高中数学 2.3函数的单调性及最值配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节函数的单调性及最值 三年3考高考指数 1 了解函数单调性的概念 2 掌握判断一些函数的单调性的方法 3 了解函数最值的定义 掌握求函数最值的基本方法 1 函数单调性是高考必考内容 在选择题 填空题与解答题中均有可能出现 2 应用单调性解不等式 求最值是解答题中的热点题型 3 函数的单调性常与导数相结合 1 单调函数的定义 一般地 设函数f x 的定义域为i 如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间上是增函数 f x1 f x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间上是减函数 f x1 f x2 即时应用 1 若函数y 2k 1 x b在r上是减函数 则实数k的取值范围是 2 设x1 x2为y f x 的定义域内的任意两个变量 有以下几个命题 x1 x2 f x1 f x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 其中能推出函数y f x 为增函数的命题序号为 解析 1 要使函数y 2k 1 x b在r上为减函数 则2k 1 0 解得k 2 依据增函数的定义可知 对于 当自变量增大时 相对应的函数值也增大 所以 可推出函数y f x 为增函数 答案 1 k 2 2 单调性与单调区间的定义如果函数y f x 在某个区间上是 或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 这一区间 即时应用 1 思考 单调区间与定义域有何关系 提示 单调区间是定义域的子区间 2 已知函数f x x2 2 1 a x 2在 4 上是减函数 则实数a的取值范围是 解析 由题意可知 函数f x x2 2 1 a x 2图象的对称轴方程为x 1 a 且开口向上 又 函数y f x 在 4 上是单调递减的 1 a 4 a 3 答案 3 3 函数的最值 即时应用 1 f x x2 2x x 2 4 的单调增区间为 f x max 2 函数的最大值为 解析 1 函数f x 的对称轴为x 1 又 x 2 4 f x 的单调增区间为 1 4 f x max f 4 f 2 8 2 当x 0时 y 3 当0 x 1时 3 y 4 当x 1时 y 4 所以函数的最大值为4 答案 1 1 4 8 2 4 函数单调性的判断与证明 方法点睛 1 函数单调性的证明方法 1 取值定序 任取x1 x2 i 且x1 x2 2 作差变形 作差f x1 f x2 然后变形 这里主要是配方或分解因式等 3 判定符号 论证f x1 f x2 或f x1 f x2 4 得出结论 根据定义 判断是增函数还是减函数 2 复合函数的单调性对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 当t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或减 时 则y f g x 为增函数 当t g x 与y f t 的单调性相反时 则y f g x 为减函数 简称为 同增异减 提醒 函数的单调性只能在定义域内讨论 讨论单调性时一定要指明对应的区间 要注意x1 x2的任意性 例1 1 设f x g x 都是单调函数 有如下四个命题 若f x 单调递增 g x 单调递增 则f x g x 单调递增 若f x 单调递增 g x 单调递减 则f x g x 单调递增 若f x 单调递减 g x 单调递增 则f x g x 单调递减 若f x 单调递减 g x 单调递减 则f x g x 单调递减 其中正确的命题是 a b c d 2 判断函数f x x3 a x r a是常数 的单调性 并用定义加以证明 解题指南 1 根据函数单调性的特点进行判断 2 利用函数单调性的定义 按以下几个步骤解题 取值 作差 变形 确定符号 下结论 规范解答 1 选c 对于命题 设x2 x1 则f x2 f x1 i 又g x2 g x1 g x2 g x1 ii 由 i ii 得f x2 g x2 f x1 g x1 故f x g x 单调递增 对于命题 设x2 x1 则f x2 f x1 g x2 g x1 g x2 g x1 则f x2 g x2 f x1 g x1 故f x g x 单调递减 而命题 和 均无法确定 故正确的命题是 和 应选c 2 f x x3 a在r上是增函数 证明如下 设x1 x2是r上任意两个实数 且x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x x3 a在r上是增函数 互动探究 在本例 2 中 若不采用定义法 而用导数法 则应如何证明 证明 f x 3x2 0在r上恒成立且不恒为0 f x 在r上是增函数 反思 感悟 1 函数的单调性是函数非常重要的性质 判断函数的单调性的常用方法 1 定义法 2 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 3 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性 