高中数学 9.9空间向量的坐标运算配套课件 理 新人教A版.ppt

第九节空间向量的坐标运算 三年22考高考指数 1 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 2 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式 掌握空间两点间的距离公式 3 理解直线的方向向量 平面的法向量 向量在平面内的射影的概念 1 利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线 线面及面面的垂直 平行和解决线线 线面 面面的夹角问题是高考的热点 2 高考对本节的考查多以解答题的形式出现 综合考查空间想象能力 运算能力和数形结合的思想 1 空间向量的直角坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2 z1 1 思考 在空间直角坐标系中 p x y z 关于x轴 y轴 z轴的对称点如何 p x y z 关于原点的对称点如何 p x y z 关于xoy平面 yoz平面 xoz平面的对称点如何 记忆方法如何 提示 p x y z 关于x轴的对称点为p1 x y z 关于y轴的对称点为p2 x y z 关于z轴的对称点为p3 x y z p x y z 关于原点的对称点为p4 x y z p x y z 关于xoy平面的对称点为p5 x y z 关于xoz平面的对称点为p6 x y z 关于yoz平面的对称点为p7 x y z 上述结论的记忆方法为 关于谁对称谁就不变 其余符号相反 例如 关于x轴的对称点横坐标不变 而纵坐标 竖坐标分别变为原来的相反数 2 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k 解析 由题意得ka b k 1 k 2 2a b 3 2 2 ka b 2a b 3 k 1 2k 2 2 5k 7 0 解得k 答案 2 夹角和距离公式 1 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则夹角公式为 cos a b 2 两点间的距离公式在空间直角坐标系中 已知a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则da b 即时应用 1 思考 向量的夹角与两直线所成角的定义相同吗 提示 向量的夹角与两直线所成角从定义上类似 但取值范围不同 向量夹角的范围是 0 两直线所成角的范围为 0 异面直线所成角范围为 0 2 已知空间三点a 1 1 1 b 1 0 4 c 2 2 3 的夹角 的大小是 解析 由题意知 2 1 3 1 3 2 故cos 所以 答案 3 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 b a 的最小值为 解析 由题意得 b a 1 t 2t 1 0 当t 时 b a 取得最小值为答案 3 平面的法向量 1 向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在直线 平面 则称这个向量垂直于平面 记作 2 平面的法向量 如果 那么向量a叫做平面 的法向量 垂 直于 a a 即时应用 1 思考 如何求一个平面的法向量的坐标 提示 求一个平面的法向量的坐标 首先要建立空间直角坐标系 然后用待定系数法求解 一般步骤如下 设出平面的法向量为n x y z 找出 求出 平面内的两个不共线的向量的坐标a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 根据法向量的定义建立关于x y z的方程组 解方程组 取其中的一个解 即得法向量 2 若a 0 2 b 1 1 c 2 1 是平面 内的三点 设平面 的法向量n x y z 则x y z 解析 1 3 2 1 由得 所以x y z y y y 2 3 4 答案 2 3 4 n x 3y z 0n 2x y z 0 x yz y 空间向量的坐标运算 即时应用 空间向量坐标运算的有关公式及注意事项 1 数乘运算 若a x1 y1 z1 r 则 a x1 y1 z1 2 两点间距离公式 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 3 中点公式 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 c x y z 是ab的中点 则 4 空间向量的坐标运算 类似于平面向量的坐标运算 关键是熟记有关的公式 在计算和证明立体几何问题时 若能利用空间向量的坐标运算来求解 就可以避免较为复杂的空间想象 例1 设向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算2a 3b 3a 2b a b以及a与b所成角的余弦值 并确定 应满足的条件 使 a b与z轴垂直 解题指南 代入向量坐标运算公式求2a 3b 3a 2b a b 利用数量积求a与b的夹角余弦值 利用 a b 0 0 1 0 确定 的关系 