高中数学 2.1 从平面向量到空间向量课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 1从平面向量到空间向量 第二章 1 理解空间向量 自由向量 方向向量 共面向量 法向量的概念 掌握空间向量的几何表示法和字母表示法 能够区分平面向量和空间向量 2 能利用空间向量的概念了解简单的向量和直线 向量与面之间的关系问题 3 能够求解直线的共面向量 平面的法向量 求解简单的两个空间向量的夹角 本节重点 向量的有关概念 本节难点 法向量 共面向量 共线向量 1 空间向量的概念向量是既有大小又有方向的量 如果把问题的研究范围限定在同一个平面上 称之为平面向量 如果把问题的研究范围扩大到空间中 称之为空间向量 即空间中 的量叫作空间向量 既有大小又有方向 大小 0 a b 当 a b 时 向量a与b垂直 记作a b 当 a b 时 向量a与b平行 记作a b 由定义可知 两个向量的夹角是唯一确定的 且 a b b a 0或 5 向量与平面 1 平面的法向量 如果直线l垂直于平面 那么把 叫作平面 的法向量 2 共面向量 在空间中 如果 则称这个向量平行于该平面 平行于同一平面的一组向量叫作共面向量 不共面向量 不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向量 直线l的方向向量a 一个向量所在直线平行于 一个平面 1 空间向量是平面向量概念的拓展 只有大小和方向两个要素 用有向线段表示向量时 它的起点可以是空间内的任意一点 只要保证它的大小和方向不改变 它是可以自由平移的 与起点无关 2 空间中的所有向量的方向不都是一定的 例如零向量的方向就不确定 可以认为是任意方向 3 与向量a相反的向量是一个向量 它的方向和a的方向相反 大小和a的大小相等 与向量a相等的向量 它的方向和a的方向相同 大小和a的大小相等 向量的有关概念 答案 c 点评 本题重点考查了空间向量的相关概念 解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解 因此 又考查了数形结合思想 特殊与一般的思想 分析 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相同 向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致 两空间向量平行与否与向量的方向无关 向量的夹角 分析 分析图中五个向量的关系 要看它们是否相等 相反或平行 作平面的法向量 只要作向量b 使之垂直于平面内两个相交向量即可 法向量 方向向量 点评 证明一个向量是一条直线的方向向量 只要证直线与直线平行即可 若要证明一个向量是一个平面的法向量 只要证明直线垂直于平面即可 都可转化为已学过的空间几何问题 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 分别给出直线aa1 bd的一个方向向量 2 分别给出平面add1a1 平面bb1d1d的一个法向量 例5 下列命题中正确的是 a 若a与b共线 b与c共线 则a与c共线b 向量a b c共面即它们所在的直线共面c 零向量没有确定的方向d 若a b 则存在唯一的实数 使a b 误解 a 或b或d 正解 c 点评 在选项a中 若b 0 则结论不成立 在选项b中 向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时 三个向量所在的直线虽然不共面 但这三个向量是共面的 选项d中 若a b 0时 有无数个 满足等式 而不是唯一一个 若b 0 a 0 则不存在 使a b 误解 答案 点评 我们所研究的向量为自由向量 所以平行向量就是共线向量 但是向量所在的直线却不一定共线 也有可能平行 关键是看这两个向量有没有公共点 如果没有公共点 那么对应的两条直线平行 如果有公共点 那么对应的两条直线重合 答案 d 2 如图所示 直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 在所有棱所在的向量中 平面bb1c1c的法向量有 a 0个b 2个c 3个d 4个 答案 d 3 空间中 起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是 a 圆b 球c 正方形d 球面 答案 d 解析 根据