高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 一 杨辉三角的特点1 在同一行中每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数 2 在相邻的两行中 除1外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 即 相等 思考 二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗 提示 不是 二项式系数表中第一行是两个数 而杨辉三角的第一行只有一个数 实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n 1行对应数值相等 二 二项式系数的性质1 对称性 在 a b n展开式中 与首末两端 的两个二项式系数相等 即2 增减性与最大值 1 增减性 当 时 二项式系数是逐渐增大的 当 时 二项式系数是逐渐减小的 等距离 2 最大值 当n为偶数时 中间一项的二项式系数 取得最大 当n为奇数时 中间两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数的和 判断 正确的打 错误的打 1 二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的 2 二项式展开式的二项式系数和为 3 令则直线将函数f k 的图象分成对称的两部分 由此可以得出 当时最大 提示 1 错误 展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况进行判断 只有当二项式系数与各项系数相等时 二者才一致 2 错误 二项式展开式的二项式系数和为不要忽略了 3 错误 当n为偶数时最大 当n为奇数时 最大 答案 1 2 3 知识点拨 1 杨辉三角规律拓展 1 杨辉三角的第2n 1行各个数都是奇数 2 如图 每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下 脚 的数字 2 对二项式系数性质的三点说明 1 对称性 源于组合数的性质 2 最大值 当n是偶数时 a b n的展开式共n 1项 n 1是奇数 这时展开式的形式是 中间一项是第项 它的二项式系数是它是所有二项式系数中的最大值 当n是奇数时 a b n的展开式共有n 1项 n 1是偶数 这时展开式的形式是 中间两项是第项 它们的二项式系数是 这两个系数相等 并且是所有二项式系数中的最大值 3 各二项式系数和 源于 a b n 中 令a 1 b 1 即可得到 类型一与杨辉三角有关的问题 典型例题 1 2013 南充高二检测 如图所示 满足如下条件 1 第n行首尾两数均为n 2 表中的递推关系类似杨辉三角 则第10行的第2个数是 第n行的第2个数是 2 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第 行中从左到右第14与第15个数的比为2 3 解题探究 1 杨辉三角中相邻的两行有什么样的性质 2 杨辉三角中每一行的性质是什么 探究提示 1 在杨辉三角中 相邻两行 除1外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 即2 在杨辉三角中 同一行中每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数相等 解析 1 由图表可知第10行的第2个数为 1 2 3 9 1 46 第n行的第2个数为 答案 2 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 3 则所以即得所以n 34 答案 34 拓展提升 与杨辉三角有关问题的解决方法 1 通过观察找出每一行数据间的相互关系以及行与行之间数据的相互关系 然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来 使问题得解 具体方法如下 2 注意二项式系数性质的应用 变式训练 如图所示 在杨辉三角中 斜线ab上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 记这个数列的前n项和为s n 则s 16 等于 a 144b 146c 164d 461 解析 选c 由图知 数列中的首项是第2项是第3项是第4项是 第15项是第16项是所以 类型二求二项展开式的系数和 典型例题 1 2013 哈尔滨高二检测 若的展开式中各项系数和为99 n 则展开式中系数最大的项为 a 第3项b 第4项c 第5项d 第6项 2 2x 1 10展开式中x的奇次幂项的系数之和为 3 设 1 2x 2013 a0 a1x a2x2 a2013x2013 x r 1 求a0的值 2 求a1 a2 a3 a2013的值 3 求a1 a3 a5 a2013的值 解题探究 1 二项式展开式中各项系数之和与x的取值有何关系 2 二项式展开式中x的奇次幂的项指的是什么 如何求解 3 如何求二项展开式系数和或部分系数和 探究提示 1 当x 1时 展开式左边的值即为各项系数的和 2 x的奇次幂的项指的是a1x a3x3 a5x5 a2n 1x2n 1 解题时可将 2x 1 10写成a0 a1x a2x2 a10 x10的形式 利用赋值法求解 3 求二项展开式系数和或部分系数和时 通常利用赋值法 如 求 a x n a0 a1x a2x2 anxn中各项系数和 可令x 1 即得各项系数和 若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和 可分别令x 1 x 1 两等式相加或相减即可求出结果 解析 1 选c 根据题意 由于的展开式中各项系数和为99 n 令x 1 可知99 n 3n 所以18 2n n n 6 那么可知展开式中第r 1项的系数为那么代入选项可知系数最大的项为第5项 即为 2 因为 2x 1 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 令x 1 得a0 a1 a2 a10 1 再令x 1 得310 a0 a1 a2 a3 a10 两式相减 可得答案 3 1 在等式 1 2x 2013 a0 a1x a2x2 a2013x2013中 令x 0 得1 a0 所以a0 1 2 在等式中 令x 1 得 1 a0 a1 a2 a3 a2013 所以a1 a2 a3 a2013 2 3 令x 1 得32013 a0 a1 a2 a3 a2012 a2013 令x 1 得 1 a0 a1 a2 a3 a2012 a2013 由 得 1 32013 2 a1 a3 a2013 所以 互动探究 若题3的条件不变 求 