规范解答 2a 3b 2 3 5 4 3 2 1 8 6 10 8 6 3 24 12 13 16 3a 2b 3 3 5 4 2 2 1 8 9 15 12 4 2 16 5 13 28 a b 3 5 4 2 1 8 6 5 32 21 a b 设与z轴共线的一个向量坐标为 0 0 1 则 a b 0 0 1 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0 即 2 当 满足 2 时 可使 a b与z轴垂直 反思 感悟 1 解决此类问题 除熟练掌握有关公式外 还要熟记相关运算律 可类比平面向量有关公式记忆 2 本题在确定 的关系时 关键要理解与z轴垂直 确定相应坐标 利用垂直满足的条件来确定 的关系 变式训练 已知 abc的顶点a 1 1 1 b 2 2 2 c 3 2 4 试求 1 abc的重心坐标 2 abc的面积 3 abc的ab边上的高 解析 1 设重心坐标为 x0 y0 z0 则x0 y0 z0 重心坐标为 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 6 cosa cos sina s abc sina 3 设ab边上的高为cd 则s abc 故 abc的ab边上的高为 利用空间向量证平行 垂直 方法点睛 1 用向量证平行的方法 证明两直线的方向向量共线 线线平行 线面平行 1 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 2 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 1 证明两平面的法向量为共线向量 2 转化为线面平行 线线平行问题 2 用向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 提醒 用向量证明平行 垂直时 要注意解题的规范性 如证明线面平行时 仍需要表明一条直线在平面内 另一条直线在平面外 例2 1 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 能使l 的是 a a 1 0 0 n 2 0 0 b a 1 3 5 n 1 0 1 c a 0 2 1 n 1 0 1 d a 1 1 3 n 0 3 1 2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 求证 cm 平面pad 求证 平面pab 平面pad 解题指南 1 验证a n 0是否成立即可 2 建立空间直角坐标系 可证明与平面pad的法向量垂直 也可将分解为平面pad内的两个向量的线性组合 利用共面向量定理证明 取ap中点e 利用向量证明be 平面pad即可 规范解答 1 选d 若l 则a n 0 经验证知 d满足条件 2 由题意可知 以c为坐标原点 cb所在直线为x轴 cd所在直线为y轴 cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系c xyz pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd所成的角 pbc 30 pc 2 bc pb 4 d 0 1 0 b 0 0 a 4 0 p 0 0 2 m 0 0 1 2 3 0 cm 0 方法一 令n x y z 为平面pad的一个法向量 则 即 y 2z 02x 3y 0 z yx y 令y 2 得n 2 1 n 又cm平面pad cm 平面pad 方法二 0 1 2 4 2 假设 平面pad 则存在x y使则 方程组的解为 2y0 x 4y 2x 2y x 1y 由共面向量定理知与 共面 故假设成立 又 cm平面pad cm 平面pad 取ap的中点e 连结be 则e 2 1 2 1 pb ab be pa 又 2 1 2 3 0 0 be da be da 又pa da a be 平面pad 又 be 平面pab 平面pab 平面pad 互动探究 本例 2 的条件不变 结论改为 求证 ab cm 则如何用向量法证明 证明 由本例的解题过程可知 0 4 0 即ab cm 反思 感悟 1 利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题 以代数运算代替复杂的空间想象 为解决立体几何问题带来了简捷的方法 2 用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系 并准确地确定点的坐标 另外运算错误也是解题中常出现的问题 变式备选 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 证明 如图建立空间直角坐标系a xyz 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 1 取ab中点为n 则n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 2 4 0 2 4 0 de nc 又nc在平面abc内 de不在平面abc内 