高考数学 12.2 排列、组合的综合应用问题复习课件 理.ppt

12 2排列组合的综合应用问题 1 某校高中二年级共有六个班 现从外地转入 名学生 要安排到该年级的两个班级 且每班安排2名 则不同的安排方案的种数为 a b c d 解析 分两步 把 名学生平均分成两组 有种分法 把两组学生分配到六个班中的两个班去 有种分法 所以共有方案种 故选b b 2 从黄瓜 白菜 油菜 扁豆4种蔬菜品种中选出3种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 不同的种植方法共有 a 24种b 18种c 12种d 6种解析 因为黄瓜必选 故再选2种蔬菜的方法有种 在不同土质的三块土地上种植的方法有种 所以种法共有种 b 3 从a b c d e五名学生中选出四名学生参加数学 物理 化学 英语竞赛 其中a不参加物理 化学竞赛 则不同的参赛方案种数为 a 24b 48c 120d 72解析 分选a和不选a两类情况 若不选a有种 若选a 应先选人有种 再排科目 种 故有种 所以总方案为种 故选d d 4 过三棱柱任意两个顶点的直线共有 条 以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共 个 过三棱柱任意两个顶点的异面直线共有 对 36 12 15 解析 因为三棱柱共有6个顶点 其中每三个顶点均不共线 所以过其中任意两个顶点的直线共有条 且4点不共面的共有种 即12个三棱锥 又每个三棱锥有三对异面直线 所以异面直线共有12 3 36对 5 用0 1 2 9十个数组成五位数 其中含3个奇数与2个偶数且数字不同的五位数有 个 解析 含0的 有种 不含0的 有种 共有个 11040 1 求解排列与组合的综合应用题的三条途径 1 以 先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 即优元法 2 以 即先满足特殊位置的要求 再考虑其他位置 即优位法 这两种方法都是 元素为分析对象 位置为分析对象 直接法 3 先不考虑附加条件 计算出所有排列数或组合数 再减去不符合要求的排列数或组合数 即 2 解排列 组合题的 十六字方针 十二个技巧 1 十六字方针 是解排列 组合题的基本规律 即 间接法 分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合 2 十二个技巧 是解排列 组合题的捷径 即 相邻问题捆绑法 不相邻问题插空法 多排问题单排法 定序问题倍缩法 定位问题优先法 有序分配问题分步法 多元问题分类法 交叉问题集合法 至少 或至多 问题间接法 选排问题先取后排法 局部与整体问题排除法 复杂问题转化法 3 解答组合应用题的总体思路 1 从集合的意义讲 分类要做到各类的并集等于全集 以保证分类的不遗漏 任何两类的交集等于空集 以保证分类的不重复 计算结果是使用分类计数原理 2 整体分类以后 对每一类进行局部分步 分步要做到步骤连续 以保证分步的不遗漏 同时步骤要独立 以保证分步的不重复 计算结果时用分步计数原理 整体分类 局部分步 3 辩证地看待 元素 与 位置 排列 组合问题中的元素与位置 没有严格的界定标准 哪些事物看成元素或位置 要视具体情况而定 有时 元素选位置 问题解决得简捷 有时 位置选元素 效果会更好 考点1 带有限制条件的排列 组合问题例题1 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 解析 1 方法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间4个位置上任选1个 有种站法 然后其余5人在另外5个位置上作全排列 有种站法 根据分步计数原理 共有站法种 方法二 由于不站两端 这两个位置只能从其余5个人中选2个人站 有种站法 然后中间4人有种站法 根据分步计数原理 共有站法种 2 甲 乙必须相邻 解析 2 方法一 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 有种站法 再把甲 乙进行全排列 有种站法 根据分步计数原理 共有种站法 方法二 先把甲 乙以外的4个人作全排列 有种站法 再在5个空当中选出一个供甲 乙放入 有种站法 最后让甲 乙全排列 有种站法 共有站法种 3 甲 乙不相邻 解析 方法一 因为甲 乙不相邻 中间有隔挡 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的4个人站队 有种 第二步再将甲 乙排在4人形成的5个空当 含两端 中 有种 故共有站法种 方法二 也可用 间接法 6个人全排列有种站法 由 2 知甲 乙相邻有种站法 所以不相邻的站法有720 240 480种 4 甲 乙之间间隔两人 解析 方法一 先将甲 乙以外的4个人作全排列 有种 然后将甲 乙按条件插入站队 有种 故共有种站法 方法二 先从甲 乙以外的4个人中任选2人排在甲 乙之间的两个位置上 有种 然后把甲 乙及中间2人看作一个 