高考数学 第六章 第六节直接证明与间接证明课件 理.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 直接证明 已知 逻辑推理 待证 需求 待证 需求 已知条件 即时应用 1 思考下列思维特点 从 已知 逐步推向 未知 即逐步寻找已知成立的必要条件 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 即逐步寻找结论成立的充分条件 满足综合法的是 满足分析法的是 请填写相应序号 2 已知t a 2b s a b2 1 则实数s t的大小关系是 3 在正项等比数列 an 和正项等差数列 bn 中 a1 b1 a3 b3 a1 a3 则a5与b5的大小关系为 解析 1 由分析法 综合法的定义可判断 满足综合法 满足分析法 2 由s t a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 故s t 3 由a1 a3 得b1 b3 所以b1 b5 且b1 0 b5 0 又即答案 1 2 s t 3 a5 b5 2 间接证明 否定 已知事实相矛盾 不成立 不成立 反面 反设 已知条件 已知的公理 定义 定理 反设 反设 即时应用 1 判断下列说法是否正确 请在括号内打 或 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因法 分析法是逆推法 反证法是间接证法 2 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于60 时 应假设 解析 1 由分析法 综合法 反证法的定义可知 都正确 2 因为 至少有一个 的反面是 一个也没有 所以 三角形三个内角至少有一个不大于60 的否定是 三角形三个内角一个也没有不大于60 即 三角形三个内角都大于60 答案 1 2 三角形三个内角都大于60 热点考向1综合法的应用 方法点睛 利用综合法证题的基本思路 例1 已知x y z 1 求证 x2 y2 z2 解题指南 由基本不等式得到关于x y z的三个不等式 将三式相加整理变形 然后利用x y z 1得 x y z 2 1从而可证 规范解答 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 即3 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 1 x y z 2 1 3 x2 y2 z2 1 即x2 y2 z2 等号成立的条件是x y z 反思 感悟 利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一 即充分利用已知条件与已知的基本不等式 经过推理论证推导出正确结论 是顺推法或由因导果法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就需保证前提正确 推理合乎规律 这样才能保证结论的正确 变式训练 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 a b 1 2 2 4 8 故等号成立的条件是a b 热点考向2分析法的应用 方法点睛 分析法的特点与思路分析法的特点和思路是 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 或本身已经成立的定理 性质或已经证明成立的结论等 例2 已知m 0 a b r 求证 解题指南 利用分析法 去分母后移项作差 最后变形可证 规范解答 m 0 1 m 0 要证即证 a mb 2 1 m a2 mb2 只需证m a2 2ab b2 0 即 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式成立 反思 感悟 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 在实际解题时 对于较复杂的问题 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法由条件证明这个中间结论 使原命题得证 变式训练 1 已知a b c均为正实数 且b2 ac 求证 a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 2 已知a b c均为正实数 求证 证明 1 欲证原不等式成立 只需证a4 b4 c4 a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 即证a2b2 b2c2 a2c2 0 b2 ac 故只需证 a2 c2 ac a2c2 0 a c 0 故只需证a2 c2 ac 0 又 a2 c2 2ac ac a2 c2 ac 0显然成立 原不等式成立 2 a b c都是正实数 欲证只需证b2c2 c2a2 a2b2 abc a b c b2c2 c2a2 2abc2 b2c2 a2b2 2acb2 c2a2 a2b2 2a2bc 将这三个不等式相加 得2 b2c2 c2a2 a2b2 2abc a b c 热点考向3反证法的应用 方法点睛 1 反证法的解题原则反证法的原理是 正难则反 即如果正面证明有困难时 或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时 可以考虑用反证法 2 反证法中常见词语的否定形式 例3 2012 福州模拟 已知a 0 b 0 且a b 2 求证 中至少有一个小于2 解题指南 至少有一个小于2的否定是都不小于2 根据反证法的步骤证明 规范解答 假设都不小于2 则 a 0 b 0 1 b 2a 1 a 2b 1 1 a b 2 a b 即2 a b 这与已知a b 2矛盾 故假设不成立 即中至少有一个小于2 反思 感悟 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 变式训练 在 abc中 a b c的对边分别为a b c 若a b c三边的倒数成等差数列 求证 ba b c 相加得这与矛盾 故 b 90 不成立 因此 b 90 变式备选 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数根 证明 假设三个方程都没有实数根 则 a 1 这与已知a 1矛盾 所以假设不成立 故原结论成立 综合法 分析法的综合应用 方法点睛 综合法与分析法的应用技巧综合法与分析法各有特点 在解决实际问题时 常把分析法与综合法综合起来运用 通常用分析法分析 综合法书写 这一点在立体几何中应用最为明显 同时 在三角 解析几何中也大多是利用分析法分析 用综合法证明的办法来证明相关问题 提醒 综合法是从已知条件出发 逐步推向未知 每步寻找的是必要条件 分析法是从待求结论出发 逐步靠拢已知 每步寻找的是充分条件 例 如图 四边形abcd是正方形 pb 平面abcd ma 平面abcd pb ab 2ma 求证 1 平面amd 平面bpc 2 平面pmd 平面pbd 解题指南 1 欲证平面amd 平面bpc 只需证am pb ad bc从而得am 平面pbc ad 平面pbc 从而得证 2 欲证平面pmd 平面pbd 只需连接ac交bd于e 取pd中点为f 连接mf ef 即证ae 平面pbd 而ae与mf又平行从而得证 规范解答 1 因为pb 平面abcd ma 平面abcd 所以pb ma 因为pb 平面bpc ma 平面pbc 所以ma 平面bpc 同理 da 平面bpc 又ma 平面amd ad 平面amd ma ad a 所以平面amd 平面bpc 2 连接ac 设ac bd e 取pd中点f 连接ef mf 因为四边形abcd为正方形 所以e为bd的中点 因为f为pd中点 所以efpb 又ampb 所以四边形aefm为平行四边形 所以mf ae 因为pb 平面abcd 所以pb ae 又因为abcd是正方形 所以ae bd 所以ae 平面pbd 又因为mf ae 所以mf 平面pbd 又因为mf 平面pmd 所以平面pmd 平面pbd 互动探究 在本例中条件不变的情况下 如何证明平面pdc 平面mad 证明 ma 平面abcd ma dc 又 abcd是正方形 dc ad 又 ad ma a dc 平面mad 又 dc 平面pdc 平面pdc 平面mad 反思 感悟 利用分析法分析结论成立的充分条件 探究面面平行需具备的条件 面面垂直所要具备的条件 找到条件后 再用综合法书写证明过程 这是此类问题的常规解法 需要灵活掌握 1 2012 泉州模拟 用反证法证明 如果a b 则a3 b3 假设的内容是 a a3 b3 b a3 b3 c a3 b3且a3 b3 d a3 b3或a3 b3 解析 选d 反证法应否定结论即a3 b3 即为a3 b3或a3 b3 2 2012 漳州模拟 在证明命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的过程 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 中应用了 a 分析法 b 综合法 c 分析法和综合法综合使用 d 间接证法 解析 选b 从已知条件出发 推出要证的结论 满足综合法 3 2013 南平模拟 在不等边三角形abc中 a为最大边 要想得到a为钝角的结论 三边a b c应满足的条件是 a a2b2 c2 d a