故de 平面abc 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 4 2 0 则 b1f ef 2 2 2 2 4 0 0 即b1f af 又 af fe f b1f 平面aef 用空间向量求空间角 方法点睛 1 异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 直线和平面所成角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 二面角的求法 1 如图a ab cd是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图b c n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 例3 如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad m为ec的中点 af ab bc fe ad 1 求异面直线bf与de所成角的大小 2 证明 平面amd 平面cde 3 求二面角a cd e的余弦值 解题指南 1 通过求向量 的夹角来求异面直线所成的角 2 证 进而得ce am ce ad 可得结论成立 3 利用两平面法向量的夹角求二面角的大小 规范解答 如图所示 建立空间直角坐标系 点a为坐标原点 设ab 1 依题意得b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 m 1 1 1 0 1 0 1 1 于是cos所以异面直线bf与de所成角为60 2 由 1 1 0 1 0 2 0 可得所以ce am ce ad 又am ad a 故ce 平面amd 又ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 3 令平面cde的法向量为u x y z 则于是令x 1 可得u 1 1 1 又由题设知平面acd的一个法向量为v 0 0 1 则cos u v 由条件知二面角为锐角 故所求二面角的余弦值为 x z 0 y z 0 反思 感悟 1 异面直线的夹角与向量的夹角不同 应注意思考它们的联系和区别 2 直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角 由于向量方向的变化 所以要注意它们的区别与联系 3 用平面的法向量求二面角的大小时 一定要注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 变式训练 2012 柳州模拟 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 过a1 c1 b三点的平面截去长方体的一个角后 得如图所示的几何体abcd a1c1d1 且这个几何体的体积为 1 求棱a1a的长 2 若在线段bc1上存在点p 使直线a1p c1d 求二面角d a1p b的大小 解析 1 设a1a h 则 2 2 h 2 2 h 解得 h 4 即a1a的长为4 2 以 为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 则a1 2 0 4 b 2 2 0 c1 0 2 4 若在线段bc1上存在点p x 2 z 0 x 2 0 z 4 使直线a1p c1d 2 0 4 x 2 0 z p b c1共线 z 4 2x x 2 2 2x 由a1p c1d得 x 2 2 2x 0 2 4 0 解得 x z 3 此时点p的坐标为 2 3 设平面da1p的一个法向量为n1 x1 y1 z1 平面ba1p的一个法向量为n2 x2 y2 z2 2 0 4 2 3 0 2 4 0 3 即 令z1 1 z2 1 则n1 2 1 1 n2 2 2 1 n1 n2 3 n1 n2 5 cos n1 n2 二面角d a1p b的大小为arccos 2x1 4z1 0 x1 2y1 3z1 0 2y2 4z2 0 x2 3z2 0 求空间距离 方法点睛 1 点到平面的距离的求法如图所示 已知点b x0 y0 z0 平面 内一点a x1 y1 z1 平面 的一个法向量n 由数量积的定义知 n n cos 其中 n 则cos 所以 cos 就是b到平面 的距离d 即d 2 异面直线间的距离的求法如图 若cd是异面直线a b的公垂线 a b分别为a b上的任意点 令向量n a n b 则n 由得 异面直线a b间的距离为 c a b d 3 直线到平面的距离的求法同样原理可以得到直线到平面的距离公式 在公式中 n为已知平面的法向量 a b分别为直线和平面上的任意点 如图 4 两平行平面间的距离的求法如图 在公式中 n为两平行平面的一个法向量 a b分别为两平行平面上的任意点 例4 1 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则点c1到平面a1ed的距离是 2 如图所示 已知边长为4的正三角形abc中 e f分别为bc和ac的中点 pa 平面abc 且pa 2 设平面 过pf且与ae平行 