高考数学第一轮总复习 2.8 函数与方程课件 文 新人教A版.ppt

第八节函数与方程 知识梳理 1 函数零点 1 定义 对于函数y f x x d 把使 的实数x叫做函数y f x x d 的零点 f x 0 2 三个等价关系 3 存在性定理 连续不断 f a f b 0 f x0 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 x1 x2 x1 无 3 二分法 1 二分法的定义 对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 2 用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点c 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f a f b 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 正确 由已知条件 数形结合得f x 与x轴在区间 a b 上有且仅有一个交点 故正确 2 用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的近似零点 验证f 2 f 4 0 给定精确度 0 01 取区间 2 4 的中点x1 3 计算得f 2 f x1 0 则此时零点x0所在的区间为 a 2 4 b 3 4 c 2 3 d 2 5 3 解析 选c 由零点存在性定理知x0 2 3 3 2014 益阳模拟 函数f x 的零点个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 函数f x 的零点个数 是方程的解的个数 是方程的解的个数 也就是函数y 与y 的图象的交点个数 在同一坐标系中作出两个函数的图象 可得交点个数为1 4 2014 武汉模拟 已知方程lgx 2 x的解为x0 则下列说法正确的是 a x0 0 1 b x0 1 2 c x0 2 3 d x0 0 1 解析 选b 由lgx 2 x得lgx x 2 0 令f x lgx x 2 则当x 0时 f 0 0 所以f 1 f 2 0 又f x 在 0 上连续 故x0 1 2 5 用二分法求函数f x 3x x 4的一个零点 其参考数据如下 据此数据 可得f x 3x x 4的一个零点的近似值 保留三位有效数字 为 解析 由题意知 函数零点在区间 1 5562 1 5625 内 又零点近似值保留三位有效数字 故零点近似值为1 56 答案 1 56 6 已知函数f x 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 解析 方程f x k有两个不同的实根 则y f x 与y k有两个不同的交点 作出y f x 的图象 可知k 0 1 答案 0 1 考点1确定与应用方程根的个数 典例1 1 2014 合肥模拟 若偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且在x 0 1 时 f x x2 则关于x的方程f x 在 0 上的根的个数是 a 1b 2c 3d 4 2 2014 天津模拟 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 若g x m有实数根 求m的取值范围 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题视点 1 根据已知条件作出函数f x 与y 在 0 上的图象 数形结合求解 2 可用基本不等式求出最值或数形结合法求解 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而用数形结合法求解 规范解答 1 选c 因为f x 为偶函数 所以当x 1 0 时 x 0 1 所以f x x2 即f x x2 又f x 1 f x 1 所以f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x 故f x 是以2为周期的周期函数 据此在同一坐标系中作出函数y f x 与y 在 0 上的图象如图所示 数形结合得两图象有3个交点 故方程f x 在 0 上有三个根 2 方法一 因为g x x 2e 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有实数根 方法二 作出g x x x 0 的大致图象如图 可知若使g x m有实数根 则只需m 2e 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出g x x x 0 的大致图象 因为f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 所以f x 的图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 所以m的取值范围是 e2 2e 1 互动探究 若将本例 1 中 变为 则方程f x 在 3 3 上所有根的和为多少 解析 由本例 1 解析知f x 在 3 3 上有六个不同根 不妨设为x1 x2 x3 x4 x5 x6 由图象关于y轴的对称性知 x1 x6 0 x2 x5 0 x3 x4 0 所以x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 规律方法 1 确定方程f x g x 在区间 a b 上根的个数的方法 1 解方程法 当对应方程f x g x 易解时 可先解方程 看求得的根是否落在区间 a b 上再判断 2 数形结合法 通过画函数y f x 与y g x 的图象 观察其在区间 a b 上交点个数来判断 2 与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形结合法 根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小 3 由方程根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离得a f x 再转化成求函数f x 值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 再在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 变式训练 1 2014 福州模拟 设方程log4x 0 0的根分别为x1 x2 则 a 0 x1x2 1b x1x2 1c 1 x1x2 2d x1x2 2 解析 选a 在同一坐标系内画出函数y y log4x y logx的图象 如图所示 则x1 1 x2 0 由log4x1 得所以0 x1x2 1 故选a 2 2014 黄冈模拟 若方程有解 则a的取值范围为 解析 由已知得又 0 得a 0 答案 0 加固训练 1 2014 武汉模拟 若方程x2 2mx 4 0的两根满足一根大于1 一根小于1 则m的取值范围是 a b c 2 2 d 解析 选a 令f x x2 2mx 4 由已知得f 1 0 即1 2m 4 0 解得m 即m 2 方程 x cosx在 内 a 没有根b 有且仅有一个根c 有且仅有两个根d 有无穷多个根 解析 选c 构造两个函数y x 和y cosx 在同一个平面直角坐标系内画出它们的图象 如图所示 