高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明课件 文.ppt

圆锥曲线的概念与性质 存在性问题与曲线中的证明 一 主干知识1 圆锥曲线的定义 2 圆锥曲线的标准方程 y2 2px x2 2py 二 重要性质1 椭圆 双曲线中a b c之间的关系 1 在椭圆中 离心率为 2 在双曲线中 离心率为 a2 b2 c2 c2 b2 a2 2 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 1 双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点f1 f2 2 双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标f1 f2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 抛物线的焦点坐标与准线方程 1 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 准线方程为 2 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标为 准线方程为 1 2013 广东高考 已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f 1 0 离心率等于则c的方程是 解析 选d 设c的方程为 a b 0 则c 1 a 2 b c的方程是 2 2013 重庆高考 设双曲线c的中心为点o 若有且只有一对相交于点o 所成的角为60 的直线a1b1和a2b2 使 a1b1 a2b2 其中a1 b1和a2 b2分别是这对直线与双曲线c的交点 则该双曲线的离心率的取值范围是 解析 选a 由题意知 直线a1b1和a2b2关于x轴对称 又所成的角为60 所以直线方程为又因为有且只有一对相交于点o 所成的角为60 的直线a1b1和a2b2 使 a1b1 a2b2 所以渐近线斜率满足 3 2013 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c的标准方程为 a 0 b 0 右焦点为f 右准线为l 短轴的一个端点为b 设原点到直线bf的距离为d1 f到l的距离为d2 若则椭圆c的离心率为 解析 由原点到直线bf的距离为d1得因f到l的距离为d2故又所以又结合0 e 1 解得答案 4 2013 北京模拟 已知椭圆的两个焦点是f1 f2 点p在该椭圆上 若 pf1 pf2 2 则 pf1f2的面积是 解析 由椭圆的方程可知且 pf1 pf2 2a 4 所以解得 pf1 3 pf2 1 又 f1f2 2c 所以有 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即三角形pf2f1为直角三角形 所以 pf1f2的面积答案 热点考向1圆锥曲线的定义 标准方程与性质 典例1 1 2013 天津模拟 已知抛物线y2 2px p 0 上一点m 1 m m 0 到其焦点f的距离为5 则以m为圆心且与y轴相切的圆的方程为 a x 1 2 y 4 2 1b x 1 2 y 4 2 1c x 1 2 y 4 2 16d x 1 2 y 4 2 16 2 已知双曲线的中心在原点 一个焦点为点p在双曲线上 且线段pf1的中点坐标为 0 2 则此双曲线的方程是 3 椭圆c a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 若椭圆c上恰好有6个不同的点p 使得 f1f2p为等腰三角形 则椭圆c的离心率的取值范围是 解题探究 1 圆m方程的求解思路 据点m到其焦点f的距离为5 由抛物线的定义得p 根据点m 1 m m 0 在抛物线y2 2px上 得点m 根据圆m与y轴相切得圆m的半径为r 8 1 4 1 2 根据线段pf1的中点坐标为 0 2 能得到什么 提示 得p点坐标且p与另一焦点f2连线垂直于x轴 从而求得 pf1 pf2 的值 进而据定义得2a 3 求椭圆c离心率的关键是什么 提示 关键是据题设条件构建关于a c的不等式 进而得到关于e的不等式求解 解析 1 选a 由抛物线的定义得解得p 8 所以抛物线的方程为y2 16x 又点m 1 m 在此抛物线上 所以有m2 16 且m 0 得m 4 即m 1 4 又圆m与y轴相切 故其半径为r 1 所以圆的方程为 x 1 2 y 4 2 1 2 选b 由双曲线的焦点可知线段pf1的中点坐标为 0 2 所以设右焦点为f2 则有pf2 x轴 且 pf2 4 点p在双曲线右支上 所以 pf1 所以 pf1 pf2 6 4 2 2a 所以a 1 b2 c2 a2 4 所以双曲线的方程为 3 当点p位于椭圆的两个短轴端点时 f1f2p为等腰三角形 此时有2个 若点不在短轴的端点时 要使 f1f2p为等腰三角形 