求ae与平面 的距离 解题指南 1 建立空间直角坐标系 利用点到平面的距离公式求解 2 建立空间直角坐标系 求出平面 的一个法向量 利用直线与平面的距离公式求解 规范解答 1 以a为原点建立空间直角坐标系如图所示 则a1 0 0 1 e 1 0 d 0 1 0 c1 1 1 1 0 1 1 1 0 设平面a1ed的法向量为n1 x y z 由 得令z 2 则n1 1 2 2 又 1 1 0 y zx z 点c1到平面a1ed的距离d 答案 1 2 设 上的单位向量分别为e1 e2 e3 选取 e1 e2 e3 作为空间向量的一组基底 可得e1 e2 e2 e3 e3 e1 0 且 2e1 2e2 2e3 则 设n xe1 ye2 e3是平面 的一个法向量 则n n 所以 故n 所以直线ae与平面 的距离为 xe1 ye2 e3 2e2 0 xe1 ye2 e3 2e1 e2 2e3 0 2y e2 2 0 2x e1 2 6y e2 2 e3 2 0 x y 0 互动探究 在本例 1 中 若条件不变 结论改为 则直线a1c1与平面a1ed所成角的大小为 则如何求解 解析 由例题 1 的解法知 平面a1ed的法向量为n1 1 2 2 1 1 0 设所求角为 则sin cos n1 故直线a1c1与平面a1ed所成角的大小为45 反思 感悟 1 求平面 外一点p到平面 的距离的步骤 1 求平面 的法向量n 2 在平面 内取一点a 确定向量的坐标 3 代入公式求解 2 空间距离包括两点间的距离 点到线的距离 点到面的距离等 其中点到点 点到线的距离可以用空间向量的模来求解 而点到面的距离则借助平面的法向量求解 也可借助于几何体的体积求解 变式备选 如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aefg所截而得 其中ab 4 bc 1 be 3 cf 4 若如图所示建立空间直角坐标系 1 求和点g的坐标 2 求异面直线ef与ad所成的角 3 求点c到截面aefg的距离 解析 1 由图可知 a 1 0 0 b 1 4 0 e 1 4 3 f 0 4 4 1 0 1 又 设g 0 0 z 则 1 0 z 1 0 1 z 1 即g 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 cos ad和ef所成的角为45 3 设n 平面aefg n x0 y0 z0 n n 而 1 0 1 0 4 3 则 得 n z0 z0 z0 取z0 4 则n 4 3 4 0 0 4 所求距离为 点c到截面aefg的距离为 x0 z0 04y0 3z0 0 x0 z0y0 z0 满分指导 用空间向量解答立体几何问题的规范解答 典例 12分 2011 福建高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 四边形abcd中 ab ad ab ad 4 cd 2 cda 45 1 求证 平面pab 平面pad 2 设ab ap 若直线pb与平面pcd所成的角为30 求线段ab的长 在线段ad上是否存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 说明理由 解题指南 1 证明平面pab中的直线ab 平面pad 从而可推得平面pab 平面pad 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系a xyz 然后用空间向量法进行求解探究 规范解答 1 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 3分 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系a xyz 如图 在平面abcd内 作ce ab交ad于点e 则ce ad 在rt cde中 de cd cos45 1 设ab ap t 则b t 0 0 p 0 0 t t 0 t 由ab ad 4得ad 4 t 所以e 0 3 t 0 c 1 3 t 0 d 0 4 t 0 1 1 0 0 4 t t 5分 z x y e 设平面pcd的法向量为n x y z 由n n 取x t 得平面pcd的一个法向量n t t 4 t 6分由题意得cos60 即 解得t 或t 4 舍去 因为ad 4 t 0 所以ab 8分 x y 0 4 t y tz 0 假设在线段ad上存在一个点g 如图 使得点g到点p b c d的距离都相等 设g 0 m 0 其中0 m 4 t 则 1 3 t m 0 0 4 t m 0 0 m t 9分 由得12 3 t m 2 4 t m 2 即t 3 m 由得 4 m t 2 m2 t2 由 消去t 化简得m2 3m 4 0 由于方程 没有实数根 所以在线段ad上不存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 百色模拟 已知矩形abcd ab 4 bc 3 若将其沿对角线ac折成直二面角 则异面直线ab与cd所成角的余弦值为 解析 作de ac于点e 作bf ac于点f 则de 平面