4 互为反函数的两个函数有相同的单调性 5 如果f x 在区间d上是增 减 函数 那么f x 在d的任一子区间上也是增 减 函数 6 复合函数的单调性的判断遵循同增异减的法则 2 在研究函数的单调性时 常需要先将函数化简 转化为讨论一些熟知函数的单调性 因此 掌握并熟记正 反比例函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数的单调性 将大大缩短我们的判断过程 3 利用函数的单调性我们可以将函数值之间的大小关系转化为自变量间的关系 变式备选 已知函数 证明函数f x 在 1 上为增函数 证明 方法一 任取x1 x2 1 不妨设x1 x2 则x2 x1 0 a 1 1 且ax 0 又 x1 1 0 x2 1 0 于是f x2 f x1 故函数f x 在 1 上为增函数 方法二 f x a 1 f x a 1 当x 1时 axlna 0 f x 0在 1 上恒成立 则f x 在 1 上为增函数 函数单调区间的求法 方法点睛 求函数单调区间的方法求函数单调区间一般采用数形结合法 复合函数法 定义探索法 导数法 1 数形结合法能够直观地反映出函数的单调区间 是常用的方法 2 复合函数法一般由函数y f u 和u g x 的单调性来确定 这里应记住 同增异减 3 定义探索法是根据单调函数的定义来确定函数的单调区间 这种方法比较复杂 同学们在解题时要根据函数的特征慎重选用 4 导数法是最实用的方法 它可以使问题的解答更加简捷方便 提醒 求函数的单调区间注意 定义域优先 原则 如有多个单调区间应分别写 不能用并集符号 联结 也不能用 或 联结 例2 求下列函数的单调区间 1 y x2 2 x 3 2 y 3 解题指南 1 结合函数的图象进行分析 2 是对数函数与二次函数的复合 结合复合函数性质求解 3 可采用单调性的定义求单调区间 也可用导数法求解 规范解答 1 原函数等价于 作出如下函数图象 由函数图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 在 1 0 1 上是减函数 2 令u x2 3x 2 则原函数可以看作与u x2 3x 2的复合函数 令u x2 3x 2 0 则x 1或x 2 函数y 的定义域为 1 2 又u x2 3x 2的对称轴为x 且开口向上 u x2 3x 2在 1 上是单调减函数 在 2 上是单调增函数 而y 在 0 上是单调减函数 y 的单调减区间为 2 单调增区间为 1 3 方法一 定义法 任取x1 x2 0 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 f x1 x2 x1 当0 x1 x2 时 有0 x1x2 a x1x2 a 0 f x2 f x1 0 即f x 在 0 上是减函数 当 x1 x2时 有x1x2 a x1x2 a 0 f x2 f x1 0 即f x 在 上是增函数 函数f x 是奇函数 函数f x 在 上是增函数 在 0 上是减函数 综上所述 f x 在区间 上为增函数 在 0 0 上为减函数 方法二 导数法 f x 令f x 0 得x 或x 函数f x 在端点 和处有定义 且不间断 f x 在 上为增函数 令f x 0 得 x 0或0 x 函数f x 在端点 和处有定义 且不间断 f x 在 0 0 上为减函数 互动探究 将本例 3 变为 f x a 0 b 0 单调区间如何 解析 因为f x 为奇函数 因此只需判断函数f x 在 0 上的单调性即可 设x1 x2 0 f x1 f x2 x1 x2 由于x1 x2 0 故当x1 x2 时f x1 f x2 0 此时函数f x 在 上为增函数 同理可证函数f x 在 0 上为减函数 又由于函数为奇函数 故函数在 0 上为减函数 在 上为增函数 综上所述 函数f x 分别在 和 上为增函数 分别在 0 和 0 上为减函数 反思 感悟 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义求解 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 利用导数法求单调区间 关键是求导后解不等式 注意最后单调区间的写法 5 求单调区间的易错点是忽视函数的定义域 6 含绝对值的函数或分段函数求单调区间常结合其函数图象 变式备选 求下列函数的单调区间 1 y x 1 3 x 2 f x 3 f x 解析 1 y x 1 3 x 其图象如图所示 增区间为 3 减区间为 1 2 由4x x2 0解得0 x 4 令t 4x x2 x 2 2 4 所以t在 0 2 上单调递增 在 2 4 上单调递减 又y 在定义域上单调递减 所以函数的增区间为 2 4 减区间为 0 2 3 由1 2x 0 得定义域为 设x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 上是增函数 即f x 的增区间为 无减区间 函数最值的求法 方法点睛 求函数最大 小 值的方法 1 利用已知函数的性质求函数的最大 小 值 如 二次函数 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 如 函数y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减 