大元素 与余下2人作全排列有种方法 最后对甲 乙进行排列 有种方法 故共有种站法 点评 带有限制条件的排列问题 一般都是对某个或某些元素或位置加以限制的问题 被限制的元素通常称为特殊元素 被限制的位置称为特殊位置 这一类题通常从三种途径考虑 以元素为主考虑 这时 一般先解决特殊元素的排法问题 即先满足特殊元素 以位置为主考虑 这时 一般先解决特殊位置的排法问题 即先满足特殊位置 先不考虑限制条件 计算出排列总数 再减去不符合要求的排列 拓展训练 用1 2 3 4 5 6按下列要求可组成多少个没有重复数字的 位数 1 1 2排两端 即十万位和个位 解析 首先考虑特殊元素 1 2先排两端 有种 再让其他 个数在中间位作全排列 有种 由分步计数原理 共有个数 2 1不排十万位 2不排个位 解析 方法一 1排十万位有种 2排个位有种 且1排十万位而2排个位有种 共可组成个数 方法二 以1的排法分为两类 1排个位有种 1排中间4个位置之一 而2不排个位有种 共可组成个数 考点2 排列组合中的分组问题例题2 有6本不同的书按下列方式分配 问共有多少种不同的分配方式 1 分成1本 2本 3本三组 解析 1 分三步 先选一本有种选法 再从余下的5本中选两本有种选法 最后余下的三本全选有种选法 由分步计数原理知 分配方式共有种 2 分给甲 乙 丙三人 其中1人一本 1人两本 1人三本 解析 由于甲 乙 丙是不同的三个人 在 1 的基础上 还应考虑再分配问题 分配方式共有种 3 平均分成三组 每组2本 解析 先分三步 则应是种方法 但是这里面出现了重复 不妨设六本书为a b c d e f 若第一步取了ab 第二步取了cd 第三步取了ef 记该种分法为 ab cd ef 则该种方法中还有 ab ef cd cd ab ef cd ef ab ef cd ab ef ab cd 共种情况 而且这种情况仅是ab cd ef的顺序不同 因此 只能作为一种分法 故分配方式有种 4 分给甲 乙 丙三人 每人2本 解析 在问题 3 的基础上再分配即可 共有分配方式种 点评 1 平均分组问题应防止重复的情况 如 1 2 3 4 5 6 与 1 2 5 6 3 4 是同一分组 一般来说 km个不同元素分成k组 每组m个 则不同的分法有种 2 不平均分组问题 一般来说 把n个不同元素分成k组 每组分别有m1 m2 mk互不相等 且m1 m2 mk n 则有不同的分法为种 如果m1 m2 mk中有且仅有i个相等 则不同的分法为 例如 7本不同的书分成三堆 一堆3本的 两堆2本的 共有多少种分法 答案应为种 考点3 以其他知识为背景的排列 组合问题例题3 已知平面 平面 在 内有4个不共线的点 在 内有6个不共线的点 1 过这10个点中的3点作一平面 最多可作多少个不同平面 解析 1 作出的平面有三类 内1点 内2点确定的平面有个 内2点 内1点确定的平面有个 平面本身 所以所作平面最多有个 2 以这些点为顶点 最多可作多少个三棱锥 解析 所作三棱锥最多有个 3 上述三棱锥中体积不同的最多可以有多少个 解析 体积不同的三棱锥最多有个 点评 几何型排列 组合的综合问题 求解过程应兼顾排列 组合的基本知识 方法与几何性质的综合运用 备选题 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试 至区分出所有次品为止 若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现 则这样的测试方法有多少种可能 解析 第5次必测出一件次品 余下3件次品在前4次被测出 从4件中确定最后一件次品 有种方法 前4次中应有1件正品 3件次品 有种方法 前4次测试中的顺序有种 故所有可能的测试方法为 种 点评 要计算符合条件的测试方法的种数 就应该先弄清楚这样的测试方法的特征 即每次的测试结果是正品还是次品 1 分类应在同一标准下进行 确保 不漏 不重 分步要做到 步骤连续 和 步骤独立 并能完成事项 2 界定 元素与位置 要辩证看待 特殊元素 特殊位置 可直接优先安排 也可间接处理 3 将复杂的排列 组合问题利用分类思想转化为简单问题求解是常用有效途径 4 解排列 组合综合问题应注意先选后排的原则和基本方法技巧的综合运用 5 有限制条件的组合问题的限制条件主要表现在取出的元素中 含 或 不含 某些元素 解决这种问题通常用直接法或间接法 用直接法则要注意合理分类 用 间接法 时 要注意 至少 最多 恰好 等词语的含义 做到既不重复又不遗漏 1 顺序不分 重复计算 在100件产品中 有3件次品 97件正品 从中选3件 至少抽取1件次品的不同方法有多少种 错解 从3件次品中任选1件 有种方法 再从余下99件产品中任选2件有种方法 所以共有种 错解分析 假设三件次品为a1 a2 a3 97件正品为b1 b2 b97 从3件次品中任选1件后 再从99件产品中任选2件的选法包含了如下情形 a1 a2 b1和a2 a1 b1 这只能算是同一种抽取方法 因抽取的3件产品是不要考虑顺序的 正解 解法1 种 解法2 种 2 遗漏计算出错用数字0