高考数学第一轮总复习 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第四节函数y asin x 的图象及三角函数模型的简单应用 知识梳理 1 y asin x 的有关概念 x 2 用 五点法 作函数y asin x a 0 0 的图象的一般步骤 1 定点 如表 0 a 0 2 作图 在坐标系中描出这五个关键点 用光滑的曲线顺次连接这些点 就得到y asin x 在一个周期内的图象 3 扩展 将所得图象 按周期向两侧扩展可得y asin x 在r上的图象 3 由函数y sinx的图象变换得到y asin x a 0 0 的图象的步骤 缩短 伸长 a 考点自测 1 思考 给出下列命题 作函数y sin x 在一个周期内的图象时 确定的五点是 0 0 1 0 1 2 0 这五个点 利用图象变换作图时 先平移 后伸缩 与 先伸缩 后平移 中平移的长度一致 将y 3sin2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是 y sin x 的图象是由y sin x 的图象向右移个单位得到的 由图象求解析式时 振幅a的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 五点应为 错误 先平移 后伸缩 的平移单位长度为 而 先伸缩 后平移 的平移单位长度为 故当 1时平移的长度不相等 错误 左移个单位后解析式应为 正确 将y sin x 的图象右移个单位后得y sin x sin x 正确 振幅a的值是由最大值m与最小值m确定的 其中 2 已知简谐运动f x 2sin 的图象经过点 0 1 则该简谐运动的最小正周期t和初相 分别为 解析 选a 最小正周期为 由2sin 1 得 3 将函数y sinx的图象向左平移 0 2 个单位后 得到函数y sin x 的图象 则 等于 解析 选b 将函数y sinx的图象向左平移 个单位后 得到y sin x 的图象 所以 2k k z 又0 2 所以 4 函数y sin 2x 在区间 上的简图是 解析 选a 令x 0得排除b d 由f 0 排除c 5 2014 长沙模拟 将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 所得图象的函数解析式是 解析 选c 将y sinx的图象向右平移个单位得到y sin x 的图象 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y sin 的图象 6 函数y asin x a 为常数 a 0 0 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 解析 观察函数图象可得周期 则所以 3 答案 3 考点1函数y asin x 的图象及变换 典例1 1 2013 新课标全国卷 函数y cos 2x 的图象向右平移个单位后 与函数y sin 2x 的图象重合 则 2 已知函数 用五点法作出函数的图象 说明此图象是由y sinx的图象经过怎么样的变化得到的 解题视点 1 平移可逆序考虑 即由y sin 2x 的图象向左平移个单位得y cos 2x 的图象 借助于诱导公式可求解 2 将看成一个整体 列表得出五个关键点 图象变换时先平移后伸缩 规范解答 1 函数y cos 2x 的图象向右平移个单位 得到y sin 2x 的图象 即y sin 2x 的图象向左平移个单位得到函数y cos 2x 的图象 y sin 2x 的图象向左平移个单位 得到因为 所以答案 2 列表 描点 连线 如图所示 先把y sinx的图象上所有点向右平移个单位 得到y sin x 的图象 再把y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到y sin 的图象 最后将y sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变 就得到y 3sin 的图象 互动探究 在本例 2 中 条件不变 作出函数在 0 4 上的图象 解析 因为0 x 4 作出函数在 0 4 上的图象 所以列表如下 描点 作出函数图象如图 规律方法 1 在指定区间 a b 上画函数y asin x 的图象的方法 1 选取关键点 先求出 x 的范围 然后在这个范围内选取特殊点 连同区间的两端点一起列表 2 确定凹凸趋势 令 x 0得x x0 则点 x0 y0 两侧的变化趋势与y sinx中 0 0 两侧的变化趋势相同 可据此找准对应点 以此把握凹凸趋势 2 两种不同变换思路中平移单位的区别由y sinx的图象变换到y asin x 的图象 两种变换的区别 先平移再伸缩 平移的量是 个单位 而先伸缩再平移 平移的量是 0 个单位 提醒 平移变换和伸缩变换都是针对x而言 即x本身加减多少值 而不是依赖于 x加减多少值 变式训练 2014 衡阳模拟 将函数f x 的图象向右平移个单位 那么所得的图象所对应的函数解析式是 解析 选d 由可知d正确 加固训练 1 将函数y sin 2x 0 的图象向左平移个单位后 所得的函数恰好是偶函数 则 的值是 解析 函数y sin 2x 的图象向左平移个单位后 得y sin 2x 则 k k z 又0 故答案 2 2014 潍坊模拟 已知函数f x 1 求f x 的最小正周期和最大值 2 画出函数y f x 在 0 上的图象 并说明y f x 的图象是由y sin2x的图象怎样变换得到的 解析 1 f x 则f x 的最小正周期当即当x k k z 时f x max 2 2 列表如下 根据列表 描点 连线 作图如下 y f x 的图象是由y sin2x的图象经过以下变换得到的 先将y sin2x的图象向左平移个单位 得到y sin 2x 的图象 再将y sin 2x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍 横坐标不变 得到y 2sin 2x 的图象 考点2由图象求解析式 典例2 1 2013 四川高考 函数f x 2sin x 的部分图象如图所示 则 的值分别是 2 2014 洛阳模拟 如图所示是函数y f x asin x b a 0 0 0 图象的一部分 则f x 的解析式为 解题视点 1 根据周期求 根据最高点求 2 