高考数学第一轮总复习 3.8 应用举例课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第八节应用举例 知识梳理 1 三角形中常用的面积公式 1 s ah h表示边a上的高 2 s bcsina 3 s r a b c r为三角形的内切圆半径 2 实际应用中的常用术语 考点自测 1 思考 给出下列命题 面积公式中s bcsina absinc acsinb 其实质就是面积公式s ah bh ch h为相应边上的高 的变形 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 0 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 0 其中正确的是 a b c d 解析 选b 正确 如s absinc ah h bsinc h即为边a上的高 错误 俯角是视线与水平线所构成的角 正确 方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的 正确 方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 故大小的范围为 0 2 而方向角大小的范围由定义可知为 0 2 两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等 灯塔a在观察站南偏西40 灯塔b在观察站南偏东60 则灯塔a在灯塔b的 a 北偏东10 b 北偏西10 c 南偏东80 d 南偏西80 解析 选d 由条件可知 a b 40 又 bcd 60 所以 cbd 30 所以 dba 10 因此灯塔a在灯塔b的南偏西80 3 如图所示 d c b三点在地面的同一直线上 dc a 从c d两点测得a点的仰角分别为60 30 则a点离地面的高度ab等于 解析 选b 因为 dac acb d 60 30 30 所以ac cd a 在rt abc中 ab ac sin60 a 4 某工程中要将一长为100m 倾斜角为75 的斜坡 改造成倾斜角为30 的斜坡 并保持坡高不变 则坡底需加长 解析 选a 设坡底需加长xm 由正弦定理得解得x 100 5 2014 宜昌模拟 甲船在a处观察乙船 乙船在它的北偏东60 的方向 两船相距a海里的b处 乙船正向北行驶 若甲船是乙船速度的倍 甲船为了尽快追上乙船 则应取北偏东 填角度 的方向前进 解析 设两船在c处相遇 则由题意 abc 180 60 120 且由正弦定理得又0 bac 60 所以 bac 30 答案 30 6 海上有a b两个小岛相距10nmile 从a岛望c岛和b岛成60 的视角 从b岛望c岛和a岛成75 的视角 那么b岛和c岛的距离是nmile 解析 画出示意图如图 由题意可知 cab 60 cba 75 所以 c 45 由正弦定理得所以bc 5 答案 5 考点1测量距离问题 典例1 1 2014 汕头模拟 如图 为测量河对岸a b两点间的距离 在河岸选取相距40米的c d两点 测得 bca 60 acd 30 cdb 45 bda 60 则a b间距离为米 2 2014 泰安模拟 如图 a b是海面上位于东西方向相距5 3 海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解题视点 1 观察ab所在的三角形 根据已知条件求出有关的边角再求解 2 已知速度 要求时间 只要求出路程 即cd的长即可 再观察cd所在的三角形 确定已知条件较集中的三角形求解 规范解答 1 由已知得 bcd 30 60 90 又因为 bdc 45 cd 40米 所以bd 40米 在 adc中 adc 60 45 105 所以 cad 180 105 30 45 由正弦定理 得在 adb中 由余弦定理 得ab2 ad2 db2 2ad dbcos adb所以ab 米 答案 2 由题意知ab 5 3 海里 因为 dab 90 45 45 dba 90 60 30 所以 adb 180 45 30 105 在 adb中 由正弦定理 得所以 海里 又因为 dbc dba abc 30 90 60 60 所以在 dbc中 由余弦定理 得cd2 bd2 bc2 2bd bccos dbc所以cd 30 海里 所以需要的时间t 1 小时 即救援船到达d点需要1小时 互动探究 本例 2 中若不知救援船的速度 其他条件不变 要求救援船必须在40分钟内到达 则救援船的最小速度为多少 解析 设救援船的速度为v海里 小时 由例题解析可求得cd 30海里 由得v 45 即救援船的最小速度为45海里 小时 易错警示 注意开方本例第 1 题在利用余弦定理时 很容易忽略对最后的结果开方 从而导致结果错误 在应用余弦定理时一定要注意对最后的结果开方 规律方法 距离问题的类型及解法 1 类型 测量距离问题分为三种类型 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 2 解法 选择合适的辅助测量点 构造三角形 将问题转化为求某个三角形的边长问题 从而利用正余弦定理求解 