高中数学 6.3基本不等式及其最值配套课件 苏教版.ppt

第三节基本不等式及其最值 高考指数 1 基本不等式 1 基本不等式的定义 形式 等号成立的条件 当且仅当 2 算术平均数与几何平均数 对于正数a b 其算术平均数是 其几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的 不小于它们的 a b 算术平均数 几何平均数 即时应用 1 思考 如何理解基本不等式中 当且仅当 的含义 提示 当a b时 取等号 即a b 仅当a b时 取等号 即 a b 2 判断下列不等式是否正确 请在括号中填写 或 a2 b2 2ab a b r ab 2 a b r 2 a b r 2 a b均不为零 解析 由 a b 2 0得a2 b2 2ab 0 即a2 b2 2ab 故 正确 由 可知a2 b2 2ab 即a2 b2 2ab 4ab 即 a b 2 4ab 即ab 2 故 正确 由 2 0 故 正确 若a b异号 如a 1 b 1 则 2 2 故 错 答案 2 利用基本不等式求最值问题已知a 0 b 0 则 1 和a b一定时 积ab有 积ab一定时 和a b有 2 取等号的条件 当且仅当a b时 最大值 最小值 即时应用 1 已知x 3y 2 x y为正实数 则xy的最大值为 2 已知x y 0 且x 2y 1 则的最小值为 3 已知m 0 n 0且mn 81 则m n的最小值为 解析 1 由2 x 3y 2 得 故xy 等号当且仅当x 1 y 时取得 2 由x y 0 x 2y 1得 x 2y 3 2 3 2 3 等号成立的条件是 x y 1 3 m 0 n 0 mn 81 9 m n 2 18 故m n的最小值为18 答案 1 2 2 3 3 18 利用基本不等式求最值 方法点睛 基本不等式求最值的类型 1 若直接满足基本不等式的条件 则直接应用基本不等式 2 若不直接满足 则需要创造条件 即对式子进行恒等变形 其关键是凑 和 或 积 为定值 再应用基本不等式 3 若可应用基本不等式 但等号不成立 则一般是利用函数单调性求解 提醒 1 应用基本不等式时注意不等式成立的条件 2 若多次使用基本不等式 要注意等号成立的条件需一致 例1 1 2012 无锡模拟 若x 3 则x 的最小值为 2 已知a b为正实数且a b 1 则 1 1 的最小值为 解题指南 1 将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解 2 将与中的1用a b代换整理后利用基本不等式可求 规范解答 1 由x 3得x 3 0 又x x 3 3 2 3 等号成立的条件是x 3 即x 3 2 a 0 b 0 a b 1 1 1 2 同理1 2 1 1 2 2 5 2 5 4 9 等号成立的条件为a b 答案 1 2 3 2 9 互动探究 若将本例 1 中x 3去掉 而求x 的取值范围又将如何求解 解析 分情况讨论 由题意得x 3 1 当x 3时 由例题可知x 2 3 2 当x0 x x 3 3 x 3 3 2 3 等号成立的条件是x 3 故x 的取值范围是 2 3 2 3 反思 感悟 1 利用基本不等式求最值的关键在于凑 和 与 积 的定值 2 基本不等式求最值 常为有条件最值问题 如本例 2 其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值 并要注意 一正 二定 三相等 变式备选 1 若正实数x y满足2x y 6 xy 则xy的最小值是 2 求函数y x 1 的最小值 解析 1 xy 2x y 6 2 6 令xy t2 t 0 可得t2 2t 6 0 注意到t 0 解得t 3 故xy的最小值为18 答案 18 2 设x 1 t 则x t 1 t 0 y t 5 2 5 9 当且仅当t 即t 2时 取等号 且此时x 1 ymin 9 用基本不等式求参数的值及参数的取值范围 方法点睛 基本不等式求参数的值或取值范围的思路及注意问题 1 利用基本不等式求出式子的最小值或最大值 使其满足已知条件 2 构造参数的方程 组 或不等关系 求出参数的值及其取值范围 3 在利用基本不等式时要注意基本不等式的一些变形应用 还要注意 一正 二定 三相等 等条件的应用 例2 x y a b均为正实数 x y为变数 a b为常数 且a b 10 1 x y的最小值为18 求a b 解题指南 已知x y的最小值求参数a b 可考虑利用基本不等式 构造最小值与a b的关系 建立方程组 求得a b 规范解答 x y 0 a 0 b 0且 1 x y x y a b a b 2 a b 2 2 当且仅当时取等号 此时 x y min 2 18 即a b 2 18 又a b 10 联立 解得 反思 感悟 解决本题的关键是利用 1 的代换 利用基本不等式求得x y的最小值 从而构建了a b的关系式 再利用已知联立方程组求得a b 应用基本不等式时要注意题目的条件 变式训练 2012 扬州模拟 对一切实数x 不等式x2 a x 1 0恒成立 则实数a的取值范围是 解析 当x 0时不等式显然成立 当x 0时不等式可化为 a x x 2 等号当且仅当x 1时取得 上述不等式恒成立 只需 a 2 即a 2即可 答案 2 含参数的基本不等式的应用 方法点睛 含参数的基本不等式的解题方法含参数的基本不等式是常见题型 应用时一般需要分类讨论 即对参数的取值进行分类 满足应用基本不等式的条件 则应用基本不等式 不满足时往往需要利用函数的单调性求解 例3 2012 淮安模拟 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 3 求f x 的最小值 解题指南 1 代入a的值 利用函数单调性求解 2 将恒成立问题转化为分离参数后求最值问题 3 对a进行分类讨论求解 规范解答 1 当a 时 f x x 2 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 即a x2 2x x 1 恒成立 函数y x2 2x x 1 的最大值为 3 a 3 3 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 递增 故当x 1时 f x min 3 a 当0 a 1时 函数f x 递增 故当x 1时 f x min 3 a 当a 1时 f x x 2 2 2 当且仅当x 时取 f x min 2 2 反思 感悟 1 对于求分式型的函数最值题 常采用拆项使分式的分子为常数 有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式 该分式的分子为常数 的形式 这种方法叫分离常数法 2 应用基本不等式一定要注意条件 本例中x 1 所以解题时 虽然可用基本不等式但条件不成立 故而采用单调性 第 3 问分类讨论后分别利用单调性和基本不等式求解 变式训练 2012 盐城模拟 若对任意x 0 a恒成立 则a的取值范围是 解析 由题意可知不等式恒成立 即只需要a大于或等于的最大值即可 当x 0时 等号当且仅当x 时取得 故的最大值为 故a 答案 创新探究 基本不等式在函数 导数中的应用 典例 2011 福建高考改编 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 解题指南 利用在x 1处有极值得a b的关系式 再利用基本不等式求解 规范解答 由题意得f x 12x2 2ax 2b 函数f x 在x 1处有极值 f 1 0 12 2a 2b 0 即a b 6 又 a 0 b 0 由基本不等式得 ab 2 2 9 故ab的最大值是9 答案 9 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨与备考建议 1 2011 陕西高考改编 设00得0 所以