0二次函数分类讨论(高考).doc

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题一般地,对于二次函数y=a(x-m)2+n，xt，s求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。表示对称轴在区间t，s的左侧，表示对称轴在区间t，s内且靠近区间的左端点，表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，表示对称轴在区间t，s的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例、求函数在上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：此函数图像开口向上，对称轴x=a、当a0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，x=0时，=3，x=4时，=19-8a、当0a2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，x=a时，=3-a2，x=4时，=19-8a、当2a4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，x=a时，=3-a2，x=0时，=3、当4a时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，x=4时，=19-8a，x=0时，=3例2、已知函数在区间上最大值为1,求实数a的值分析:取a=0,a0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在上取不到最大值为1,a02)若a0,则的对称轴为()若，解得，此时a3即,若-30b-310解得与矛盾;(2)若时, 即-10a-60解得与矛盾;综上述：b-1评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行二次函数分类讨论补充习题1已知函数，若，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。2已知函数，若在区间上恒成立，求实数k的取值范围。3已知k为非零实数，求二次函数的最小值。4已知，若函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，求的表达式。1. 轴定区间定（常常出现在一元三次方程的大题中） （2008年陕西卷）22本小题满分14分）设函数其中实数（）若，求函数的单调区间；（）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，并且记的最小值为，求的值域；（）若与在区间内均为增函数，求的取值范围解：（） ，又， 当时，；当时，在和内是增函数，在内是减函数（）由题意知 ，即恰有一根（含重根） ，即，又， 当时，才存在最小值， ， 的值域为（）当时，在和内是增函数，在内是增函数由题意得，解得；当时，在和内是增函数，在内是增函数由题意得，解得；综上可知，实数的取值范围为2. 轴定区间动（全国卷）设a为实数，函数，求f(x)的最小值。解：（1）当时，若，则;若，则（2）当时，若，则;；若，则综上所述，当时，；当时，；当时，。2. 轴动区间定（最简单）求函数在上的最大值。解：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即4. 轴变区间变 已知，求的最小值。解：将代入u中，得，即时，即时，所以5. 逆向型1、 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解：（1）若，不合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或2、 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。【很重要】解析1：讨论对称轴中1与的位置关系。若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，解析2：由，知，则，f(x)在上递增。所以解得4. 轴变区间变练习： 1、（2008江西卷21）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围解：（1）因为 令得 由时，在根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以的递增区间为 的递减区间为 （2）由（1）得到， 要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 即或. 2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。分析：逆向的最值问题，从最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程麻烦啊啊啊啊啊。但注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴为，且。故不合题意；（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）若，得，经检验，符合题意。综上，或3、（2008山东卷21）（本小题满分12分）设函数，已知和为的极值点（）求和的值；（）讨论的单调性；（）设，试比较与的大小 解：（）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，（）因为，所以，令，解得，因为当时，；当时，所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的（）由（）可知，故，令，则令，得，因为时，所以在上单调递减故时，；因为时，所以在上单调递增故时，所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有2010辽宁(21)(本小题满分12分) 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. ()讨论函数f(x)的单调性； ()设a-2，证明：对任意x2,x2 (0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, f(x)在（0, ）单调增，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.8分于是0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.12分2010全国卷2（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：（）求出导数，由导数大于0求出增区间；由导数小于0，求出减区间。（）f(x)在(2,3)内有极值，即f(x)在（2,3）有个零点，即f(2) f(3)0，即可求出a。2010山东理数(22)(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.来源:Z+xx+k.Com解：（）因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增. （）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得 2010湖南理数：已知函数（）证明：当（）若对满足题设条件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。2010天津：已知已知函数其中0。()若=1，求曲线在点(2，)处的切线方程：()若在区间上，0恒成立，求的取值范围。2010福建22. 已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2()求实数a,b的值；()设g（x）=f(x