则函数y f x 在区间 a c 上的最大值为f b 函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增 则函数y f x 在区间 a c 上的最小值为f b 提醒 任何一个函数 其值域必定存在 但其最值不一定存在 对于抽象函数的最值或值域 一定要先判断函数的单调性 例3 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解题指南 本例为抽象函数的单调性与最值问题 要根据题设及所求 证 结论 适当选取特殊值化抽象为具体 对于单调性问题 要利用函数单调性的定义去判断或证明 对于最值问题 往往要根据函数的单调性求解 规范解答 1 方法一 函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上为减函数 2 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 反思 感悟 1 求函数值域与最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求值域或最值 2 图象法 先作出函数在给定区间上的图象 再观察其最高 最低点 求出最值 3 配方法 对于二次函数或可化为二次函数形式的函数 可用配方法求解 4 换元法 对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求值域或最值 5 均值不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正 二定 三相等 的条件后 再用均值不等式求出最值 6 导数法 先求导 然后求在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出值域或最值 此外 还可利用函数的有界性构造不等式求解 对于自变量x r的二次函数也可利用判别式法求解 2 最值是所有函数值中的最大值及最小值 连续函数在给定闭区间上一定有最值 最大值只可能在区间端点及极大值点处取到 最小值只可能在区间端点及极小值点处取到 求最值时 要指出相应自变量的值 变式训练 2012 南宁模拟 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值与最小值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 解析 1 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 作y f x 的图象如图所示 由图可知 当x 1时 f x 取最小值为1 当x 5时 f x 取最大值为37 2 函数f x x a 2 2 a2图象的对称轴为x a f x 在区间 5 5 上是单调函数 a 5或 a 5 故a的取值范围是a 5或a 5 变式备选 2012 武汉模拟 函数f x 2x 的定义域为 0 1 a为实数 1 若函数y f x 在定义域上单调递减 求a的取值范围 2 求函数y f x 在定义域上的最值 解析 1 f x 对0 x 1恒成立 即a 2x2对0 x 1恒成立 而 2x2在0 x 1时的最小值为 2 故a 2 2 当a 0时 f x 2x在 0 1 上单调递增 此时f x 的最大值为2 无最小值 当a 0时 f x 在 0 1 上仍为单调增函数 于是f x 的最大值为2 a 无最小值 当a 0时 f x 易知f x 在 0 上单调递减 在 上单调递增 而定义域为 0 1 于是 当1 即a 2时 f x 在x 1处取最小值2 a 无最大值 当1 即 2 a 0时 f x 在x 处取最小值无最大值 综上所述 当a 2时 f x 有最小值2 a 无最大值 当 2 a 0时 f x 有最小值 无最大值 当a 0时 f x 有最大值2 a 无最小值 满分指导 抽象函数的单调性 最值与不等式问题的规范解答 典例 12分 2012 太原模拟 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 解题指南 1 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本小题的切入点 要构造出f m f n 的形式 规范解答 1 设x1 x2 x2 x1 0 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 2分f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 6分 2 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 8分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 10分 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 重庆高考 下列区间中 函数f x ln 2 x 在其上为增函数的是 a 1 b 1 c 0 d 1 2 解题指南 可先去掉绝对值号然后根据对数函数的性质进行解题 解析 选d 由题意知