九年级数学上册4.专题5用锐角三角函数解航海问题素材【新华东师大版】.docx

专题五用锐角三角函数解航海问题航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等，是考试中的热点问题解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决例1如图1，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74方向线上，这时O，A相距4 200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点A到正东方向的距离与1 000米的大小，因此，需过点A向正东方向引垂线，转化为直角三角形中的问题解：如图1，过点A作AB与正东方向线垂直，垂足为B在tAOB中，OA=4 200，AOB=9074=16AB=AOsinAOB=4 200sin16=4 2000.275 61 158（米）因为1 1581 000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的危险说明：本题是一道比较简单的航行问题，不仅要能从实际问题中构造出直角三角形，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法的运算的，不用除法，能用正弦计算的，不用余弦例2如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由分析：要判断点B是否在暗礁区域外则需要计算BC的长度，看其长度是否大于16海里，若BC16海里，则点B在暗礁区域外；要判断继续向东航行有无触礁危险，则需要计算船到岛C的最短距离，看是否小于16海里若小于16海里，则有触礁的危险为此，需要构造直角三角形解决解：（1）过点B作BDAE，交AC于点D因为AB=360.5=18（海里），ADB=60，DBC=30，所以ACB=30又CAB=30，所以BC=AB即BC=AB=1816所以点B在暗礁区域外（2）过点C作CHAB，垂足为H，在RtCHB中，BCH=30，令BH=x，则CH=x在RtACH中，CAH=30，所以因为，所以解得所以所以船继续向东航行有触礁的危险说明：有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题解决此类问题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型专题训练：1如图3，一艘船向正东方向航行，在B处测得有一灯塔在它的北偏东30，距离为72海里的A处当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）2如图4，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？参考答案：1据题意ABC=9030=60，AB=72在RtABC中，因为sinABC=，所以AC=ABsinABC=72sin60=7262.4（海里）2过P作PCAB于C点据题意知：AB=9=3，P