则有 pf1 f1f2 2c 或 pf2 f1f2 2c 此时 pf2 2a 2c 所以有 pf1 f1f2 pf2 即2c 2c 2a 2c 所以3c a 即又当点p不在短轴上 所以 pf1 bf1 即2c a 所以所以椭圆的离心率满足答案 方法总结 1 圆锥曲线定义的应用 1 已知椭圆 双曲线上一点及焦点 首先要考虑使用椭圆 双曲线的定义求解 2 应用抛物线的定义 灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解 2 求圆锥曲线标准方程常用的方法 1 定义法 2 待定系数法 顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 可设为y2 2ax或x2 2ay a 0 避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论 此时a不具有p的几何意义 中心在坐标原点 焦点在坐标轴上 椭圆方程可设为双曲线方程可设为这样可以避免讨论和烦琐的计算 3 求椭圆 双曲线离心率的思路根据已知条件先得到a b c间的等量关系 然后把b用a c代换 得到关于a c的齐次方程 再求的值 在双曲线中由于故双曲线的渐近线与离心率密切相关 4 双曲线的渐近线 1 求法 把双曲线标准方程等号的右边1改为零 分解因式可得 2 用法 可得的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程 变式训练 2013 四川高考 从椭圆 a b 0 上一点p向x轴作垂线 垂足恰为左焦点f1 a是椭圆与x轴正半轴的交点 b是椭圆与y轴正半轴的交点 且ab op o是坐标原点 则该椭圆的离心率是 解题提示 解题时要注意两个条件的应用 一是pf1与x轴垂直 二是ab op 解析 选c 根据题意可知点p c y0 代入椭圆的方程可得根据ab op 可知即解得即解得故选c 热点考向2圆锥曲线中的点 线 参数等的存在性问题 典例2 已知椭圆 o x2 y2 b2 点a f分别是椭圆c的左顶点和左焦点 点p是 o上的动点 1 若pa是 o的切线 求椭圆c的方程 2 是否存在这样的椭圆c 使得恒为常数 如果存在 求出这个数及c的离心率e 如果不存在 说明理由 解题探究 1 求椭圆c的方程的思路 由点在 o上得b2 由pa是 o的切线 那么得a 4 4 2 求解存在性问题的三个步骤 列式 先假设存在 根据题设条件由点p在x轴上的特殊位置得 求解 解此方程 方程中含有绝对值 此时正确的处理方式为 结论 得出椭圆c 填 存在 不存在 分类讨论 存在 解析 1 由在 o x2 y2 b2上 得b2 1 3 4 直线pa的斜率而直线pa的斜率所以解得a 4 所以a2 16 椭圆c的方程为 2 假设存在椭圆c 使得恒为常数 椭圆c的半焦距为c 当p b 0 时 则有当p b 0 时 依假设有 当c b 0时 有所以 a b b c a b c b 化简整理得a c 这是不可能的 当c b 0时 有所以 a b b c a b b c 化简整理得ac b2 0 所以c2 a2 ac 0 两边同除以a2 得e2 e 1 0 解得 0 1 舍去 可见 若存在椭圆c满足题意 只可能离心率 设p x y 为 o x2 y2 b2上任意一点 则 由上 c2 a2 ac 0 所以a2 c2 ac 所以从而代入 式得所以存在椭圆c 这个数为椭圆离心率为 方法总结 存在性问题求解的思路及策略 1 思路 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 2 策略 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 当条件和结论都不知 按常规法解题很难时 可先由特殊情况探究 再推广到一般情况 变式训练 2013 太原模拟 已知椭圆c 的右焦点为f 1 0 且点在椭圆c上 1 求椭圆c的标准方程 2 已知动直线l过点f 且与椭圆c交于a b两点 试问x轴上是否存在定点q 使得恒成立 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意知 c 1 根据椭圆的定义得2a 即a 所以b2 2 1 1 所以椭圆c的标准方程为 2 假设在x轴上存在点q m 0 使得恒成立 当直线l的斜率为0时 令 则解得当直线l的斜率不存在时 令由于所以 下面证明时 恒成立 显然 直线l的斜率为0时 当直线l的斜率不为0时 设直线l的方程为x ty 1 a x1 y1 b x2 y2 由可得 t2 2 y2 2ty 1 0 显然 因为x1 ty1 1 x2 ty2 1 所以 综上所述 在x轴上存在点使得恒成立 热点考向3与圆锥曲线有关的证明问题 典例3 2013 重庆模拟 已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为且经过点m 4 1 直线l y x