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解能求解的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 变式训练 某人在m汽车站的北偏西20 的方向上的a处 观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶 公路的走向是m站的北偏东40 开始时 汽车到a的距离为31千米 汽车前进20千米后 到a的距离缩短了10千米 此时汽车离汽车站的距离是 解析 由题设 画出示意图 设汽车前进20千米后到达b处 在 abc中 ac 31 bc 20 ab 21 由余弦定理 得则所以sin mac sin 120 c sin120 cosc cos120 sinc 在 mac中 由正弦定理 得从而有mb mc bc 15 千米 所以汽车还需要行驶15千米才能到达m汽车站 答案 15千米 加固训练 1 甲船在岛b的正南a处 ab 10千米 甲船以每小时4千米的速度向北航行 同时 乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60 的方向驶去 当甲船在a b之间 且甲 乙两船相距最近时 它们所航行的时间是 解析 选a 如图 设航行x小时 甲船航行到c处 乙船航行到d处 在 bcd中 bc 10 4x bd 6x cbd 120 两船相距s千米 根据余弦定理可得 dc2 bd2 bc2 2bc bdcos cbd 6x 2 10 4x 2 2 6x 10 4x cos120 即s2 28x2 20 x 100所以当时 s2最小 从而s也最小 即航行分钟时两船相距最近 故选a 2 如图所示 一艘海轮从a处出发 测得灯塔在海轮的北偏东15 方向 与海轮相距20海里的b处 海轮按北偏西60 的方向航行了30分钟后到达c处 又测得灯塔在海轮的北偏东75 的方向 则海轮的速度为海里 分钟 解析 由已知得 acb 45 b 60 由正弦定理得所以所以海轮航行的速度为 海里 分钟 答案 考点2测量高度 角度问题 典例2 1 2014 湘潭模拟 要测量底部不能到达的电视塔ab的高度 在c点测得塔顶a的仰角是45 在d点测得塔顶a的仰角是30 并测得水平面上的 bcd 120 cd 40m 则电视塔的高度为m 2 在海岸a处 发现北偏东45 方向 距a处 1 nmile的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 的方向 距离a处2nmile的c处的缉私船奉命以10nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从b处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船 解题视点 1 点a与点b c d不在同一个平面内 且ab 平面bcd 故本题的数学模型为三棱锥 根据已知条件和所求三角形的联系求解 2 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在d处相遇 则可先在 abc中求出bc 再在 bcd中求 bcd 规范解答 1 如图 设电视塔ab高为xm 则在rt abc中 由 acb 45 得bc x 在rt adb中 adb 30 所以bd x 在 bdc中 由余弦定理 得bd2 bc2 cd2 2bc cd cos120 即 x 2 x2 402 2 x 40 cos120 解得x 40 所以电视塔高为40m 答案 40 2 设缉私船用th在d处追上走私船 如图 则有cd 10t bd 10t 在 abc中 因为ab 1 ac 2 bac 120 所以由余弦定理 得bc2 ab2 ac2 2ab accos bac所以bc 在 abc中 由正弦定理 得所以所以 abc 45 所以bc与正北方向垂直 因为 cbd 90 30 120 在 bcd中 由正弦定理 得所以所以 bcd 30 即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船 规律方法 1 求解高度问题的三个关注点 1 在处理有关高度问题时 要理解仰角 俯角 它是在铅垂面上所成的角 方向 位 角 它是在水平面上所成的角 是关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形 2 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上 画出表示实际问题的图形 并在图形中标出有关的角和距离 再用正弦定理或余弦定理解三角形 最后将解得的结果转化为实际问题的解 提醒 方向角是相对于某点而言的 因此在确定方向角时 必须先弄清楚是哪一个点的方向角 变式训练 2014 大连模拟 如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个观测点c与d 测得 bcd 15 bdc 135 cd 30m 并在点c处测得塔顶a的仰角为30 则塔高ab为 解析 选d 在 bcd中 cbd 180 15 135 30 