根据最值求a b 根据两个特殊点求 规范解答 1 选a 根据图示可知所以函数的周期为 可得 2 根据图象过 代入解析式 结合 可得故选a 2 由于最大值和最小值分别等于3 1 故解得a 2 b 1 把 0 2 代入y f x 得2 2sin 1 取由图可知0 1 令 2k k z 得 所以函数的解析式是答案 易错警示 关注 或 的取值范围本例第 1 题在求解时容易忽略 的取值范围而导致错解 在求函数解析式时 要注意 或 的取值范围 否则容易造成错解 规律方法 确定y asin x b a 0 0 的解析式的步骤 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则 2 求 确定函数的周期t 则 3 求 常用方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上 或把图象的最高点或最低点代入 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的特殊点作为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象的 峰点 为 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象的 谷点 为 x 第五点 为 x 2 变式训练 2014 长沙模拟 已知函数y asin x a 0 0 的图象如图所示 则它的解析式为 解析 由图象得a 2 所以t 8 又 1 2k k z 且 所以 所以答案 加固训练 1 2014 郑州模拟 如图是函数y asin x a 0 0 x r 在区间上的图象 为了得到这个函数的图象 只要将y sinx x r 的图象上所有的点 a 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变b 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 c 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变d 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 解析 选a 由图象知所以所以f x sin 2x 又图象过点由五点法知 所以所以故将函数y sinx的图象先向左平移个单位后 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变 可得函数y sin 2x 的图象 2 已知函数f x acos x 的图象如图所示 则f 0 解析 由图象可得最小正周期为所以f 0 f 注意到与关于对称 故答案 考点3三角函数图象性质的应用 考情 三角函数的图象及性质是高考的热点 在高考中以选择题 填空题或解答题的某一问的形式出现 考查函数的最值 方程根的个数 不等式 由式选图及三角函数的实际应用等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 芜湖模拟 在同一平面直角坐标系中 画出三个函数f x sin 2x g x sin 2x h x cos x 的部分图象 如图 则 a a为f x b为g x c为h x b a为h x b为f x c为g x c a为g x b为f x c为h x d a为h x b为g x c为f x 2 2014 湘潭模拟 函数f x 的零点的个数是 a 2b 3c 4d 5 解题视点 1 从振幅 最小正周期的特征检验排除 2 在同一个坐标系中 作出函数和的图象 观察后得交点个数 规范解答 1 选b b的振幅最大 故b为f x a的最小正周期最大 故a为h x 从而c为g x 故选b 2 选d 函数的周期由 可得x 由 可得x 8 在同一平面直角坐标系中 作出函数和的图象 如图所示 易知有5个交点 故函数f x 有5个零点 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2012 浙江高考 把函数y cos2x 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 然后向左平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度 得到的图象是 解析 选a y cos2x 1通过伸缩 平移变换后得到y cos x 1 对应图象为a项 2 2011 辽宁高考 已知函数f x atan x 0 y f x 的部分图象如图 则f 解析 选b 由题中的图象可知 所以 2 所以又 所以又f 0 1 所以atan 1 得a 1 所以所以 3 2014 武汉模拟 已知方程在0 x 上有两解 则k的取值范围为 解析 方程可化为在同一坐标系内作函数与y2 k的图象 对于y1 令x 0 得y1 1 所以当k 1 时 观察知两曲线在 0 上有两交点 即方程有两解 答案 1 加固训练 1 2014 石家庄模拟 甲 乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动 已知甲的速度是乙的速度的两倍 直到乙绕池一周为止 若用 表示乙在某时刻旋转角的弧度数 l表示甲 乙两人的直线距离 则l f 的大致图象是 解析 选b 由题意知 时 两人相遇 排除a c 两人的直线距离不可能为负 排除d 2 2014 郑州模拟 下表所示是某地从1983年到2013年的月平均气温 华氏 以月份减1为x 平均气温为y 以下四个函数模型中哪一个最适合这些数据 解析 选c 最高气温73 0 最低气温21 4 故2a 73 0 21 4 51 6 a 25 8 x 2时 分别代入a b c d 与y 36 0相比较 只有c最接近 所以选c 3 2014 安庆模拟 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y a acos x 6 x 1 2 3 12 来表示 已知6月份的月平均气温最高为28 12月份的月平均气温最低为18 则10月份的平均气温为 解析 因为当x 6时 y a a 28 当x 12时 y a a 18 所以a 23 a 5 所以y f x 23 5cos x 6 所以当x 10时 f 10 23 5c