m交椭圆于不同的两点a b 1 求椭圆的方程 2 求m的取值范围 3 若直线l不过点m 求证 直线ma mb的斜率互为相反数 解题探究 1 设椭圆方程为 a b 0 由得 进而由m 4 1 在椭圆上 得a2 b2 2 求m的取值范围的关键是 3 要证该结论成立 只需证明直线ma mb的斜率的和为 即可 a2 4b2 20 5 直线与椭圆方程联立消元所得 一元二次方程的判别式 0 0 解析 1 设椭圆的方程为因为所以a2 4b2 又因为m 4 1 所以解得b2 5 a2 20 故椭圆方程为 2 将y x m代入并整理得5x2 8mx 4m2 20 0 8m 2 20 4m2 20 0 解得 5 m 5 3 设直线ma mb的斜率分别为k1和k2 设a x1 y1 b x2 y2 则 上式分子 x1 m 1 x2 4 x2 m 1 x1 4 2x1x2 m 5 x1 x2 8 m 1 所以直线ma mb的斜率互为相反数 互动探究 若直线l y x m与本例椭圆只有一个公共点 则m的值如何 解析 由典例3 2 解析知 8m 2 20 4m2 20 0 解得m 5 方法总结 1 直线与圆锥曲线位置关系与 的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量 如y 得出方程ax2 bx c 0 1 若a 0 则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线 此时直线与圆锥曲线只有一个交点 2 若a 0 则当 0时 直线与圆锥曲线有两个交点 相交 当 0时 直线与圆锥曲线有一个交点 相切 当 0时 直线与圆锥曲线没有交点 相离 注 当曲线为开口向上 下 的抛物线时 常用导数求解其切线问题 2 证明与圆锥曲线有关问题的思路将待证问题转化为与点 线 向量等几何元素或斜率 长度等与数量有关的计算问题求解 变式备选 2013 北京模拟 如图 已知抛物线y2 4x的焦点为f 过点p 2 0 的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 直线af bf分别与抛物线交于点m n 1 求y1y2的值 2 记直线mn的斜率为k1 直线ab的斜率为k2 证明 为定值 解析 1 依题意 设直线ab的方程为x my 2 将其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4my 8 0 从而y1y2 8 2 设m x3 y3 n x4 y4 则 设直线am的方程为x ny 1 将其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4ny 4 0 所以y1y3 4 同理可得y2y4 4 故由 1 得为定值 分类讨论思想 解决圆锥曲线中的含参问题 思想诠释 1 主要类型 1 含有参数的二元二次方程表示的曲线类型的讨论 2 含有参数的方程 不等式的求解 如求离心率 渐近线方程中焦点位置的讨论 或求解过程中分母是否等于0的讨论等 3 含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解 如对直线斜率存在与否的讨论 消元后二次项系数是否为0的讨论 判别式与0的大小关系的讨论 2 解题思路 常常结合参数的意义及对结果的影响 全面分析参数取值引起结论的变化情况分类讨论求解 3 注意事项 1 搞清分类的原因 准确确定分类的对象和分类的标准 要不重不漏 符合最简原则 2 最后要将各类情况进行总结 整合 典例 12分 2013 青岛模拟 设f1 f2分别是椭圆d a b 0 的左 右焦点 过f2作倾斜角为的直线交椭圆d于a b两点 f1到直线ab的距离为3 连接椭圆d的四个顶点得到的菱形面积为4 1 求椭圆d的方程 2 作直线l与椭圆d交于不同的两点p q 其中p点的坐标为 a 0 若点n 0 t 是线段pq垂直平分线上的一点 且满足求实数t的值 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 根据待定系数法求解 关注点 由 距离 为3 面积为4构建关于a b c方程组 2 切入点 分别将用t表示 再根据构建关于t的方程求解 关注点 直线l的斜率不定 需对斜率取值情况分类讨论 解题 规范步骤 水到渠成 1 设f1 f2的坐标分别为 c 0 c 0 其中c 0 由题意得ab的方程为 因f1到直线ab的距离为3 所以有解得 2分所以有a2 b2 c2 3 由题意知 即ab 2 联立 解得 a 2 b 1 所求椭圆d的方程为 4分 2 由 1 知 p 2 0 设q x1 y1 当直线l斜率不存在时 由已知显然不合要求 5分当直线l的斜率存在时 设直线斜率为k 则直线l的方程为y k x 2 把它代入椭圆d的方程 消去y 整理得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 由根与系数的关系得则所以线段pq的