由正弦定理 得所以在rt abc中 ab bc tan acb 30tan30 10 m 加固训练 1 地面上有两座塔ab cd 相距120米 一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍 在两塔底连线的中点o处测得塔顶的仰角互为余角 则两塔的高度分别为 a 50米 100米b 40米 90米c 40米 50米d 30米 40米 解析 选b 设高塔高h 矮塔高h 在矮塔下望高塔仰角为 在o点望高塔仰角为b 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍 所以在高塔下望矮塔仰角为 即根据倍角公式有 在塔底连线的中点o测得两塔顶的仰角互为余角 所以在o点望矮塔仰角为即根据诱导公式有 联立 得h 90 h 40 即两座塔的高度为40米 90米 故选b 2 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东45 方向 相距12nmile的水面上 有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75 方向前进 若侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解析 如图 设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇 则ac 14x bc 10 x abc 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 故ac 28 bc 20 根据正弦定理得解得所以红方侦察艇所需要的时间为2小时 角 的正弦值为 考点3三角形的面积公式的应用 考情 与三角形的面积有关的问题是高考的热点 在高考中以解答题的形式出现 考查面积的计算 最值 根据面积求边 角等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 新课标全国卷 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知b 2 则 abc的面积为 2 2014 宜昌模拟 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知c 2 若 abc的面积等于 则a b 解题视点 1 先由正弦定理求出边c 再由面积公式求解 2 根据余弦定理及面积构造含有a b的方程组求解 规范解答 1 选b 因为所以由正弦定理得解得所以三角形的面积为因为所以选b 2 由余弦定理及已知条件 得a2 b2 ab 4 又因为 abc的面积等于 即absinc 所以ab 4 由解得答案 22 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2014 长沙模拟 在 abc中 bc 1 b abc的面积s 则sinc 解析 选d 由已知得s bc ab sinb 1 ab 所以ab 4 由余弦定理得则所以 2 2014 厦门模拟 若 abc中 b 3 b 则该三角形面积的最大值为 解析 由b 3 b 及余弦定理可得9 b2 a2 c2 2accos a2 c2 ac 2ac ac ac 所以ac 9 当a c 3时 取 所以所以s abc的最大值为当a b c 3时取得 答案 3 2011 安徽高考 已知 abc的一个内角为120 并且三边长构成公差为4的等差数列 则 abc的面积为 解析 设三角形一边长为x 则另两边的长为x 4 x 4 那么 x 4 2 x2 x 4 2 2x x 4 cos120 解得x 10 所以s abc 10 6 sin120 答案 加固训练 1 2011 福建高考 若 abc的面积为 bc 2 c 60 则边ab的长度等于 解析 在 abc中 由面积公式 得s bc ca sinc 2 ac sin60 所以ac 2 再由余弦定理 得ab2 bc2 ac2 2ac bc cosc 22 22 2 2 2 4 所以ab 2 答案 2 2 2014 南昌模拟 在 abc中 角a b c的对边分别是a b c 若b2 c2 a2 bc 且 4 则 abc的面积等于 解析 由余弦定理 得又0 a 所以a 又所以bc 8 所以答案 3 2012 江西高考 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知3cos b c 1 6cosbcosc 1 求cosa 2 若a 3 abc的面积为2 求b c 解析 1 3 cosbcosc sinbsinc 1 6cosbcosc 3cosbcosc 3sinbsinc 1 3cos b c 1 cos a 则cosa 2 由 1 得sina 由面积可得bc 6 则根据余弦定理cosa 则b2 c2 13 两式联立可得b 2 c 3或b 3 c 2 规范解答6 三角形面积公式的应用 典例 12分 2013 新课标全国卷 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知