观察图象知有两个公共点 所以已知方程有且仅有两个根 3 2014 马鞍山模拟 若方程 x2 4x m有实数根 则所有实数根的和可能为 a 2 4 6b 4 5 6c 3 4 5d 4 6 8 解析 选d 令f x x2 4x 其图象如图所示 f x 的图象关于直线x 2对称 当m 0或m 4时 方程所有实根之和为 4 当m 4时 方程所有实根之和为 6 当0 m 4时 方程所有实根之和为 8 故选d 考点2确定函数零点所在的区间 典例2 1 2013 重庆高考 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 2 2014 嘉兴模拟 设函数y x3与y 的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 解题视点 1 直接根据零点存在性定理判断 2 画出两个函数的图象 寻找交点所在区间 规范解答 1 选a 因为a0 f b b c b a 0 所以f a f b 0 f b f c 0 即函数的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 2 设f x x3 则x0是函数f x 的零点 在同一坐标系下画出函数y x3与y 的图象如图所示 因为f 1 1 1 0 f 2 8 7 0 所以f 1 f 2 0 所以x0 1 2 答案 1 2 易错警示 关注图象的准确性本例第 2 题在求解时容易因作图不准确而导致求错区间 在利用数形结合法确定零点所在区间时 所画图象一定要规范 准确 否则易致误 规律方法 确定函数f x 的零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 2 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 变式训练 2014 孝感模拟 函数f x 3x x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 选c 因为函数f x 在定义域上单调递增 所以f 0 f 1 0 所以函数f x 的零点所在区间是 0 1 故选c 加固训练 1 2014 烟台模拟 函数f x ln x 1 的零点所在的大致区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 e d 3 4 解析 选b 因为f x 在 0 上为单调增函数 且f 1 ln2 20 所以函数的零点所在的大致区间是 1 2 中间 选b 2 2014 温州模拟 如图是二次函数f x x2 bx a的部分图象 则函数g x ex f x 的零点所在的区间是 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 选b 由图象知得1 b 2 f x 2x b 所以g x ex f x ex 2x b 则g 1 2 b 0 g 0 1 b 0 g 1 e 2 b 0 所以g 0 g 1 0 故选b 考点3函数零点个数问题 考情 函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点 常与函数的图象与性质交汇 以选择题 填空题的形式出现 考查确定函数零点个数 应用函数零点个数 以及应用函数零点所具备的性质计算与比较大小等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 天津高考 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 2 2014 长春模拟 定义域为r的偶函数f x 满足对 x r 有f x 2 f x f 1 且当x 2 3 时 f x 2x2 12x 18 若函数y f x loga x 1 在 0 上至少有三个零点 则a的取值范围是 a 0 b 0 c 0 d 0 解题视点 1 根据2x log0 5x 1 0转化为两个函数g x log0 5x 与h x 图象的交点个数问题求解 2 根据函数f x 的性质作出其图象 再结合y loga x 1 在 0 的图象 数形结合求解 规范解答 1 选b 函数f x 2x log0 5x 1的零点即2x log0 5x 1 0的解 即 log0 5x 的解 作出函数g x log0 5x 和函数h x 的图象 由图象可知 两函数图象共有两个交点 故函数f x 2x log0 5x 1有2个零点 2 选b 因为函数是偶函数 所以f x 2 f x f 1 f x f 1 即f x 2 f x 2 所以函数f x 关于直线x 2对称 又f x 2 f x 2 f x 2 所以f x 4 f x 即函数的周期是4 由y f x loga x 1 0得 f x loga x 1 令g x loga x 1 当x 0时 g x loga x 1 loga x 1 过定点 0 0 由图象可知当a 1时 不成立 所以0 2 即g 2 loga3 2 logaa 2 所以3 a 2 即a2 所以0 a 即a的取值范围是 0 选b 通关锦囊 通关题组 1 2014 长沙模拟 已知函数f x 则函数f x 的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 当x 0时 由x x 4 0得x 4 当x 0时 由x x 4 0解得x 0 x 4 故共有3个零点 2 2014 永州模拟 已知定义在r上的函数f x 的对称轴为x 3 且当x 3时 f x 2x 3 若函数f x 在区间 k 1 k k z 上有零点 则k的值为 a 2或 7b 2或 8c 7d 8 解析 选a 当x 3时 由f x 2x 3 0 解得x log23 因为1 log23 2 即函数的零点所在的区间为 1 2 所以k 2 又函数关于x 3对称 所以另外一个零点在区间 8 7 此时k 7 3 2014 武汉模拟 已知函数f x 2x x g x x logx h x log2x 的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 a x1 x2 x3b x2 x1 x3c x1 x3 x2d x3 x2 x1 解析 选d 由f x 2x x 0 g x x logx 0 h x log2x 0得2x x x logx log2x 在坐标系中分别作出y 2x y x y x y logx y log2x y 的图象 由图象可知 1 x1 0 0 x2 1 x3 1 所以x3 x2 x1 加固训练 1 2014 哈尔滨模拟 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 由f x 2x x3 2得f 0 10 所以f 0 f 1 0 又因为函数在定义域上为增函数 故选b 2 2014 吉林模拟 函数f x cosx在 0 内 a 没有零点b 有且仅有一个零点c 有且仅有两个零点d 有无穷多个零点 解析 选b 方法一 数形结合法 令f x cosx 0 则 cosx 设函数y 和y cosx 它们在 0 的图象如图所示 显然两函数的图象的交点有且只有一个 所以函数f x cosx在 0 内有且仅有一个零点 方法二 在x 上 1 cosx 1 所以f x cosx 0 在x 0 上 f x sinx 0 所以函数f x cosx是增函数 又因为f 0 1 f 0 所以f x cosx在x 0 内有且只有一个零点 巧