a0 a1 a2 a2013 的值 解题指南 由二项式 1 2x 2013可知 展开式中a0 a2 a4 a6 a2012大于零 而a1 a3 a5 a7 a2013小于零 将 a0 a1 a2 a2013 去掉绝对值并利用赋值法求解 解析 因为 1 2x 2013的展开式中 a0 a2 a4 a6 a2012大于零 而a1 a3 a5 a7 a2013小于零 所以 a0 a1 a2 a2013 a0 a2 a4 a2012 a1 a3 a5 a2013 令x 1 得32013 a0 a1 a2 a3 a2012 a2013 解得 a0 a2 a4 a2012 a1 a3 a5 a2013 32013 即 a0 a1 a2 a2013 32013 拓展提升 二项展开式中系数和的求法 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c r m n n 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对 ax by n a b r n n 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为偶数项系数之和为 变式训练 若 1 x 6 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a11x11 求 1 a1 a2 a3 a11 2 a0 a2 a4 a10 解析 1 由 1 x 6 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a11x11 令x 1 得26 1 5 a0 a1 a2 a3 a11 即a0 a1 a2 a3 a11 26 又令x 0 得a0 1 所以a1 a2 a3 a11 26 1 65 2 令x 1 得a0 a1 a2 a3 a11 0 由得 类型三二项式系数性质的应用 典型例题 1 的展开式中的所有二项式系数之和为128 则展开式中二项式系数最大的项是 2 x 2y 7展开式中系数最大的项为 3 在 x y 11的展开式中 解答下列问题 1 通项tk 1 2 二项式系数最大的项 3 项的系数绝对值最大的项 4 项的系数最大的项 5 项的系数最小的项 6 二项式系数的和 7 各项系数的和 解题探究 1 求二项式系数最大项的依据是什么 2 系数最大的项与二项式系数最大项相同吗 3 求二项式中系数问题的关键是什么 探究提示 1 求二项式系数最大的项 主要根据二项式系数的性质 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式的方法求得 3 求二项式中系数问题的关键是借助二项展开式 解析 1 所以n 7 二项式系数最大的项是和答案 35x6 35x 2 设r 1项系数最大 则有即 解得 又因为0 r 7 且r n 所以r 5 所以系数最大项为答案 3 1 2 二项式系数最大的项为中间两项 3 项的系数绝对值最大的项也是中间两项 4 因为中间两项系数的绝对值相等 一正一负 第7项为正 故项的系数最大的项为 5 项的系数最小的项为 6 二项式系数的和为 7 各项系数和为 1 1 11 0 拓展提升 1 二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项 根据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 1 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 2 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的 需要根据各项系数的正 负变化情况进行分析 如求 a bx n a b r 的展开式中系数的最大项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别为a0 a1 a2 an 且第r 1项最大 应用解出r 即得出系数的最大项 变式训练 已知在的展开式中 只有第6项的二项式系数最大 求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项 解析 因为展开式中只有第6项的二项式系数最大 所以n是偶数 第6项即为中间项 所以得n 10 展开式通项为系数的绝对值是若第k 1项系数的绝对值最大 则所以 因为k n 所以k 3 所以 系数绝对值最大的项是第4项 即系数最大的项应在项数为奇数的项之内 项数为偶数的项的系数都小于0 即k取偶数0 2 4 6 8时 各项系数分别为所以 系数最大的项是第5项 即 规范解答 二项式系数性质的应用问题 典例 条件分析 规范解答 由题意知 22n 2n 992 即 2n 32 2n 31 0 所以2n 32 解得n 5 4分 1 的展开式中第6项的二项式系数最大 即 6分 2 设第r 1项的系数的绝对值最大 因为所以 8分得 解得因为r n 所以r 3 10分故系数的绝对值最大的是第4项 12分 失分警示 防范措施 1 注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 如本例中利用性质可确定出展开式中第6项的二项式系数最大 2 注意对概念的区分要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一定是中间项 如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝对值最大的项的区别 类题试解 已知 1 2x n的展开式所有的二项式系数之和为256 1 求展开式中系数的绝对值最大的项 2 求展开式中系数最小的项 解析 1 由题意知2n 256 所以n 8 设 1 2x 8的展开式中第r 1项的系数的绝对值最大 则有所以5 r 6 因为r 0 1 2 8 所以r 5或r 6 所以 1792x5 2 由 1 知 系数最小的项为t6 1792x5 1 在 a b n的展开式中 第2项与第6项的二项式系数相等 则n a 6b 7c 8d 9 解析 选a 由题意知 解得n 1 5 6 2 已知 a b n展开式中只有第5项的二项式系数最大 则n等于 a 11b 10c 9d 8 解析 选d 因为只有第5项的二项式系数最大 所以所以n 8 3 若展开式的二项式系数之和为64 则展开式中的常数项为 a 10b 20c 30d 120 解析 选b 由2n 64 得n 6 所以由6 2r 0得r 3 所以 4 设的展开式的各项系数之和为m 二项式系数之和为n 若则展开式中x2的系数为 解析 当x 1时 可得各项系数之和为m 4n 二项式系数之和为n 2n 即2n 32 所以n 5 由二项展开式的通项公式得 令得r