高考数学 第三章 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 理.ppt

第五节两角和与差的正弦 余弦和正切公式 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 sin cos cos sin cos cos sin sin 即时应用 1 判断下列式子的正误 请在括号内打 或 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin15 sin 45 30 cos45 sin30 sin45 cos30 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 2 计算sin72 cos18 cos72 sin18 3 计算cos72 cos12 sin72 sin12 解析 1 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 故 错误 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 故 错误 正确 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 故 错误 2 原式 sin 72 18 sin90 1 3 原式 cos 72 12 cos60 答案 1 2 1 3 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 即时应用 1 思考 二倍角公式tan2 中对任意的 都成立吗 提示 不一定 k 2 k k z 2 sin15 cos15 的值等于 解析 sin15 cos15 2sin15 cos15 sin30 答案 3 若tan 则tan2 解析 tan2 答案 热点考向1三角函数的化简 方法点睛 三角函数的化简技巧 1 寻求角与角之间的关系 化非特殊角为特殊角 2 正确灵活地运用公式 通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值 3 一些常规技巧 1 的代换 正切化弦 和积互化 异角化同角等 4 三角函数的化简常用方法是 异名三角函数化为同名三角函数 异角化为同角 异次化为同次 正切化弦 特殊值与特殊角的三角函数互化 提醒 公式的逆用 变形用十分重要 特别是1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 形式相似 容易出错 应用时要加强 目标意识 例1 1 化简的结果是 a cos1 b cos1 c d 2 2013 福州模拟 3 解题指南 1 将cos2利用倍角公式转化求解 2 将10 转化为30 20 展开 合并同类项 约分 即可 3 由于分子是一个平方差 分母中正切函数可转化成弦函数 若注意到这两大特征 不难得到解题的切入点 规范解答 1 选c 2 原式 答案 3 原式 答案 1 互动探究 将本例题 2 中式子改为又将如何求解 解析 热点考向2三角函数的求值 方法点睛 三角函数求值的方法和关注点 1 求值常用方法 利用两角和与差 倍角 半角等公式进行变换 使其出现特殊角 若非特殊角 则可出现正负抵消或约分的情况 2 已知某些函数值 求其他三角函数值 一般应先化简所求式子 或变化已知式 弄清所求再求解 主要方法有 消元法 平方法 比例性质法 3 灵活运用角的变形和公式的变形 如 2 tan tan tan 1 tan tan 等 4 重视角的范围对三角函数值的影响 要注意角的范围的讨论 5 要掌握求值问题的解题规律和途径 寻求角之间关系的特殊性 化非特殊角为特殊角 正确选用公式 灵活地掌握各个公式的正用 逆用 变形用等 提醒 给出某些角的三角函数值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 使其角相同或具有某种关系 例2 2012 龙岩模拟 若cos x x 求的值 解题指南 本题可以利用x x 的变换 同时要注意x的范围和符号 求出sinx和cosx代入原式求解 也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数 利用2x 2 x 的变换 再利用两角差的余弦和二倍角公式求解 规范解答 方法一 由 x 得 x 2 又因cos x sin x cosx cos x cos x cos sin x sin 从而sinx tanx 7 原式 方法二 原式 sin2xtan x 而sin2x sin 2 x cos2 x 2cos2 x 1 tan x 所以 原式 反思 感悟 1 此题若将cos x 的左边展开成coscosx sinsinx 再求cosx sinx的值就很繁琐 把 x作为整体 并注意角的变换2 x 2x 运用二倍角公式 关键是在于化难为易 化繁为简的三角恒等变换 2 解答有条件限制的求值问题时 要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系 一般方法是拼角与拆角 变式训练 2012 山东高考 若则sin a b c d 解析 选d 由于则所以cos2 0 因为所以又cos2 1 2sin2 所以 变式备选 已知 0 cos sin 求sin 的值 解析 又 cos sin 0 又 sin cos sin sin sin sin cos cos sin 热点考向3三角函数的给值求角 方法点睛 1 三角函数的给值求角问题的一般思路 1 求出该角的某一三角函数值 2 确定角的范围 3 根据角的范围写出角 2 三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时 应选择在该角所在范围内是单调的函数 这样 由三角函数值才可以唯一确定角 如 若角的范围是 0 选正 余弦皆可 若角的范围是 0 选余弦较好 若角的范围为 则选正弦 例3 已知cos cos 且0 1 求tan2 的值 2 求 解题指南 1 利用同角三角函数关系式求出sin tan 再求出tan2 2 把 写成 根据已知条件求出 的正弦 的正弦 求出cos 根据范围确定角 规范解答 1 由cos 0 得sin tan 4 于是 2 由0 得0 又 cos sin 由 得cos cos cos cos sin sin 反思 感悟 根据三角函数值求角时 一定要先确定角的范围 另外 也可运用同角三角函数的商数关系 在等式sinbcosa sinacosb两端同除以cosacosb得tanb tana等变化技巧也经常用到 变式训练 abc的三内角分别为a b c 向量m sina sinb n cosb cosa 若m n 1 cos a b 求c 解析 m n sinacosb sinbcosa sinacosb sinbcosa sin a b 1 cos a b sinc 1 cosc sinc cosc 1 即2sin c 1 sin c 又c 0 c c 变式备选 已知tan tan tan 均为锐角 求 的值 解析 tan tan tan 1且 为锐角 0 同理0 0 三角函数的综合应用 方法点睛 三角函数公式和三角函数性质的关系 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中 需要利用这些公式 先把函数解析式化为y asin x 的形式 再进一步探讨定义域 值域和最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 2 注意特殊角三角函数值 诱导公式等基础知识的应用 主要考查基本运算能力 例 已知函数f x 2sin x cosx 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间 上的最大值和最小值 解题指南 先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换 再求三角函数的性质 规范解答 1 f x 2sin x cosx 2sinxcosx sin2x 函数f x 的最小正周期为 2 由 x 2x sin2x 1 f x 在区间 上的最大值为1 最小值为 反思 感悟 利用三角函数公式进行三角恒等变形 要求熟练掌握公式和变换技巧 强化运算能力 以基本三角函数的性质为基础求y asin x 的性质 有时给出角的范围时要注意 x 的范围的变化 变式训练 设函数f x cos2 x sin xcos x a 其中 0 a r 且f x 的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 1 求 的值 2 如果f x 在区间 上的最小值为 求a的值 解析 1 f x cos2 x sin2 x a sin 2 x a 依题意得2 2 由 1 知 f x sin x a 又当x 时 x 0 故 sin x 1 从而f x 在区间 上的最小值为 a 故a 变式备选 已知函数f x cos 2x 2sin x sin x 1 求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 求函数f x 在区间 上的值域 解析 1 f x cos 2x 2sin x sin x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx cos2x sin2x sin2x cos2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 周期t 由2x k k z 得x k z 函数图象的对称轴方程为x k z 2 x 2x f x sin 2x 在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 当x 时 f x 取最大值1 又 f f 当x 时 f x 取最小值 函数f x 在区间 上的值域为 1 1 2011 福建高考 若tan 3 则的值等于 a 2 b 3 c 4 d 6 解析 选d 2 2012 重庆高考 设tan tan 是方程x2 3x 2 0的两根 则tan 的值为 a 3 b 1 c 1 d 3