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第七节正弦定理和余弦定理 1 正弦定理和余弦定理 b2 c2 2bc cosa c2 a2 2ca cosb 1 在 abc中 a b 是 sina sinb 的什么条件 a b 是 cosa cosb 的什么条件 2 如何利用余弦定理来判定三角形中角a为锐角 直角 钝角 提示 应判断b2 c2 a2与0的关系 当b2 c2 a2 0时 a为锐角 当b2 c2 a2 0时 a为直角 当b2 c2 a2 0时 a为钝角 解析 在 abc中 易知b 30 由余弦定理b2 a2 c2 2accos30 4 b 2 答案 a 答案 a 答案 b 4 2013 清远调研 abc中 b 120 ac 7 ab 5 则 abc的面积为 思路点拨 1 在已知等式中 利用正弦定理消去sinb 再化简求值 2 由条件结构特征 联想到余弦定理 求cosb 进而求出角b 1 运用正弦定理和余弦定理求解三角形时 要分清条件和目标 若已知两边与夹角 则用余弦定理 若已知两角和一边 则用正弦定理 2 在已知三角形两边及其中一边的对角 求该三角形的其它边角的问题时 首先必须判断是否有解 如果有解 是一解还是两解 注意 大边对大角 在判定中的应用 判定三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行转化 无论使用哪种方法 不要随意约掉公因式 要移项提取公因式 否则会有漏掉一种形状的可能 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 思路点拨 1 根据正弦定理边化角 把b用a c表示 借助三角变换求a的值 2 根据三角形面积和余弦定理列关于b c的方程组求解 1 本例 1 中 利用sinb sin a c 进行转化是解题的关键 本例 2 中选择公式建立方程是解题的突破口 2 选择使用余弦定理和面积公式时 一般选择角确定的一组 已知两边及一边的对角 利用正弦定理求其它边或角 可能有一解 两解 无解 判定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 从近两年的高考试题看 正弦定理 余弦定理是高考的热点 常与三角函数 三角恒等变换等交汇命题 题型多样 属中 低档题目 规范解答之六正 余弦定理在解三角形中的应用 12分 2012 安徽高考 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 且有2sinbcosa sinacosc cosasinc 1 求角a的大小 2 若b 2 c 1 d为bc的中点 求ad的长 易错提示 1 逆用公式意识不强 无法求得cosa 2 应用余弦定理时 不会选择公式无法得到a b c之间的关系 防范措施 1 熟练掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的正用 逆用及变形使用是解
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