b 3c d 思路点拨 求分段函数的函数值时 要注意自变量的值所在的子集 再代入相应的解析式求值 解析 f f 3 f 2 1 故选d 答案 d 变式探究 易错警示 案例 求函数解析式忽略定义域致误 求下列函数的解析式 错因分析 以上解答中忽略了函数定义域而致误 在换元中 要注意确定新元的取值范围 这是防止漏掉定义域的好办法 课时升华 1 映射是特殊的对应 其 特殊性 在于 它只能是 一对一 或 多对一 的对应 不能是 一对多 的对应 故判断一个对应是否是映射的方法是 首先检验集合a中的每个元素是否在集合b中都有象 然后看集合a中每个元素的象是否唯一 另外还要注意 映射是有方向性的 即a到b的映射与b到a的映射是不同的 对于映射定义应搞清如下几点 1 对应法则 重在效果 未必要写出 可以 尽在不言中 对应法则未必都能用解析式表达 2 a中的每一个元素都有象 且唯一 b中的元素未必有原象 即使有 也未必唯一 3 若对应法则为f 则a的象记为f a 2 函数是特殊的映射 其特殊性在于 集合a与集合b只能是非空数集 即函数是非空数集a到非空数集b的映射 注意 1 函数一定是映射 映射不一定是函数 只有两个非空数集之间的映射才是函数 2 要克服 函数就是解析式 的片面认识 有些对应法则很难甚至于无法用解析式表达 可用列表法或图象法反映出来 3 定义域 原象集合a 值域 象集合b 3 对函数符号f x 的含义的理解 f x 是表示一个整体函数符号 而记号 f 可看作是对 x 施加的某种法则 或运算 如f x x2 2x 3 在这里 f 看作是对 x 施加了这样的运算法则 先平方 再减去它与2的积 再加上3 又如f x lg 3x 2 x 1 本式中 f 应看作是对 x x 1 施加了如下法则 先求x与3的积减去2 再求所得的差的常用对数 4 当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时 它们才是同一个函数 5 定义域优先原则 函数定义域是函数的灵魂 它是研究函数的基础依据 对函数性质的讨论 必须在定义域上进行 坚持定义域优先的原则 不仅是为了防止出现错误 有时 优先考虑定义域还会为解题带来很大的方便 6 求分段函数解析式应注意的问题 若函数为分段函数 则分别求出每一段上的解析式 再合在一起 7 在求分段函数的值f x0 时 一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集 然后再代入相应