高三数学一轮复习 2.12导数的应用（1）课件.ppt

考什么 怎么考 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 利用导数研究函数的单调区间 极值或最值 如2009年高考t3 2 利用导数求函数的极值 或最值 如2010年高考t14 2011年高考t12 3 已知函数的极值或最值求参数 如2008年高考t14 备考方向要明了 归纳知识整合 1 函数的单调性与导数 探究 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值 若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则a点叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值 若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则b点叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 和统称为极值 探究 2 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 导数为零是函数在该点取得极值的什么条件 提示 不一定 可导函数的极值点导数为零 但导数为零的点未必是极值点 如函数f x x3 在x 0处 有f 0 0 但x 0不是函数f x x3的极值点 其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件 都大 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 一般地 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤为 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 端点处 探究 3 函数的极值和函数的最值有什么联系和区别 提示 极值是局部概念 指某一点附近函数值的比较 因此 函数在极大 小 值 可以比极小 大 值小 大 最值是整体概念 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 自测牛刀小试 1 教材习题改编 函数f x ex x的单调递增区间是 解析 f x ex x f x ex 1 由f x 0 得ex 1 0 即x 0 答案 0 3 已知函数f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则f x 的图象可能是 解析 当x0时 由导函数f x ax2 bx c的图象可知 导数在区间 0 x1 内的值是大于0的 则在此区间内函数f x 单调递增 答案 4 教材习题改编 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 解析 由题意 得f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0或x 2 舍去 由于f 1 2 f 1 0 f 0 2 故f x 在 1 1 上的最大值为2 答案 2 5 若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调增函数 则m的取值范围是 运用导数解决函数的单调性问题 1 导数法求函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 2 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 3 利用单调性求参数取值范围的方法已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立求解 1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只要a 0 又 a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在r上是增函数 a 0 2 f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2 x 1 1 恒成立 又 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 利用导数解决函数的极值问题 求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在方程f x 0的根的附近两侧的符号 具体如下表 令g x 0 即 3x2 9x e x 0 得x 0或x 3 当x 0 时 g x 0 故g x 在 0 3 上单调递增 当x 3 时 g x 0 故g x 在 3 上单调递减 从而函数g x 在x 0处取得极小值g 0 3 在x 3处取得极大值g 3 15e 3 利用导数解决函数的最值问题 例3 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 自主解答 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 保持本例条件不变 求f x 在 0 1 上的最大值 利用导数求最值的方法在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 也可利用函数的单调性求得 3 2012 江西高考 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 解 1 由f 0 1 f 1 0得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意须对于任意x 0 1 有f x 0 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 1 根据极值的定义 导数为0的点只是一个可疑点 不一定是极值点 只有在该点两侧导数的符号相反 即函数在该点两侧的单调性相反时 该点才是函数的极值点 另一方面 极值点处的导数也不一定为0 还要考查函数在该点处的导数是否存在 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 答题模板 函数的单调性 极值 最值问题 典例 2012 北京高考 本小题满分13分 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 快速规范